函数的单调性-知识点与题型归纳.doc

●高考明方向
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

★备考知考情
1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．
2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇
命题，则以解答题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P15
注意：
研究函数单调性必须先求函数的定义域，
函数的单调区间是定义域的子集
单调区间不能并！
知识点一 函数的单调性
1.单调函数的定义

2.单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.

注意：
1、《名师一号》P16 问题探究 问题1
关于函数单调性的定义应注意哪些问题？
(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值．
(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；
(3)定义的两种变式：
设任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么
①⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

2、《名师一号》P16 问题探究 问题2
单调区间的表示注意哪些问题？
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；
如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法
《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法
(1) 定义法:
利用定义证明函数单调性的一般步骤是：
①任取x1、x2∈D，且x1<x2；
②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形
(“分解因式”、配方成同号项的和等)；
③依据差式的符号确定其增减性．
(2) 导数法:
设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f ′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f ′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．
注意：(补充)
（1）若使得f ′(x)=0的x的值只有有限个，
则如果f ′(x)，则f(x)在区间D内为增函数；
如果f ′(x) ，则f(x)在区间D内为减函数．
（2）单调性的判断方法：
《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法
定义法及导数法、图象法、
复合函数的单调性(同增异减)、
用已知函数的单调性等

(补充)单调性的有关结论
1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，
则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．
2．若f(x)为增(减)函数，
则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，
则为减(增)函数，为增(减)函数．
3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．
4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，
若f(x)与g(x)的单调性相同，
则其复合函数f[g(x)]为增函数；
若f(x)、g(x)的单调性相反，
则其复合函数f[g(x)]为减函数．
简称”同增异减”
5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．

函数单调性的应用
《名师一号》P17 特色专题
(1)求某些函数的值域或最值．
(2)比较函数值或自变量值的大小．
(3)解、证不等式．
(4)求参数的取值范围或值．
(5)作函数图象．

二、例题分析：
（一) 函数单调性的判断与证明
例1.（1）《名师一号》P16 对点自测 1
判断下列说法是否正确
(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(　　)
(2)函数f(x)＝在其定义域上是减函数．(　　)
(3)已知f(x)＝，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(　　)

答案：　√　×　√

例1.（2）《名师一号》P16 高频考点 例1（1）
(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)

答案：A.

例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例1（2）
判断函数f(x)＝在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．

法一：定义法
设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
同理当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．

法二：导数法

注意：《名师一号》P17 高频考点 例1 规律方法
1.判断函数的单调性应先求定义域；
2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：
取值—作差—变形—判号—定论，
其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；
3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视

（二）求复合函数、分段函数的单调性区间
例1.《名师一号》P16 高频考点 例2（1）
求函数y＝x－|1－x|的单调增区间；

y＝x－|1－x|＝
作出该函数的图象如图所示．

由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．

例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例2（2）
求函数y＝log (x2－4x＋3)的单调区间．

解析:令u＝x2－4x＋3，
原函数可以看作y＝logu与u＝x2－4x＋3的复合函数．
令u＝x2－4x＋3>0.则x<1或x>3.
∴函数y＝log (x2－4x＋3)的定义域为
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，
∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，
在(3，＋∞)上是增函数．
而函数y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
∴y＝log (x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，
单调递增区间为(－∞，1)．

注意：《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法
求函数的单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，
即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的
图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．
例2.（2）(补充)

答案：增区间：；减区间：

练习:
答案：增区间：；减区间：
（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小
例1.（1）《名师一号》P17 特色专题 典例(1)
已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0

【规范解答】　∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，
∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0，
当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，
即f(x1)<0，f(x2)>0.

例1.（2）《名师一号》P17 特色专题 典例(2)
已知函数f(x)＝则不等式
f(a2－4)>f(3a)的解集为(　　)
A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－3,5)

【规范解答】作出函数f(x)的图象，
如图所示，则函数f(x)在R上是
单调递减的．由f(a2－4)>f(3a)，
可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，
即(a＋1)(a－4)<0，解得－1<a<4，
所以不等式的解集为(－1,4)．
注意:本例分段函数的单调区间可以并!

（四）已知单调性求参数的值或取值范围

例1.(1)《名师一号》P17 特色专题 典例(3)
已知函数满足对任意的实数x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2) B. C．(－∞，2] D.

【规范解答】函数f(x)是R上的减函数，
于是有由此解得a≤，
即实数a的取值范围是.

例2.(1) （补充）如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间
(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

[答案]　[－，0]
[解析]　(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；
(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.综上所述－≤a≤0.

例2.(2) （补充）若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是(　 )
A．(－∞，0]　　B．[－2,2] C．{2} D．[2，＋∞)

[答案]　C
[解析]　f ′(x)＝3x2－6a，
若a≤0，则f ′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；
若a>0，则由f ′(x)＝0得x＝±，当x<－和x>时，f ′(x)>0，f(x)单调增，当－<x<时，f(x)单调减，
∴f(x)的单调减区间为(－，)，从而＝2，
∴a＝2.

变式：若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)单调递减，
则a的取值范围是？

[点评]　f(x)的单调递减区间是(－2,2)
和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．
本例亦可用x＝±2是方程f ′(x)＝3x2－6a＝0的两根
解得a＝2.

例2.(3) （补充）
若函数上单调递减，
则实数的取值范围是 （ ）
A．[9，12] B．[4，12] C．[4，27] D．[9，27]

答案：A
温故知新P23 第9题
若函数在区间
上单调递减，则实数的取值范围是
《计时双基练》P217 基础7

《计时双基练》P217 基础8、10
8、设函数在区间上是增函数,
那么的取值范围是

答案:
10、设函数
（2）若且在区间内单调递减,
求的取值范围.

答案:

（五）抽象函数的单调性
例1.（补充）已知f(x)为R上的减函数，那么满足
f(||)<f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

答案：C
解析：因为f(x)为减函数，f(||)<f(1)，所以||>1，则|x|<1且x≠0，即x∈(－1,0)∪(0,1)．

练习：是定义在上的增函数，
解不等式

答案：
温故知新 P12 第8题
注意：
解抽象函数的不等式通常立足单调性定义
或借助图像求解

例2. 《计时双基练》P216 培优4
函数的定义域为，且对一切
都有，当时，有。
（1） 求的值；
（2） 判断的单调性并加以证明；
（3） 若，求在上的值域.

答案:单调增;
注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义

练习: 《计时双基练》P218 培优4
函数的定义域为，且对一切
都有，当时，有.
(1)求证: 在上是减函数；
(2)求在上的最大值与最小值.

答案:

课后作业
一、 计时双基练P217 基础1-10
课本P16-17变式思考1、2；

二、 计时双基练P217 基础11、培优1-4
课本P18对应训练1、2、3
预习 第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性
补充：
练习1：
函数f(x)＝(a>0且a≠1)
是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．[，1) C．(0，] D．(0，]

分析：f(x)在R上为减函数，故f(x)＝ax(x≥0)为减函数，可知0<a<1，又由f(x)在R上为减函数可知，f(x)在x<0时的值恒大于f(x)在x≥0时的值，从而3a≥1.
解析：∵f(x)在R上单调递减，
∴∴≤a<1.
答案：B

练习2：
已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，3)
C．[，3) D．(1,3)

[答案]　D
[解析]　解法1：由f(x)在R上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a>1　①，又由f(x)在(－∞，1)上单增，∴3－a>0，∴a<3　②，又由于f(x)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1]上的最大值3－5a要小于等于f(x)在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a≤0，即a≥　③，由①②③可得1<a<3.
解法2：令a分别等于、0、1，即可排除A、B、C，故选D.
[点评]　f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x1<1，x2≥1时，有f(x1)<f(x2)．

练习3：
若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[1，)
C．[1,2) D．[，2)

[答案]　B
[解析]　因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝4x－，由f ′(x)＝0，得x＝.
据题意，，
解得1≤k<，选B.

练习4:
已知函数
(1) 若函数在上是单调增函数，则的取值范围是 .

解析:若函数在上是单调增函数

因为开口方向向上，
所以即即
时条件成立；

（2）已知函数，若函数的单调递减区间是，则的值是 .

解析:若函数的单调递减区间是

所以是方程的两个实数根,由韦达定理，

(3)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是 .

解析:若函数在上是单调增函数

分类讨论：
① 当即即
条件成立；
② 当，
即 或条件成立；
综上，条件成立，为所求.

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