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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,Part,数学物理方程,教材：数学物理方法（梁昆淼 高教出版社 第三版）,参考：数学物理方法学习指导（姚端正 科学出版社）,第1页,讲课内容,数学物理定解问题（,Chap.7,）,分离变数（傅里叶级数）法（,Chap.8,）,球函数（,Chap.10,）,柱函数（,Chap.11,）,第2页,Chap.7,数学物理定解问题,数学物理方程导出,定解条件,数学物理方程分类,达朗贝尔公式 定解问题,本章小结,第3页,物理量,u,(Y,E,B,P),空间分布（,x,y,z,）,时间演化（,t,）,边界条件,初始条件,物理规律,u(x,y,z,t),分析问题,定解问题,（确定系数）,定界条件,第4页,7.1,数学物理方程导出,常见数学物理方程,1.,波动方程,2.,输运方程,3.,稳定场方程,导出步骤,1.,确定研究对象（物理量）,2.,分析物理过程，提炼物理模型,3.,建立方程，化简整理，推广,第5页,波动方程,均匀弦微小横振动,问题,：一根长为,L,均匀弹弦，不计重力，不受外力。其张力为,T,，线密度为,。求弦微小横振动规律。,分析,：设弦平衡时沿,x,轴，考虑弦上从,x,到,x+dx,一段，其质量为,dx,。设弦横振动位移为,u(x,t),，则,由牛顿第二定律,dxu,tt,=T,2,sin,2,-T,1,sin,1,0=T,2,cos,2,-T,1,cos,1,微振动条件,cos,1,=cos,2,=1,sin,1,=tan,1,=u,x,(x,t),sin,2,=tan,2,=u,x,(x+dx,t),于是有,T,2,=T,1,=T,u,tt,dx=Tu,x,(x+dx,t)-u,x,(x,t),化简后得到,u,tt,=T u,xx,u,tt,=a,2,u,xx,B,C,A,1,2,u,xx,dx,a,2,=T/,第6页,波动方程,推广,1,情况：受迫振动（考虑重力或外力）,分析：设单位长度所受到横向外力,F(x,t),，则,dx,段受力为,Fdx,方程：,u,tt,=T u,xx,+F,u,tt,=a,2,u,xx,+f,，,f=F/,第7页,波动方程,推广,2,情况：均匀杆纵振动问题,分析：张力,T,变成杨氏模量,Y,方程：,u,tt,=Y u,xx,+F,u,tt,=a,2,u,xx,+f,推广,3,情况：三维情况,分析：位移,u,成为空间变量,x,y,z,和时间,t,函数,方程：,第8页,问题,：扩散问题中研究是浓度,u,在空间分布和在时间中,改变。,分析,：扩散现象遵照扩散定律，即,q=-D u,，,q,是扩散流强,度，,D,是扩散系数，,u,是浓度梯度。对于三维扩散问题，,考查单位时间内小体积元,dxdydz,净流入量。,扩散方程,z,y,x,dx,dy,dz,o,第9页,扩散方程,在,x,，,y,，,z,方向上，单位时间内净流入量为,假如体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单位时间内增加粒子数等于单位时间内净流入粒子数,第10页,输运方程,一维热传导,问题,：一根长为,L,均匀导热细杆，,侧面绝热，内部无热源。其热传导,系数为,k,，比热为,c,，线密度为,。,求杆内温度改变规律。,分析,：设杆长方向为,x,轴，考虑杆上,从,x,到,x+dx,一段，其质量为,dx,，,热容量为,cdx,。设杆中热流沿,x,轴正向，强度为,q(x,t),，温度分布为,u(x,t),，则,由能量守恒定律,c,dx,du=dQ,=q(x,t)-q(x+dx,t)dt,=-q,x,(x,t)dxdt,于是有,c u,t,=-q,x,由热传导定律,q(x,t)=-k u,x,(x,t),代入前面式子，得到,c u,t,=k u,xx,u,t,=a,2,u,xx,a,2,=k/(c,),第11页,扩散方程和输运方程,扩散和输运方程含有共同形式：,对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），则方程形式改变为：,源强度,第12页,稳定场方程,概念,产生：在演化问题中，有时会抵达一个不随时间改变稳定状态，对应方程称为稳定场方程。,形式：在对应演化方程中取消时间变量,t,，对,t,导数为零。,分类,无外界作用情况,拉普拉斯方程：,u=u,xx,+u,yy,+u,zz,=0,有外界作用情况,泊松方程：,u=u,xx,+u,yy,+u,zz,=f(x,y,z),经典应用,静电场方程：,u=-/,稳定温度分布：,u=-F/k,第13页,小 结,波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程形式分别为：,作业：,P152 3,4,第14页,7.2,定解条件,方程,u,t,(t)=0,能不能求解？解是什么？,能不能定解？该怎么办？,方程,u,xx,(x)=0,能不能求解？解是什么？,能不能定解？该怎么办？,由此可归纳出,数学物理方程通解含有任意常数，要完全确定这些常数需要附加条件。,一、定解问题提出,第15页,二、初始条件,意义,反应系统特定历史,分类,初始状态（位置），用,u|,t=0,=,(x,y,x),表示；,初始改变（速度），用,u,t,|,t=0,=,(x,y,z),表示。,经典例子,一维热传导,未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件,一端温度为,a,，均匀增加到另一端温度为,b,u|,t=0,=a+(b-a)x/L,第16页,初始条件,一维弦振动,未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件,初始位移,处于平衡位置：,u|,t=0,=0,两端固定，在,c,点拉开距离,h,：,u|,t=0,=hx/c,，,0 xc;,u|,t=0,=h(L-x)/(L-c),，,cx 0,为双曲型，如波动方程；,=0,为抛物线型，如热传导方程；,0,为椭圆型，如稳定场方程。,判断：,第26页,推导过程,关于自变量,x,，,y,二阶线性偏微分方程（系数都是,x,，,y,函数）,作自变量代换,第27页,于是，方程化为：,第28页,取特解,做新自变量，使,A,11,和,A,22,为零，方程能够简化。特解满足方程为：,把,z(x,y)=,常数当做定义隐函数,y(x),方程，则,dy/dx=-z,x,/z,y,，,于是得到二阶线性偏微分方程特征方程：,第29页,三、叠加原理,原理,：,线性方程解能够分解成几个部分线性叠加，只要这些部分各自满足方程对应线性叠加恰好是原来方程,如：,L u,1,=f,1,L u,2,=f,2,则：,L(au,1,+bu,2,)=af,1,+bf,2,应用,：,齐次方程两个解线性组合仍为原方程解；,非齐次方程特解加对应齐次方程解，结果为非齐次方程解；,两个非齐次方程解线性组合，为一个新非齐次方程解，新方程自由项为原方程自由项一样组合。,第30页,7.4,达朗贝尔公式 定解问题,定解问题求解思绪,标准：由已知猜未知,方法：类比法,步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。,泛定方程求解,达朗贝尔公式推导,达朗贝尔公式应用,第31页,一、泛定方程求解,常微分方程,方程,：,u,=2a x,通解：,u=a x,2,+C,偏微分方程,方程,：,u,x,=2y x,通解：,u=y x,2,+C(y),二阶方程,：,u,xy,=0,对,y,偏积分：,u,x,=C(x),通解：,u=C(x)dx+D(y)=f(x)+g(y),第32页,二、达朗贝尔,(D Alembert),公式,以均匀弦横振动为例来推导达朗贝尔公式,方程形式：,定解条件：,推导步骤：,1,）由方程求通解,2,）由初始条件确定通解中待定系数,第33页,1,）达朗贝尔公式推导（求通解）,第34页,通解物理意义：以速度,a,沿,x,轴正负方向移动行波。,第35页,达朗贝尔公式推导（求特解）,达朗贝尔公式,第36页,2,）达朗贝尔公式物理意义,若初始条件为：,初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度,a,移动。,这两个行波和给出各个时刻波形,第37页,第38页,若初始条件为：,第39页,3,）达朗贝尔公式应用,a),半无限长弦自由振动：,初始条件只是在,x0,才有意义，在,x0,区域上弦并不存在。,所以，若时间增加到,x-at0,，达朗贝尔公式中,(x-at),和积分项,就失去了意义，公式也不能应用了。,第40页,方法,：把半无限长弦当做无限长弦,x0,部分。无限长弦在振动过程中，点,x=0,保持不动。所以，无限长弦位移,u(x,t),应该是奇函数，初始位移和初始速度也都是必须是奇函数，,这么，经过奇,“,延拓,”,方式，把方程和初始条件从半无界区间,延拓到整个无界区间,现在就能够应用达朗贝尔公式进行求解。和无界区间解相比，,端点影响表现为,反射波,，即存在,半波损失,。,第41页,b),无限长自由振动,解：将初始条件代入,达朗贝尔公式,第42页,第43页,c),边界条件举例,任意给定初始条件,u|,t=0,=2 exp(-x,2,),u,t,|,t=0,=0,附加边界条件,u|,x=0,=0,u,x,|,x=0,=0,u|,x=0,=u,0,u|,x=0,=0,u|,x=L,=0,第44页,三、定解问题是一个整体,普通情况下，不可能先求偏微分方程通解，然后再考虑定解条件，必须同时考虑这两方面。,四、定解问题适定性,1,）有解,2,）解是唯一,3,）解是稳定,？,第45页,本章小结,波动方程,输运方程,拉普拉斯方程,泊松方程,第一类,第二类,第三类,周期性,有界性,演化方程,稳定方程,线性边界条件,自然边界条件,初始状态,初始速度,泛定方程,边界条件,初始条件,定解问题,第46页,先求泛定方程通解方法只适合用于极少数一些定解问题。,是否存在一个基本解法适合用于大量各种各样定解问题呢？,能否把偏微分方程变换成常微分方程，再求解呢？,第47页,Chap.8,分离变数法,齐次方程分离变数法,非齐次问题求解,非齐次边界条件处理,泊松方程,本章小结,第48页,8.1,齐次方程分离变数法,一、分离变数法介绍,两个固定端点会引发波反射，从而在,(0,L),之间存在两列,反向进行同频率波形成驻波。,波腹,波节,第49页,驻波特点,：驻波没有形成波形传输，相邻波节之间各点振动相位相同，表示为,T(t),，不过这些点振幅却随位置改变而改变，振幅随位置改变能够表示为,X(x),。,于是，驻波普通表示式含有分离变数形式：,把驻波分离变数形式代入振动方程和边界条件中,第50页,1,）,定解问题分离变数,未知函数分离：,泛定方程分离：,边界条件分离：,分离结果：,第51页,2,）,分离结果求解,空间方程：,第52页,时间方程：,第53页,第54页,3,）系数确实定,把方程普通解代入到初始条件中，,上两式左边是傅里叶正弦级数，把右边函数展开为傅里叶正弦级数，比较两边系数就能够确定,A,n,和,B,n,第55页,分离变量过程小结,偏微分,方 程,分离,变数,本征值方程,1,解,1,常微分方程,2,解,2,解,1,解,2,线性 组合,所求解,初始条件,确定系数,分离变数法（傅里叶级数法）,第56页,我们以两端固定均匀弦自由振动为例介绍了分离变数法基本思想和求解过程。,用分离变数法得到定解问题解普通是无穷级数。在实际问题中，级数里经常只有前若干项比较主要，后面项则快速减小，从而能够略去。,第57页,二、经典问题求解（波动方程）,例题,1,：两端自由棒纵振动,写出定解问题方程：,分离变数：,第58页,求解本征值问题：,第59页,求解时间方程：,第60页,代入初始条件，确定系数：,第61页,三、经典问题求解（输运方程）,例题,2,：研究细杆导热问题。初始时刻杆一端温度为零度，另一端温度为,u,0,，杆上温度梯度均匀，零度一端温度保持不变，另一端绝热，求杆上温度改变。,分离变量：,分析：一端为第一类齐次、另一端为第二类齐次边界。,定解方程：,第62页,方程求解：,第63页,第64页,代入初始条件，确定系数：,第65页,第66页,第67页,第68页,思 考 题,怎样求解第三类边界条件波动问题和输运问题？,怎样用分离变数法求解稳定场问题？,第69页,四、稳定场问题分离变数法,拉普拉斯方程,矩形区域问题,圆形区域问题,第70页,1,）拉普拉斯方程（矩形区域）,例题,3,：,散热片横截面为矩形，它一边,y=b,处于较高温度,U,，其它三边,y=0,，,x=0,和,x=a,处于冷却介质中因而保持较低温度,u,0,，求解横截面上稳定温度分布,u(x,y),。,0,a,b,y,x,U,u,0,u,0,u,0,定解问题,第71页,分析,：这是二维拉普拉斯方程第一类边值问题。边界条件不可能全部是齐次，通常做法是把一些边界条件化为齐次。,把,v,和,w,满足泛定方程和边界条件分别叠加起来就是,u,满足方程和边界条件。所以分别求,v,和,w,方程就可,以得到未知函数,u,解。,第72页,依据本例实际情况，有一个特殊简单方法：,能够用分离变数法求解，只需要把关于,y,边界条件看做是分离变数法中初始条件,地位。,第73页,分离变数：,求解本征值方程：,求解,Y,满足方程：,关于,v,普通解：,第74页,代入非齐次边界条,件，确定系数,定解问题解为：,第75页,2,）拉普拉斯方程（圆形区域）,例题,3,：,匀强电场中，有半径为,a,，电势为零圆柱导体，求导体外稳定电势分布。,定解问题（极坐标下）,分析：,导体外电势含有轴对称性，做垂直导体,线方向横截面，则能够在极坐标下研究问题。,o,a,E,第76页,分离变数：,求解本征值问题：,求解径向方程：,第77页,方程普通解：,带入边界条件，,确定系数：,第78页,导体带电荷,产生电势,原匀强电场,导体对周围,电场影响,第79页,8.2,非齐次振动方程和输运方程,一、傅里叶级数法,分离变数法结果显示，方程解能够展开为,傅里叶级数，傅里叶级数形式决定于边界条件。,对于非齐次振动方程和输运方程，假如边界条件,依然是齐次，能够先把所求解展开为傅里叶,级数，级数形式取决于该问题齐次方程在所给,定齐次边界条件下本征函数。,傅里叶级数系数是时间,t,函数。,第80页,经典问题求解,例题,1,：求解定解问题,第81页,第82页,第83页,第84页,二、冲量定理法,对于非齐次泛定方程，假如边界条件和初始条件都是齐次，则能够用冲量定理法进行求解。,假如初始条件是非齐次，能够转化为齐次后，再利用冲量定理求解。,第85页,冲量定理法物理思想,冲量定理法基本物理思想是把连续作用力看成许许多多前后相继,“,瞬时,”,力，把连续作用引发振动看作全部,“,瞬时,”,力引发振动叠加。,“,瞬时,”,力引发振动记为,u,(,),(x,t),，其定解问题为：,(1),第86页,(2),定解问题（,1,）和（,2,）是等价。,第87页,从定解问题（,2,）初始条件能够看出，,u,(,),必含有因子,d,，所以能够令：,u,(,),(x,t)=v(x,t,)d,，则定解问题变为，,现在能够用分离变数法或者傅里叶级数法莱求解这个定解问题，唯一要注意问题是，前面讲两种方法初始时刻是零，这里初始时刻为,，因以前两种方法解中,t,，在这里应该换成,t-,。,原定解问题解应该是全部瞬时力引发振动叠加，,第88页,例题,2,：,求解定解问题,解：应用冲量定理，先求解,第89页,参考边界条件，把,v,展开为傅里叶余弦级数,代入泛定方程，分离出,T,n,常微分方程,第90页,T,n,解是,v,解为,系数由初始条件确定,第91页,比较两边系数，得,v,解最终为,所求解为,第92页,回顾：非齐次方程求解,傅里叶级数法,对应齐次方程齐次边,界条件本征函数族,分离出关于,T,方程和初始条件,冲量定理法,第93页,例题,3,：求解定解问题,解法,1,：（傅里叶级数法）,第94页,解关于,T,常微分方程，得：,最终得到所求解：,第95页,解法,2,：（冲量定理法）,则原定解问题变为求解,v,定解问题：,利用分离变量法或者傅里叶级数法均可求解，,最终，得到与解法一相同结果。（过程略）,第96页,8.3,非齐次边界条件处理,利用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求解定解问题只是,齐次边界条件问题,。,在实际问题中，经常有,非齐次边界条件,出现，这么问题又怎样求解呢？能不能利用我们学过这几个方法求解呢？,方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化为另一个未知函数齐次边界条件问题，再进行求解。,第97页,例题,1,：求解定解问题,选取一个函数,v(x,t),，使其满足非齐次边界条件，不妨取,v(x,t),为,x,线性函数，即,第98页,尽管这个定解问题泛定方程是非齐次，但边界条件,是齐次。所以能够利用傅里叶级数法求解。,假如是第二类非齐次边界条件，则,v(x,t),形式能够设为,第99页,例题,2,：弦,x=0,端固定，,x=l,端受迫做谐振动,Asin,t,，弦初始位移和初始速度都是零，求弦振动。,定解问题为：,第100页,因为求解是弦在,x=l,端受迫做谐振动,Asin,t,情况下振动，,从物理上分析，它一定有一个特解,v(x,t),，满足齐次方程和非,齐次边界条件，且跟,x=l,端同时振动，即其时间部分函数也,是,Asin,t,，于是特解能够表示成份离变数形式，,代入到定解问题中去，可分离出关于,X(x),方程和定解条件，,求解这个常微分方程定解问题，最终能够得到特解,v,为,第101页,这个定解问题是齐次方程、齐次边界条件，可用分离变数,法求解，其解为：,第102页,最终，所求解为：,第103页,回顾拉普拉斯方程求解,矩形区域,圆形区域,第104页,8.4,泊松方程,泊松方程是有外源稳定场方程，它形式为：,因为泊松方程与时间无关，显然不能用冲量定理来求解。,求解思绪是：采取特解法，即先不论边界条件，任取泊松方程一个特解,v,，然后令,u=v+w,，把问题转化为求,w,，而,w,满足拉普拉斯方程。,第105页,第106页,*,在极坐标中利用分离变数法求解拉普拉斯方程,能够得到普通解：,第107页,第108页,这是一个拉普拉斯方程定解问题，能够利用分离变数法求解。,第109页,第110页,本章小结,基本方法,齐次问题：分离变量法；,非齐次问题：特解法。,惯用本征方程,齐次边界条件,第一类齐次边界条件,第二类齐次边界条件,第三类齐次边界条件,I,第三类齐次边界条件,II,自然边界条件,周期性边界条件,有界性边界条件,第111页,惯用本征方程,齐次边界条件,第112页,惯用本征方程,自然边界条件,第113页,Chap.10,球函数,轴对称球函数,连带勒让德函数,普通球函数,本章小结,第114页,球坐标系下拉普拉斯方程,球坐标系,第115页,球坐标系下拉普拉斯方程求解,球函数方程,欧拉型常,微分方程,第116页,球函数方程求解,第117页,10.1,轴对称球函数,在,m=0,情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程,勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系极轴上有限）,组成本征值问题，定解称为勒让德多项式,第118页,一、勒让德多项式性质,1.,前几项,第119页,第120页,2.,普通表示,级数表示,微分表示,积分表示,罗德里格斯公式,施列夫利积分,第121页,3.,勒让德多项式模和正交关系,第122页,第123页,4.,广义傅里叶级数,第124页,第125页,5.,母函数和递推公式,母函数,第126页,第127页,递推公式,第128页,递推公式证实,第129页,递推公式应用,第130页,勒让德多项式模计算,第131页,第132页,二、拉普拉斯方程轴对称定解问题,第133页,10.2,连带勒让德函数,在,m0,情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程,这个方程怎样求解呢？,第134页,代入到连带勒让德方程中，得到关于,y,微分方程,这个方程与把勒让德方程逐项求导,m,次得到结果一致。,所以，它解就是勒让德方程解,P(x)m,阶导数，,第135页,一、连带勒让德函数性质,1.,前几项,第136页,第137页,2.,普通表示,微分表示,积分表示,称为罗德里格斯公式，当,l-m=2n,时，为偶函数；,当,l-m=2n+1,时，为奇函数。,称为施列夫利积分,第138页,3.,连带勒让德多项式模和正交关系,第139页,第140页,4.,广义傅里叶级数,第141页,第142页,5.,连带勒让德函数递推公式,第143页,递推公式证实,第144页,第145页,二、连带勒让德函数应用,例题,4,：半径为,a,球面上电势分布为,f=Asin,2,cossin,，,确定球内空间电势,u,。,解：,第146页,10.3,普通球函数,球函数概念,球函数性质,球函数归一化,球函数应用,第147页,一、球函数概念,第148页,二、球函数前几项,第149页,三、球函数性质,对称性,正交性,球面上函数广义傅里叶级数,第150页,四、球函数归一化,归一化球函数,正交性,完备性,第151页,五、球函数应用,例题,1,：半径为,a,球面上电势分布为,f=Asin,2,cos,2,，确定,球内空间电势,u,。,解：,第152页,非对称稳定问题求解,第153页,本 章 小 结,普通球面边界稳定问题半通解为,转动对称球面边界稳定问题半通解为,轴对称球面边界稳定问题半通解为,第154页,Chap.11,柱函数,柱函数基本性质,贝塞尔方程,虚宗量贝塞尔方程,球贝塞尔方程,本章小结,第155页,柱坐标系下拉普拉斯方程,柱坐标系,第156页,柱坐标系下拉普拉斯方程求解,第157页,Z,、,R,常微分方程求解,第158页,于是，我们共得到三类贝塞尔方程：,贝塞尔方程,虚宗量贝塞尔方程,球贝塞尔方程,这三类贝塞尔方程解是什么呢？,第159页,11.1,三类柱函数,三类柱函数,第160页,柱函数基本性质,一、柱函数图象,第161页,诺伊曼函数图象,第162页,二、柱函数渐近性质,x 0,时行为：,x ,时行为：,第163页,三、柱函数递推公式,基本递推公式：,推论二：,推论一：,第164页,递推公式证实,k=l+1,第165页,递推公式应用,例题,1,：,贝塞尔函数积分最终能够化成关于,J,0,积分；当,n+m,为奇数时，能够,积分出来。,第166页,11.2,贝塞尔方程,贝塞尔函数与本征值问题,贝塞尔函数正交性、完备性,正交性,模,傅里叶贝塞尔级数,贝塞尔函数应用,第167页,一、贝塞尔函数与本征值问题,第168页,第169页,贝塞尔函数零点,正负成对；,贝塞尔函数有没有限,多个零点；,n,阶贝塞尔函数两,个相邻零点之间必,有,n+1,阶贝塞尔函,数一个零点。,第170页,第171页,二、贝塞尔函数模、正交性和完备性,贝塞尔函数模,第172页,正交性：不一样本征值同阶贝塞尔函数正交,完备性（傅里叶,-,贝塞尔级数）,第173页,例,1,：,把函数,f=,2,在,0,b,区间用,0,阶贝塞尔函数展开。,第174页,三、贝塞尔函数应用,第175页,第176页,第177页,11.3,虚宗量贝塞尔方程,第178页,第179页,一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数性质,1,）虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数图像,第180页,2,）虚宗量贝塞尔函数渐进行为：,第181页,2,）虚宗量贝塞尔函数渐进行为：,第182页,2,）虚宗量贝塞尔函数渐进行为：,第183页,二、贝塞尔函数应用,第184页,第185页,第186页,11.4,球贝塞尔方程,第187页,第188页,一、球贝塞尔,(,诺伊曼、汉克尔,),函数性质,第189页,第190页,二、球贝塞尔函数应用,第191页,第192页,本章小结,对称柱面问题能够分离出贝塞尔方程本征问题,;,贝塞尔本征问题本征函数为柱函数，本征值由有界或齐次边界条件确定,;,经典柱函数有贝塞尔函数和诺伊曼函数，它们对称性质、递推性质、渐近性质和零点分布等对于柱面问题求解有主要作用。,第193页,复习关键点,熟练掌握三种常见数学物理方程分离变数（傅里叶级数）法；,掌握勒让德函数、连带勒让德函数前几项、递推公式、广义傅里叶级数等基本性质，并能熟练利用；,掌握贝塞尔函数基本性质，并能够利用它求解稳定场方程定解问题。,第194页,例题,1,：两端自由棒纵振动,写出定解问题方程：,分离变数：,第195页,求解本征值问题：,第196页,求解时间方程：,第197页,代入初始条件，确定系数：,第198页,第199页,第200页,第201页,第202页,第203页,谢谢,第204页,
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