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第三节 圆周运动
【知识清单】
（一） 匀速圆周运动的概念
1、 质点沿圆周运动，如果______________________________，这种运动叫做匀速圆周运动。
2、 匀速圆周运动的各点速度不同，这是因为线速度的______时刻在改变。
（二） 描述匀速圆周运动的物理量
1、 匀速圆周运动的线速度大小是指做圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比值。方向沿着圆周在该点的切线方向。
2、 匀速圆周运动的角速度是指做圆周运动的物体与圆心所连半径转过的角度跟所用时间的比值。
3、 匀速圆周运动的周期是指____________________________所用的时间。
（三） 线速度、角速度、周期
1、 线速度与角速度的关系是V=ωr ，角速度与周期的关系式是ω=2π/T。
2、 质点以半径r=0.1m绕定点做匀速圆周运动，转速n=300r/min，则质点的角速度为_______rad/s,线速度为_______m/s。
3、 钟表秒针的运动周期为_______s，频率为_______Hz，角速度为_______rad/s。
（四） 向心力、相信加速度
1、 向心力是指质点做匀速圆周运动时，受到的总是沿着半径指向圆心的合力，是变力。
2、 向心力的方向总是与物体运动的方向_______，只是改变速度的_______，不改变线速度的大小。
3、 在匀速圆周运动中，向心加速度的_______不变，其方向总是指向_______，是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
4、 向心加速度是由向心力产生的，在匀速圆周运动中，它只描述线速度方向变化的快慢。
5、 向心力的表达式_______________。向心加速度的表达式_______________。
6、 向心力是按照效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生_______，它就是物体所受的向心力。
7、 火车拐弯时，如果在拐弯处内外轨的高度一样，则火车拐弯所需的向心力由轨道对火车的弹力来提供，如果在拐弯处外轨高于内轨，且据转弯半径和规定的速度，恰当选择内外轨的高度差，则火车所需的向心力完全由__________和________的合力来提供。
8、 汽车通过拱桥或凹的路面时，在最高点或最低点所需的向心力是由__________________的合力来提供。
【考点导航】
一、 匀速圆周运动中，线速度、角速度、周期、频率、转速之间的关系
T=1/f ω=2π/T=2πf V=2πr/T = 2πrf ω=2πn n=f
二、 匀速圆周运动的特点
加速度的大小不变，方向总是指向圆心，时刻在改变，是变加速曲线运动，做匀速圆周运动的物体所受的合外力全部用来提供向心力，即合力的方向指向圆心。
三、 向心加速度、向心力
1、 根据F=ma 知，向心力和向心加速度的方向相同，都时刻指向圆心，时刻在发生变化。
2、 向心力的来源：可以是任何一个力，可以是任何一个力的分力，也可以是某几个力的合力。
一、 描述圆周运动的物理量及其相互关系
1、 线速度
⑴定义：质点做圆周运动通过的弧长s和所用时间t的比值叫做线速度.
⑵大小： 单位为m/s.
⑶方向：某点线速度的方向即为该点的切线方向.（与半径垂直）
⑷物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢.
注：对于匀速圆周运动，在任意相等时间内通过的弧长都相等，即线速度大小不变，方向时刻改变。
2、角速度
⑴定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度 跟所用时间t的比值，就是质点运动的角速度.
⑵大小： 单位:rad/s.
⑶物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢.
注：对于匀速圆周运动，角速度大小不变。
说明：匀速圆周运动中有两个结论：
⑴同一转动圆盘(或物体)上的各点角速度相同．
⑵不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。
3、周期、频率、转速
⑴周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期。用T表示，单位为s。
⑵频率：做匀速圆周运动的物体在1 s内转的圈数叫做频率。用f表示，其单位为转/秒(或赫兹)，符号为r/s(或Hz)。
⑶转速：工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。转速是指物体单位时间所转过的圈数，常用符号n表示，转速的单位为转/秒，符号是r/s，或转/分(r/min)。
4、向心加速度
⑴定义：做圆周运动的物体，指向圆心的加速度称为向心加速度.
⑵大小：
⑶方向：沿半径指向圆心.
⑷意义：向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢.
说明:
①向心加速度总指向圆心，方向始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
②向心加速度方向时刻变化，故匀速圆周运动是一种加速度变化的变加速曲线运动(或称非匀变速曲线运动).
③向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度。对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动。如图所示，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度，其只改变速度的方向。而沿切线的分加速度只改变速度的大小。
5、向心力
⑴定义：做圆周运动的物体受到的指向圆心的合外力，叫向心力。
⑵方向：向心力的方向沿半径指向圆心，始终和质点运动方向垂直，即总与圆周运动的线速度方向垂直。
⑶大小:
⑷向心力的效果：向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
补充知识：同轴传动、皮带传动和齿轮传动
两个或者两个以上的轮子绕着相同的轴转动时，不同轮子上的点具有相同的角速度，通过皮带传动的两个轮子上，与皮带接触的点具有相同的线速度，齿轮传动和皮带传动具有相同的规律。
二、离心运动和向心运动
1、离心运动
⑴定义：做圆周运动的物体，在所受到的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
⑵本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向．
⑶受力特点
当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F<mω2r时，物体逐渐远离圆心。
F为实际提供的向心力．如图所示．
2、向心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F>mω2r，物体逐渐向圆心靠近．如图所示．
三、圆周运动中的动力学问题分析
1、向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2、向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3、解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；
(4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程；
(5)求解、讨论．
四、圆周运动当中的各种模型分析
1、汽车转弯问题
(1)路面水平时，转弯所需的向心力由静摩擦力提供，若转弯半径为R，路面与车轮之间的最大静摩擦力为车重的μ倍，汽车转弯的最大速度为
计算车辆通过倾斜弯道问题时应注意：
公路弯道倾斜或铁路弯道外轨高于内轨，如果车辆转弯时的速度大于设计速度，此时汽车受到的静摩擦力沿斜面向内侧，火车受到外轨的压力沿斜面向内侧。（如图所示）这个力不是全部用于提供向心力。只有其水平分力提供向心力。原因是车辆做圆周运动的轨道平面是水平面。
受力分析如下图
2、水流星模型(竖直平面内的圆周运动——是典型的变速圆周运动)
研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。(圆周运动实例)
①火车转弯
②汽车过拱桥、凹桥3
③飞机做俯冲运动时，飞行员对座位的压力。
④物体在水平面内的圆周运动（汽车在水平公路转弯，水平转盘上的物体，绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转）和物体在竖直平面内的圆周运动（翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等）。
⑤万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、重力与弹力的合力——锥摆、（关健要搞清楚向心力怎样提供的）
（1）火车转弯：设火车弯道处内外轨高度差为h，内外轨间距L，转弯半径R。由于外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合力F合提供向心力。
(是内外轨对火车都无摩擦力的临界条件)
①当火车行驶速率V等于V0时，F合=F向，内外轨道对轮缘都没有侧压力
②当火车行驶V大于V0时，F合<F向，外轨道对轮缘有侧压力，F合+N=
③当火车行驶速率V小于V0时，F合>F向，内轨道对轮缘有侧压力，F合-N'=
即当火车转弯时行驶速率不等于V0时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度不宜过大，以免损坏轨道。火车提速靠增大轨道半径或倾角来实现
（2）无支承的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况：
受力：由mg+T=mv2/L知,小球速度越小,绳拉力或环压力T越小,但T的最小值只能为零,此时小球以重力提供作向心力.
结论：通过最高点时绳子(或轨道)对小球没有力的作用(可理解为恰好通过或恰好通不过的条件)，此时只有重力提供作向心力. 注意讨论：绳系小球从最高点抛出做圆周还是平抛运动。
能过最高点条件：V≥V临（当V≥V临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力）
不能过最高点条件：V<V临(实际上球还未到最高点就脱离了轨道)
讨论：① 恰能通过最高点时：mg=，临界速度V临=；
可认为距此点 (或距圆的最低点)处落下的物体。
☆此时最低点需要的速度为V低临= ☆最低点拉力大于最高点拉力ΔF=6mg
② 最高点状态: mg+T1= (临界条件T1=0, 临界速度V临=, V≥V临才能通过)
最低点状态: T2- mg = 高到低过程机械能守恒:
T2- T1=6mg(g可看为等效加速度)
② 半圆：过程mgR= 最低点T-mg= 绳上拉力T=3mg； 过低点的速度为V低 =
小球在与悬点等高处静止释放运动到最低点，最低点时的向心加速度a=2g
③与竖直方向成q角下摆时,过低点的速度为V低 =,
此时绳子拉力T=mg(3-2cosq)
（3）有支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况：
①临界条件：杆和环对小球有支持力的作用
当V=0时，N=mg（可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点）
恰好过最高点时，此时从高到低过程 mg2R=
低点：T-mg=mv2/R T=5mg ；恰好过最高点时，此时最低点速度：V低 =
注意物理圆与几何圆的最高点、最低点的区别： (以上规律适用于物理圆,但最高点,最低点, g都应看成等效的情况)
竖直面内圆周运动的应用：
——汽车通过拱桥和凹型地面
五、补充定理：在竖直平面内的圆周，物体从顶点开始无初速地沿不同弦滑到圆周上所用时间都相等。（等时圆）
一质点自倾角为的斜面上方定点O沿光滑斜槽OP从静止开始下滑，如图所示。为了使质点在最短时间内从O点到达斜面，则斜槽与竖直方面的夹角等于多少？
六、注意：临界不脱轨有两种：1.达不到半圆 2.能到最高.
【例1】质点做匀速圆周运动，则 （ BD ）
在任何相等的时间里，质点通过的位移都相等
在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
在任何相等的时间里，质点运动的平均速度的都相等
在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
【解析】此题考查的是曲线运动的特点，即位移、速度的方向变化。故此题选BD
【例2】质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是 ( CD )
A．速度的大小和方向都改变
B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动
D．向心加速度大小不变，方向时刻改变
解析:匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B错，D对；由匀速圆周运动的条件可知，C对．
【例3】关于匀速圆周运动的说法，正确的是 ( BD )
A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度
C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动
解析 速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度．加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．故本题选B、D.
【例4】在一个水平圆盘上有一个木块P，随圆盘一起
绕过O点的竖直轴匀速转动，下面说法正确的是（ AC ）
圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力的方向
指向圆心O点。
圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力为0。
在转速一定得条件下，P受到的静摩擦力跟P到圆心O的距离成正比
在P到圆心O的距离一定的条件下，P受到的静摩擦力的大小跟圆盘匀速转动的角速度成正比。
【例5】如右图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( CD )
A．绳的拉力
B．重力和绳的拉力的合力
C．重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
【例6】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图14甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( C )
图14
A. B.
C. D.
答案 C
解析 物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的P点可看做该点对应的竖直平面内圆周运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知：mg＝，解得ρ＝＝＝.
【例7】如图所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,a是它边缘上的一点.左侧是一轮轴,大轮的半径为4r,小轮的半径为2r.b点在小轮上,b到小轮中心的距离为r.c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中,皮带不打滑.则( AB )
A．a点与b点的线速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．a点与d点的向心加速度大小相等
【解析】a和c是与皮带接触的两点，二者具有相同的
线速度，b、c、d属于同轴传动，它们具有相同的角速度，
由v=rω、向心加速度的表达式和它们半径之间的关系，
不难选出正确答案为AB。
【例8】如图—1所示,传动轮A、B、C的半径之比为2：1：2，A、B两轮用皮带传动，皮带不打滑，B、C两轮同轴，a、b、c三点分别处于A、B、C三轮的边缘，d点在A轮半径的中点。试求：a、b、c、d四点的角速度之比，即ωa:ωb:ωc:ωd 1:2:2:1 ，线速度之比,即va:vb:vc:vc= 2:2:4:1 ;向心加速度之比,即:aa:ab:ac:ad= 2:4:8:1 .
【例9】下列关于离心现象的说法正确的是( C )
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动
解析 物体只要受到力，必有施力物体，但“离心力”是没有施力物体的，故所谓的离心力是不存在的，只要向心力不足，物体就做离心运动，故A选项错；做匀速圆周运动的物体，当所受的一切力突然消失后，物体做匀速直线运动，故B、D选项错，C选项对．
【例10】如图1所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在
匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服( C )
A．受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用
B．所需的向心力由重力提供
C．所需的向心力由弹力提供 图1
D．转速越快，弹力越大，摩擦力也越大
解析 衣服只受重力、弹力和静摩擦力三个力作用，A错；衣服做圆周运动的向心力为它所受到的合力，由于重力与静摩擦力平衡，故弹力提供向心力，即FN＝mrω2，转速越大，FN越大．C对，B、D错．
【例11】如图，A、B两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A、B的周期分别为T1、T2，且T1<T2，在某一时刻两质点相距最近时开始计时，问何时两质点再次相距最近？
【例12】如图所示，线段OA＝2AB，A、B两球质量相等．当它们绕()点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力TAB与TOA之比为多少?
答案：5:3
【例13】如图所示，长为r的细杆一端固定一个质量为m的
小球，使之绕另一端O在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时
的速度v＝，在这点时 ( B )
A．小球对杆的拉力是
B．小球对杆的压力是
C．小球对杆的拉力是mg
D．小球对杆的压力是mg
解析 设在最高点，小球受杆的支持力FN，方向向上，则由牛顿第二定律得：mg－FN＝m，得出FN＝mg，故杆对小球的支持力为mg，由牛顿第三定律知，小球对杆的压
【例14】“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技
演员驾驶摩托车沿表演台的侧壁做匀速圆周运动，简化后的模
型如图7所示．若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩
托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离
地面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的 图7
是( B )
A．摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大
B．摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大
C．摩托车做圆周运动的H越高，向心力做功越多
D．摩托车对侧壁的压力随高度H增大而减小
解析 经分析可知，摩托车做匀速圆周运动的向心力由重力及侧壁对摩托车弹力的合力提供，由力的合成知其大小不随H的变化而变化，A错误；因摩托车和杂技演员整体做匀速圆周运动，所受合外力等于向心力，即F合＝m，随H的增大，r增大，线速度增大，B正确；向心力与速度一直垂直，不做功，C错误；由力的合成与分解知识知摩托车对侧壁的压力恒定不变，D错误．
力为mg，B正确．
【例15】如图所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定
放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R不同的
圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互
作用力．下列说法中正确的是( AD )
A． 半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大 图4
B．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小
C．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大
D．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小
解析 小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点mg＝，即v0＝，选项A正确而B错误；由动能定理得，小球在最低点的速度为v＝，则最低点时的角速度ω＝＝ ，选项D正确而C错误．
【例16】长为L的细线一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，摆线L与竖直方向的夹角是α时，求：
⑴线的拉力F
⑵小球运动的线速度的大小
⑶小球运动的角速度及周期
【例17】在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h. 汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面间的最大静摩擦力为车重的0.6倍. 取g＝10 m/s2.试问：汽车在这种高速公路的水平弯道上安全拐弯时，其弯道的最小半径是多少？
【例18】质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图6所示，
其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气
对飞机的作用力大小为 ( C )
A．m 图6
B．mg
C．m
D．m
解析 飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力
和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力F向＝m.飞机受力
情况示意图如图所示，根据勾股定理得：
F＝＝m .
【例19】如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，
半径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小的多)，现给
小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道
运动，v0应满足(g＝10 m/s2)( CD ) 图9
A．v0≥0 B．v0≥4 m/s
C．v0≥2 m/s D．v0≤2 m/s
解析 解决本题的关键是全面理解“小球不脱离圆轨道运动”所包含的两种情况：(1)小球通过最高点并完成圆周运动；(2)小球没有通过最高点，但小球没有脱离圆轨道．
对于第(1)种情况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤mv2/r，又根据机械能守恒定律有mv2/2＋2mgr＝mv/2，可求得v0≥2 m/s，故选项C正确；对于第(2)种情况，当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr＝mv/2，可求得v0≤2 m/s，故选项D正确．
【例20】用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑
圆锥顶上，如图10所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动
的角速度为ω，细线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是
下列选项中的( C )
图10
解析 小球未离开锥面时，设细线的张力为FT，线的长度为L，锥面对小球的支持力为FN，则有：FTcos θ＋FNsin θ＝mg及FTsin θ－FNcos θ＝mω2Lsin θ，可求得FT＝
mgcos θ＋mω2Lsin2 θ
可见当ω由0开始增大，FT从mgcos θ开始随ω2的增大而线性增大，当角速度增大到小球飘离锥面时，有FTsin α＝mω2Lsin α，其中α为细线与竖直方向的夹角，即FT＝mω2L，可见FT随ω2的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，综上所述，只有C正确．
【例21】火车在某转弯处的规定行驶速度为v，则下列说法正确的是（ AC ）
A、当以速度v通过此转弯处时，火车受到的重力及轨道面的支持力的合力提供了转弯的向心力
B、当以速度v通过此转弯处时，火车受到的重力、轨道面的支持力及外轨对车轮轮缘的弹力的合力提供了转弯的向心力
C、当火车以大于v的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压外轨
D、当火车以小于v的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压外轨
【例22】如图所示，物体A放在粗糙板上随板一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，且板始终保持水平，位置Ⅰ、Ⅱ在同一水平高度上，则( )
A. 物体在位置Ⅰ、Ⅱ时受到的弹力都大于重力
B. 物体在位置Ⅰ、Ⅱ时受到的弹力都小于重力
C. 物体在位置Ⅰ时受到的弹力小于重力，位置Ⅱ时受到的弹力都大于重力
D. 物体在位置Ⅰ时受到的弹力大于重力，位置Ⅱ时受到的弹力都小于重力
【例23】如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：
(1)小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?
(2)小球落地点C与B点水平距离s是多少?
答案：
【例24】如图9所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量
为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，
母线与轴线之间的夹角为30˚.小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面
内做匀速圆周运动． 图9
(1)当v1＝ 时，求线对小球的拉力；
(2)当v2＝ 时，求线对小球的拉力．
解析 如图甲所示，小球在锥面上运动，当支持力FN＝0时，小球只受重力mg和线的拉力FT的作用，其合力F应沿水平面指向轴线，由几何关系知
F＝mgtan 30° ①
又F＝m＝m ②
由①②两式解得v0＝
(1)因为v1<v0，所以小球与锥面接触并产生支持力FN，此时小球受力如图乙所示．根据牛顿第二定律有
FTsin 30°－FNcos 30°＝ ③
FTcos 30°＋FNsin 30°－mg＝0 ④
由③④两式解得FT＝≈1.03mg
(2)因为v2>v0，所以小球与锥面脱离并不接触，设此时线与竖直方向的夹角为α，小球受力如图丙所示．则
FTsin α＝ ⑤
FTcos α－mg＝0 ⑥
由⑤⑥两式解得FT＝2mg
答案 (1)1.03mg (2)2mg
【例25】如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物体
A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质
量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2 m．若A与转
盘间的最大静摩擦力为Ff＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中
心O旋转的角速度ω的取值范围．(取g＝10 m/s2)
答案 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
解析 要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心趋势，静摩擦力背离圆心O.设角速度ω的最大值为ω1，最小值为ω2
对于B：FT＝mg
对于A：FT＋Ff＝Mrω
或FT－Ff＝Mrω
代入数据解得ω1＝6.5 rad/s，ω2＝2.9 rad/s
所以2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s.
【例26】如右图所示，轻线一端系一质量为m的小球，另一端穿过光滑小孔套在正下方的图钉A上，此时小球在光滑的水平平台上做半径为a、角速度为ω的匀速圆周运动. 现拔掉图钉A让小球飞出，此后细绳又被A正上方距A高为h的图钉B套住，达稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动. 求：
(1)图钉A拔掉前，轻线对小球的拉力大小？
(2)从拔掉图钉A到被图钉B套住前小球做什么运动？所用的时间为多少？
(3)小球最后做圆周运动的角速度．
【例27】如图11所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，
木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定
在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球
C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时
速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通 图11
过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足( CD )
A．最小值 B．最大值
C．最小值 D．最大值
解析 要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝m，由最低点到最高点由机械能守恒得mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为；为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg，满足3mg＝m，从最低点到最高点由机械能守恒得：mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为.
答案 CD
【例28】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，
使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列
说法正确的是 ( A )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
答案 A
解析 因轻杆既可以提供拉力又可以提供支持力，所以在最高点杆所受弹力可以为零，A对；在最高点弹力也可以与重力等大反向，小球最小速度为零，B错；随着速度增大，杆对球的作用力可以增大也可以减小，C、D错.
【例29】如图甲所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线和张力为T.(取g＝10 m/s2，结果可用根式表示)求：
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
(3)细线的张力T与小球匀速转动的角速度ω有关，请在如图乙所示的坐标纸上画出当ω的取值范围在0到ω′之间时的T－ω2图像(要求标明关键点的坐标值)．
【例30】如图所示，小球被长为L的细绳静止地悬挂着，给小球多大的水平初速度，才能使绳在小球运动过程中始终绷紧？
第三节 圆周运动
创新训练
1．—个物体以角速度ω做匀速圆周运动时．下列说法中正确的是：（ A ）
A．轨道半径越大线速度越大 B．轨道半径越大线速度越小
C．轨道半径越大周期越大 D．轨道半径越大周期越小
2．下列说法正确的是：（ C ）
A．匀速圆周运动是一种匀速运动 B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种变加速运动 D．物体做圆周运动时，其合力垂直于速度方向，不改变线速度大小
3．如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则
A的受力情况是：（ B ）
A．受重力、支持力 B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C．受重力、支持力、向心力、摩擦力 D．以上均不正确
4．一重球用细绳悬挂在匀速前进中的车厢天花板上，当车厢突然制动时，则：（ B ）
A．绳的拉力突然变小 B．绳的拉力突然变大
C．绳的拉力没有变化 D．无法判断拉力有何变化
5、如图—3所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B 、C分别是三个轮边缘的质点，且RA=RC=2RB，则三质点的向心加速度之比aA：aB：aC等于（ A ）
A．4：2：1 B．2：1：2 C．1：2：4 D．4：1：4
6．质量为m 的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动，小球到达最低点和最高点时，绳子所受的张力之差是：（ A ）
A、6mg B、5mg
C、2mg D、条件不充分，不能确定。
7. 两个质量分别是m1和m2的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为L的细线连接，水平杆随框架以角速度ω做匀速转动，两球在杆上相对静止，如图5-18所示，求两球离转动中心的距离R1和R2及细线的拉力．
解析：绳对m1和m2的拉力是它们做圆周运动的向心力，根据题意
R1＋R2＝L，R2＝L-R1
对m1：F＝m1ω2R1
对m2：F＝m2ω2R2＝m2ω2(L-R1)
所以m1ω2R1＝m2ω2(L-R1)
即得：R1＝
R2＝L-R1＝
F＝m1ω2· ＝
答案：；；F＝
8．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为（ D ）
A．1：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1
9、如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则：（ C ）
①a点和b点的线速度大小相等
②a点和b点的角速度大小相等
③a点和c点的线速度大小相等
④a点和d点的向心加速度大小相等
A.①③ B. ②③ C. ③④ D.②④
10、如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平布做匀速圆周运动，以下说法正确的是：（ A ）
A. VA>VB B. ωA>ωB C. aA>aB D.压力NA>NB
11、半径为R的光滑半圆柱固定在水平地面上，顶部有一小物块，如图所示，今给小物块一个初速度，则物体将：（ C ）
A. 沿圆面A、B、C运动
B. 先沿圆面AB运动，然后在空中作抛物体线运动
C. 立即离开圆柱表面做平抛运动
D. 立即离开圆柱表面作半径更大的圆周运动
12、如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点钉一颗钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时：（ B ）
①小球的瞬时速度突然变大
②小球的加速度突然变大
③小球的所受的向心力突然变大
④悬线所受的拉力突然变大
A. ①③④ B. ②③④
C. ①②④ D.①②③
13、如图所示，汽车以速度V通过一半圆形拱桥的顶点时，关于汽车受力的说法正确的是（ D ）
A. 汽车受重力、支持力、向心力
B. 汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力、向心力
C. 汽车的向心力是重力
D. 汽车的重力和支持力的合力是向心力
14．在光滑的水平面上相距40 cm的两个钉子A和B，如图所示，长1 m的细绳一端系着质量为0.4 kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2 m/s的速率在水平面上做匀速圆周
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