四边形综合中档偏上题(高于中考难度).doc

四边形综合中档偏上题（高于中考难度）

一．解答题（共13小题）
1．（2016•濉溪县二模）如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（3）设AH=x，DG=2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值．

2．（2016•亭湖区一模）【发现证明】
（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论．
【类比引申】
（2）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系，不需证明；
【联想拓展】
（3）如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=1，CF=2，求EF的长．

3．（2016•安徽模拟）（1）如图，将正方形ABCD与正方形ECGF（CE＜AB）拼接在一起，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试证明：DM=ME；
（2）如图2，若将正方形CEFG绕着顶点C逆时针旋转45°，其他条件不变，那么（1）中的结论是否成立？若成立请说明理由，若不成立请直接写出你发现的结论；
（3）若将正方形CEFG由图1中的位置绕着顶点C逆时针旋转90°，其他条件不变，请你在图3中画出完整的旋转后的图形，并判定（1）中的结论是否成立．

4．（2016•泰州一模）已知△ABC为边长为6的等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE=x，连接
DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、CF．
（1）求证：△AEF为等边三角形；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（3）记△CEF的面积为S，
①求S与x的函数关系式；
②当S有最大值时，判断CF与BC的位置关系，并说明理由．

5．（2016春•丹阳市校级期中）探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠　　　　　　．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌　　　　　　．∴　　　　　　=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

6．（2015•广西自主招生）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

7．（2014春•云霄县校级期中）如图：在长方形ABCD中，∠B=90°点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，
（1）如图1：当BE=EC=3，AB=8时，求EF的长．
（2）如图2：若BG=EG，求证：AG=BG．
（3）如图3：若BG=EG=FG=BF，求：的值．

8．（2013•岳阳）某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：DP=DQ；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．

9．（2012•盘锦）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于G．
（1）求证：BF=AE；
（2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写结论）
（3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF：AD=4：3，求S四边形MNPQ：S正方形ABCD．

10．（2015•长春）在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE=AB，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F．
猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为　　　　　　．
探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明．
应用：如图②，若AB=2，AD=5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．

11．（2012•辽阳）已知：在△PAB的边PA、PB上分别取点C、D，连接CD使CD∥AB．将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′（∠APC′＜∠APB），连接AC′、BD′．
（1）如图1，若∠APB=90°，PA=PB，求证：AC′=BD′；AC′⊥BD′．
（2）在图1中，连接AD′、BC′，分别取AB、AD′、C′D′、BC′的中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH．请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（3）①如图2，若改变（1）中∠APB的大小，使0°＜∠APB＜90°，其他条件不变，重复（2）中操作．请你直接判断四边形EFGH的形状．
②如图3，若改变（1）中PA、PB的大小关系，使PA＜PB，其他条件不变，重复（2）中操作，请你直接判断是四边形EFGH的形状．

12．（2014•青海）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求证：EF=EG．
（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF　　　　　　EG（用“=”或“≠”填空）
（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A重合），其余条件不变，若AB=4，BG=3，求的值．

13．（2014•潍坊）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；
（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

四边形综合中档偏上题（高于中考难度）
参考答案与试题解析

一．解答题（共13小题）
1．（2016•濉溪县二模）如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（3）设AH=x，DG=2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值．
【解答】（1）证明：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM；

（2）证明：在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HDG和△AEH中，
，
∴Rt△HDG≌△AEH（HL），
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形；

（3）解：过F作FM⊥CD于M，
在△AHE与△MFG中，，
∴△AHE≌△MFG，
∴MF=AH=x，
∵DG=2x，
∴CG=6﹣2x，
∴y=CG•FM=•x•（6﹣2x）=﹣（x﹣）2+，
∵a=﹣1＜0，∴当x=时，y最大=．

2．（2016•亭湖区一模）【发现证明】
（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论．
【类比引申】
（2）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系，不需证明；
【联想拓展】
（3）如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=1，CF=2，求EF的长．

【解答】解：（1）∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
∴∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°﹣45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△AFG≌△AFE．
∴EF=FG．
∴EF=DF+DG=DF+BE，即EF=BE+DF；

（2）DF=EF+BE．
理由：如图2所示．
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC=∠ABE=90°，
∴点C、D、G在一条直线上．
∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD．
又∵∠BAG+∠GAD=90°，
∴∠EAG=∠BAD=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣45°=45°．
∴∠EAF=∠GAF．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF．
∴EF=FG．
∵FD=FG+DG，
∴DF=EF+BE．

（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，
连FG，如图3，
∴AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，
∴∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，
∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；
又∵∠EAF=45°，而∠EAG=90°，
∴∠GAF=90°﹣45°=45°，
在△AGF与△AEF中，，
∴△AGF≌△AEF，
∴FG=EF，
∴EF2=BE2+FC2=12+22=5．
∴EF=．

3．（2016•安徽模拟）（1）如图，将正方形ABCD与正方形ECGF（CE＜AB）拼接在一起，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试证明：DM=ME；
（2）如图2，若将正方形CEFG绕着顶点C逆时针旋转45°，其他条件不变，那么（1）中的结论是否成立？若成立请说明理由，若不成立请直接写出你发现的结论；
（3）若将正方形CEFG由图1中的位置绕着顶点C逆时针旋转90°，其他条件不变，请你在图3中画出完整的旋转后的图形，并判定（1）中的结论是否成立．

【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于H，
∵AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
在△FME和△AMH中，
，
∴△FME≌△AMH，
∴HM=EM，
∵∠HDE=90°，HM=EM，
∴DM=ME；
（2）如图2，连接AE，
∵四边形ABCD和四边形ECGF是正方形，
∴∠FCE=45°，∠CAD=45°，
∴点A、E、C在同一条直线上，
∵∠ADF=90°，∠AEF=90°，M为AF的中点，
∴DM=AF，EM=AF，
∴DM=ME；
（3）如图3，是画出的完整的旋转后的图形，
连接CF，MG，作MN⊥CD于N，
在△ECM和△GCM中，
，
∴△ECM≌△GCM，
∴ME=MG，
∵M为AF的中点，FG∥MN∥AD，
∴GN=ND，又ME=MG，
∴MD=MG，
∴MD=ME，
∴（1）中的结论成立．

4．（2016•泰州一模）已知△ABC为边长为6的等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE=x，连接
DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、CF．
（1）求证：△AEF为等边三角形；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（3）记△CEF的面积为S，
①求S与x的函数关系式；
②当S有最大值时，判断CF与BC的位置关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠CED=60°，
∠AEF=60°，又AE=EF，
∴△AEF为等边三角形；
（2）∵∠FAC=60°，
∴∠FAC=∠ACB=60°，
∴AF∥BC，
∵∠CED=∠CAB=60°，
∴AB∥BF，
∴四边形ABDF为平行四边形；
（3）①作AH⊥BC于H，
∵△ABC为边长为6的等边三角形，
∴AH=3，
∴S△CDF=×CD×AH=x，
∵△CDE为等边三角形，CD=x，
∴S△CDE=x2，
∴△CEF的面积S=x﹣x2；
②CF⊥BC．
x=﹣=3时，S最大，
∴CD=CE=3，
∵△CDE为等边三角形，
∴DE=CD=CE=3，
∵E为AC的中点，
∴AE=CE=3
∴AE=EF=3
∴CE=DE=EF=3，
∴∠CDE=∠ECD，
∠ECF=∠EFC，
∵∠CDE+∠ECD+∠CCF+∠EFC=180°，
∴2∠ECD+2∠ECF=180°，
∴∠ECD+∠ECF=90°，即∠DCF=90°，
∴CF⊥BC．

5．（2016春•丹阳市校级期中）探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠　EAF　．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌　△EAF　．∴　GF　=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

【解答】解：（1）AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠EAF．
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
故DE+BF=EF；
故答案为：EAF；△EAF；GF；
（2）DE+BF=EF，证明如下：
假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG，此时AB与AD重合，
由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
∴点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=m°，
∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠EAF，
即m°﹣m°=m°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=m°，
即∠GAF=∠EAF，
又∵AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF，
∴DE+BF=EF；
（3）由（2）的结论可知，当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．

6．（2015•广西自主招生）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．
在Rt△AOB中，AB==10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD=∠COD=90°．
又∵∠FDQ=∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴=．
即=，
∴DF=t．
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP=DF．
即10﹣t=t，
解这个方程，得t=．
∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．
（2）如图1，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，
即10•CG=×12×16，
∴CG=．
∴S梯形APFD=（AP+DF）•CG
=（10﹣t+t）•=t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴=．
即=，
∴QF=t．
同理，EQ=t．
∴EF=QF+EQ=t．
∴S△EFD=EF•QD=×t×t=t2．
∴y=（t+48）﹣t2=﹣t2+t+48．
（3）如图2，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，
则﹣t2+t+48=×96，
即5t2﹣8t﹣48=0，
解这个方程，得t1=4，t2=﹣（舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t=4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴==，即==．
∴PN=，BN=．
∴EM=EQ﹣MQ=3﹣=．
PM=BD﹣BN﹣DQ=16﹣﹣4=．
在Rt△PME中，
PE===（cm）．

7．（2014春•云霄县校级期中）如图：在长方形ABCD中，∠B=90°点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，
（1）如图1：当BE=EC=3，AB=8时，求EF的长．
（2）如图2：若BG=EG，求证：AG=BG．
（3）如图3：若BG=EG=FG=BF，求：的值．

【解答】（1）解：∵BE=EC=3
∴BC=6
在Rt△ABC中
∵AB=8
∴AC=10
∴
∵
∴EF=2.4
（2）证明：∵GB=GE
∴∠GBE=GEB
在Rt△ABE中
∠BAG与∠GEB互余
∵∠ABE=90°
∴∠GBA与∠GBE互余
∴∠GAB=∠GBA
∴AG=BG
（3）解：∵BG=EG
∴AG=BG在Rt△ABC中

∵BG=EG=FG=BF
∴AG=BG=EG=FG=EF
∴A、B、E、F四点共圆且△BGF为等边三角形
∴∠BGF=60°
∴
在Rt△ABC中
∵（如果没接触过三角函数，可以用“在含30°角的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”，也可以得出结论）
∴

8．（2013•岳阳）某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：DP=DQ；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．

【解答】（1）证明：∵∠ADC=∠PDQ=90°，
∴∠ADP=∠CDQ．
在△ADP与△CDQ中，

∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ．

（2）猜测：PE=QE．
证明：由（1）可知，DP=DQ．
在△DEP与△DEQ中，

∴△DEP≌△DEQ（SAS），
∴PE=QE．

（3）解：∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，BP=2．
与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，
∴CQ=AP=8．
与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，
∴PE=QE．
设QE=PE=x，则BE=BC+CQ﹣QE=14﹣x．
在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2=PE2，
即：22+（14﹣x）2=x2，
解得：x=，即QE=．
∴S△DEQ=QE•CD=××6=．
∵△DEP≌△DEQ，
∴S△DEP=S△DEQ=．

9．（2012•盘锦）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于G．
（1）求证：BF=AE；
（2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写结论）
（3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF：AD=4：3，求S四边形MNPQ：S正方形ABCD．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．
∴∠DAE+∠BAE=90°．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠GAB+∠GBA=90°，
∴∠DAE=∠ABG．
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF=AE；

（2）结论成立　即AE=BF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．
∴∠DAE+∠BAE=90°．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠GAB+∠GBA=90°，
∴∠DAE=∠ABG．
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF=AE；

（3）∵AF：AD=4：3，设AF=4a，AD=3a，
∴DF=a．
∵△ABF≌△DAE，
∴AF=DE，
∴AF﹣AD=DE﹣DC，
∴DF=CE，
∴CE=a．
∵点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，
∴MN是△AEF的中位线，MQ是△ABF的中位线，
∴MN=AE，MN∥AE，MQ=BF，MQ∥BF．
∴MN=MQ．∠MNP=∠NPQ=∠PQM=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
BF=5a．
∴MN=MQ=．
∴S四边形MNPQ=．
∵S正方形ABCD=9a2，
∴S四边形MNPQ：S正方形ABCD=：9a2=25：36．
答：S四边形MNPQ：S正方形ABCD=25：36．

10．（2015•长春）在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE=AB，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F．
猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为　AF=DE　．
探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明．
应用：如图②，若AB=2，AD=5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．

【解答】解：①AF=DE；
②AF=DE，
证明：∵∠A=∠FEC=∠D=90°，
∴∠AEF=∠DCE，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE，
∴AF=DE．
③∵△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=AB=2，AF=DE=3，FB=FA﹣AB=1，
∵BG∥AD，
∴=，
∴BG=．

11．（2012•辽阳）已知：在△PAB的边PA、PB上分别取点C、D，连接CD使CD∥AB．将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′（∠APC′＜∠APB），连接AC′、BD′．
（1）如图1，若∠APB=90°，PA=PB，求证：AC′=BD′；AC′⊥BD′．
（2）在图1中，连接AD′、BC′，分别取AB、AD′、C′D′、BC′的中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH．请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（3）①如图2，若改变（1）中∠APB的大小，使0°＜∠APB＜90°，其他条件不变，重复（2）中操作．请你直接判断四边形EFGH的形状．
②如图3，若改变（1）中PA、PB的大小关系，使PA＜PB，其他条件不变，重复（2）中操作，请你直接判断是四边形EFGH的形状．

【解答】解：（1）延长AC′交BD′于点M，
∵∠APB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°．
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA．
∵CD∥AB，
∴∠PCD=∠PAB，∠PBA=∠PDC，
∴∠PCD=∠PDC，
∴PC=PD．
∵将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′，
∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．
∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB，PC′=PD′．
∴∠APC′=∠BPD′．
在△AC′P和△BD′P中，
，
∴△AC′P≌△BD′P（SAS），
∴AC′=BD′，∠PAC′=∠PBD′．
∵∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°，
∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AC′⊥BD′．
∴AC′=BD′；AC′⊥BD′；

（2）四边形EFGH是正方形．
∵点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点，
∴EF=GH=BD′，GF=EH=AC′，EF∥BD′，EH∥AM，
∴∠AEF=∠ABM，∠BEH=∠BAM，
∴∠AEF+∠BEH=90°，
∴∠FEH=90°
∵AC′=BD′，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是正方形；

（3）①四边形EFGH是菱形．
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA．
∵CD∥AB，
∴∠PCD=∠PAB，∠PBA=∠PDC，
∴∠PCD=∠PDC，
∴PC=PD．
∵将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′，
∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．
∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB，PC′=PD′．
∴∠APC′=∠BPD′．
在△AC′P和△BD′P中，
，
∴△AC′P≌△BD′P（SAS），
∴AC′=BD′．
∵点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点，
∴EF=GH=BD′，GF=EH=AC′，
∵AC′=BD′，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形；
②四边形EFGH是矩形．
如图3，延长AC′交BD′于点M，
∵将△PCD绕点P按逆时针方向旋转得到△PC′D′，
∴∠APB=∠C′PD′，PC′=PC，PD′=PD．
∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB，．
∴∠APC′=∠BPD′．
∵CD∥AB，
∴，
∴．
∴△AC′P∽△BD′P，
∴∠PAC′=∠PBD′．
∵∠APB=90°，
∴∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°，
∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°．
∵点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点，
∴EF=GH=BD′，GF=EH=AC′，EF∥BD′，EH∥AM，
∴四边形EFGH是平行四边形．∠AEF=∠ABM，∠BEH=∠BAM，
∴∠AEF+∠BEH=90°，
∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形．

12．（2014•青海）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求证：EF=EG．
（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF　=　EG（用“=”或“≠”填空）
（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A重合），其余条件不变，若AB=4，BG=3，求的值．

【解答】解：（1）证明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，
∴∠AEG=∠CEF，
又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，
∴△EAG≌△ECF（ASA）
∴EG=EF
（2）EF=EG；
过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图2所示，
则∠MEN=90°，EM=EN，
∴∠GEM=∠FEN，
又因为∠EMG=∠ENF=90°，
∴△EMG≌△ENF
∴EF=EG．
故答案为：=．
（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图3所示：
则∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，
∴，
∴，
又∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，
∴∠FEN=∠GEM，
∴Rt△GME∽Rt△FNE，
∴

13．（2014•潍坊）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；
（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

【解答】（1）证明：如图1，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．

（2）解：如图2，根据题意得，
FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），则PB=2k
在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x2=（x﹣k）2+4k2，
∴x=，
∴sin∠BQP===．

（3）解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴边长为2，
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴=，
∴=，
∴S△AGN=，
∴S四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣=，
∴四边形GHMN的面积是．

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