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华师《高等几何》离线作业
一、填空题
1．用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、定义叙述、公理列举、定理的叙述和证明等四个方面组成的。
2．绝对几何学的公理体系是由四组， 4 ， 16 条公理构成的。
3．罗巴切夫斯基函数当平行矩 连续递增 时，其对应的平行角连续递减。
4．斜率为的直线上的无穷远点的齐次坐标是 （1，k，0） 。
5．两个射影点列成透视对应的充要条件是 点列的底的交点是自对应点 。
6．欧氏平面上添加了 无穷远直线 后，成为仿射平面。
7．共线4点，若满足 （AB,CD）=–1 ，则称点对与点对互成调和共轭。
8．平面内两点称为平面内的 圆点 。
9．罗巴切夫斯基函数当平行矩连续递增时，其对应的平行角 连续递减 。
10．球面三角形的三角和常小于 6d 而大于 2d 。球面三角形中两角和减去第三角常小于 2d 。
11．射影变换是对合的充要条件是 任何一对对应元素与两个自对应元素调和共扼 。
12．共线4点，若满足，则称点对与点对互成 调和共轭。
13．平面内两点 （1，ⅰ，0） 、 （1,－ⅰ，0） 称为平面内的圆点。
14．几何学公理法从开始到形成，大体经历了 3 阶段。
15．《几何原本》被认为是用 古典公理法 建立的几何学。
16．欧几里得第五公设叙述为： 如果两条直线与第三条直线相交，所构成的同侧内角的和小于两个直角，则这两条直线在这一侧相交 。
17．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是 欧几里得 。
18．罗巴切夫斯基平面几何的平行公理叙述为 如果两条直线与第三条直线相交，所构成的同侧内角的和小于两个直角，则这两条直线在这一侧相交 。
19．罗氏平面上三角形内角和 小于 二直角。
20．布里安香定理叙述为 外切于一条非退化的二阶曲线的简单六线形的三对对顶点的连线共点 。
21．欧氏直线上添加了 无穷远点 后，成为仿射直线。
22．射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是 非奇异线性变换 。
23．通过圆点的任意虚直线称为 迷向直线 。
24．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是 欧几里得 。
25． “过一点作一直线”和“在直线上取一点” 叫做对偶运算。
26．在欧氏平面上萨开里四边形是矩形，而在罗氏平面上，萨开里四边形 上底角小于直角 。
27．笛沙格定理叙述为 两个三点形对应顶点的连线交于一点，那么对应边的交点在同一直线上 。
28．不共底又非透视对应的二射影点列恒可表示成 2 个透视对应的积。
29．二阶曲线上的完全四点形的对角三点形是 自极三点形 。
30．巴斯加定理叙述为 内接于一条非退化的二阶曲线的简单六点形的三对对边的交点共线 。
31．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里得。
二、计算题
1．求4点（AB，CD）的交比，其中。
解：以A(2，1，－1)和B(1，－1,1)为基底。
则(2，1，－1)+ (1，－1,1)=( 1，0，0)

(2，1，－1)+ (1，－1,1)=(1,5,－5)

所求交比为：
2．求射影对应式，使直线上的坐标是1，2，3的三点对应直线上的坐标为 的三点。
解：射影对应式为：
3．求点关于二阶曲线的极线方程。
解：点关于二阶曲线的极线方程为：

4．求过点上的实直线。
解：过点上的实直线为：
5．求重叠一维基本形的射影变换自对应元素的参数。
解：参数是：2，3
6．求由两对对应元素1与，0与2所决定的对合方程。
解：对合方程为：
7．求通过两直线（1，1，1）、（2，1，3）的交点与点 的直线的坐标。
解：坐标是：
8．求点关于二阶曲线的极线方程。
解：极线方程是：
9．求4直线的交比，其中分别为
.
解：4直线的交比为：
10．求射影对应式，使直线上的坐标是的三点对应直线上的坐标为的三点。
解：射影对应式为：
11．求直线上无穷远点的齐次坐标。
解：齐次坐标是：（1，－1，0）
12．设点，求点D的坐标。
解：点D的坐标是：
13．求连接与的直线方程。
解：直线方程为：
14．求射影对应式，使直线上的坐标是的三点对应直线上的坐标为的三点。
解：射影对应式为：
15．求点关于二阶曲线的极线方程。
解：极线方程为：
三、证明题
1．求证：决定的点在相互垂直的两条直线上。
证明：设，可得两个点的方程为

用坐标表示为. 这两个点在直线簇上。
又为的根，根据韦达定理，，故决定的点在相互垂直的两条直线上。
2．已知共面三点形与是透视的，求证六直线属于同一个二级曲线。
证明：考虑以为顶的简单六线形。三对对顶连线是，由题设它们共点。由布里安香定理的逆定理知，六直线属于同一个二级曲线。
3．设四点，求证：。
证明：由 =－=－=－1
所以，
4．设在二阶曲线上，不在上，分别交于；分别交 于。求证：共点。
证明：只须证三点共线。为此考虑六点形，
因为三点共线，
由巴斯加定理得证共点。
5．直线和交于，和交于，、分别交、于、， 交于。求证：、、交于一点。
证明：考虑三点形，
因对应边与，与，与分别交于共线三点，
所以根据笛沙格定理的逆定理知、、交于一点。
6．设直线与三点形三边分别交于，证明：

证明：令与交于，则

因为，，
所以
7．设三点形与是透视的，与，与，与分别交于。证明三线共点。
证明：考虑三点形 ，令与的交点为，
根据笛沙格定理可以证明
与的交点，与的交点，点三点共线，
因此三直线共点。
四、综合题
1．作已知点P关于二阶曲线C的极线。
C
P

解：做法：1、过P作C的二割线AB、CD。
2、连AC，BD交于E，连AD，BC交于F，
则EF为P点关于曲线C的极线。
2．作出下图的对偶图形。

解：作出对偶图形如右图1
图1

3．作出下图的对偶图形。

解：作出对偶图形如右图2
图2

4．作图证明：给定直线上四个不同点，建立一个射影对应使得

证明：如下图，取不在上的点，通过的不同于的直线与分别交于。记为，与交于，
则有

p
A
D
C
C’
D”
D’
P
B
r
A’
所以 .

5．已知P点在二阶曲线上，求作点P的极线。
解：做法：过P任一直线PQ，作出直线PQ的极点R，
则PR就是所求的点P的极线。