2015年电大微积分初步(药学专科)小抄.doc

《微积分初步》期末复习资料
一、单项选择题
1. 函数的定义域为（ D ）
A. B. C. 且 D. 且
2. 函数在点处的切线方程是（ C ）.
A. B. C. D.
3. 下列等式中正确的是（ D ）
A. B.
C. D.
4. 下列等式成立的是（ A ）
A. B.
C. D.
5. 下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ）
A. B. C. D.
6. 下列函数为奇函数的是（ D ）
A. B. C. D.
7. 当（ C ）时，函数在处连续.
A. B. C. D.
8. 函数在区间是（ B ）
A. 单调下降 B. 先单调下降再单调上升
C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
9. 在切线斜率为的积分曲线族中，通过点的曲线为（A ）
A. B. C. D.
10. 微分方程，的特解为（ C ）
A. B. C. D.
11. 设函数，则该函数是（ B ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
12. 当（ A ）时，函数在处连续.
A. B. C. D.
13. 满足方程的点一定是函数的（ C ）
A. 极值点 B. 最值点 C. 驻点 D. 间断点
14. 设是连续的奇函数，则定积分（ D ）
A. B. C. D.
15. 微分方程的通解是（ B ）
A. B. C. D.
16. 设，则（ C ）
A. B. C. D.
17. 若函数在点处可导，则（ B ）是错误的.
A. 函数在点处有定义 B. ，但
C. 函数在点处连续 D. 函数在点处可微
18. 函数在区间是（D ）
A. 单调增加 B. 单调减少 C. 先单调增加后单调减少 D. 先单调减少后单调增加
19. （ A ）
A. B. C. D.
20. 下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ）
A. B. C. D.
21. 函数的图形关于（ C ）对称
A. B. 轴 C. 轴 D. 坐标原点
22. 当（ D ）时，为无穷小量。
A. B. C. D.
23. 下列函数在指定区间上单调增加的是（ B ）
A. B. C. D.
24. 若，则（ A ）
A. B. C. D.
25. 微分方程中的通解是（ C ）。
A. B. C. D.
26. 函数的定义域是（ C ）
A. B . C . D.
27. 当（ B ）时，函数在处连续。
A. 0 B . 1 C . 2 D. -1
28. 下列结论中（ D ）不正确。
A. 若在内恒有，则在内单调下降
B. 若在处不连续，则一定在处不可导
C. 可导函数的极值点一定发生在其驻点上
D. 若在处连续，则一定在处可导
29. 下列等式成立的是（ A ）
A. B.
C. D.
30. 下列微分方程中为可分离变量的是（ C ）
A. B. C. D.
二、填空题
1. 函数，则（ ）
2. 若函数，在处连续，则（ ）
3. 曲线在点的斜率是（ ） 1
4. （ ） 4
5. 微分方程的阶数是（ ） 3
6. 函数的定义域是（ ）
7．（ ）
8. 已知，则（ ）
9. 若（ ）
10. 微分方程的阶数为（ ）
11. 函数的定义域是（ ）
12. 若，则（ ）
13. 已知，则（ ）
14. 若（ ）
15. 微分方程的阶数是（ ）
16. 函数的定义域是（ ）
17. 函数在处连续，则（ ）
18. 函数在点处的切线方程是（ ）
19. （ ）
20. 微分方程的阶数是（ ） 3
21. 函数，则（ ）
22. 在处 连续，则（ ） 1
23. 曲线在点处的切线方程是（ ）
24. 若，则（ ）
25.微分方程的阶数为（　　　　） 4
26. 若，则
27. 2
28. 曲线在处的切线方程是
29.
30. 微分方程的阶数是 3
三、计算题
1.计算极限
解：
2. 设，求
解：
3. 计算不定积分
解：
4. 计算定积分
解：

5. 计算极限
解：
6. 设，求
解：
7. 计算不定积分
解：
8. 计算定积分
解：

9. 计算极限
解：
10. 设，求
解：

11. 计算不定积分
解：
或者

12. 计算定积分
解：

13. 求极限
解：原式=
14. 已知函数，求
解：，
15. 计算不定积分
解：
16. 计算定积分
解：
17. 计算极限
解：
18. 设，求
解：

19. 计算不定积分
解：
20. 计算定积分
解：

四、应用题
1. 欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设长方体底边的边长为，则高
表面积
所以
令得（唯一驻点）
由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为6，高为3时用料最省。
2. 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设长方体底边的边长为，则高
表面积
所以
令得（唯一驻点）
由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为4，高为2时用料最省。
3. 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低费用是多少？

解：设水箱底边的边长为，则高
表面积
所以
令得（唯一驻点）
由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当底边长为，高为时表面积最小。此时的费用为元。
4..欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
解：设土地一边长为，另一边长为，则共用材料

所以
令得（舍），（唯一驻点）
由实际问题知，唯一的驻点即最小值点，所以当土地一边长为12，另一边长为18时用料最省。
5.
设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
解：设矩形的一边长为，另一边旋转轴为
则旋转成的圆柱体体积为

故
令得（舍），（唯一驻点）
由实际问题知，唯一的驻点即最大值点，所以当一边长为厘米，另一作为旋转轴的边长为厘米，此时旋转成的圆柱体体积最大。
微积分初步复习题
1、填空题
（1）函数的定义域是　　　　　　　　．
答案：且.
（2）函数的定义域是　　　　　　　　．
答案：
（3）函数，则 ．
答案：
（4）若函数在处连续，则　　 ．
答案：
（5）函数，则　　 ．
答案：
（6）函数的间断点是　　 　　　　．
答案：
（7）　　　　　．
答案：1
（8）若，则　　　　　．
答案：
（9）曲线在点的切斜率是　　　　　　　　．
答案：
（10）曲线在点的切线方程是　　　　　　　　 ．
答案：
（11）已知，则=　　　　　　　　．
答案：
=27（
（12）已知，则=　　　　　　　　．
答案：，=
（13）若，则 ．
答案：

（14）函数的单调增加区间是　　 　　．
答案：
（15）函数在区间内单调增加，则应满足 ．
答案：
（16）若的一个原函数为，则 .
答案：
（17）若，则　　　　　．
答案：
（18）若
答案：
（19） ．
答案：
（20） ．
答案：
（21）若，则　　　　　．
答案：
（22）若，则　　　　　．
答案：
（23）
答案：
（24）　　　 　　　.
答案：0
（25）=　　　　．
答案：
(26)已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 .
答案：
(27)由定积分的几何意义知，= .
答案：
(28)微分方程的特解为 .
答案：
(29)微分方程的通解为 .
答案：
(30)微分方程的阶数为 ．
答案：4
2．单项选择题
（1）设函数，则该函数是（　）．
　A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
答案：B
（2）下列函数中为奇函数是（ ）．
A． B． C． D．
答案：C
（3）函数的定义域为（ ）．
A． B． C．且 D．且
答案：D
（4）设，则（ ）
A．　　 B． 　
C．　　　 D．
答案：C
（5）当（ ）时，函数在处连续.
A．0 　　　B．1 C．　　　 D．
答案：D
（6）当（ ）时，函数，在处连续.
A．0 　　　B．1 C．　　　 D．
答案：B
（7）函数的间断点是（ ）
A． B．
C． D．无间断点
答案：A
（8）若，则=（　 ）．
　　A. 2　 B. 1 　C. -1　　 D. -2
答案：C
（9）设，则（　 ）．
A． B． C． D．
答案：B
（10）设是可微函数，则（ ）．
A． B．
C． D．
答案：D
（11）若，其中是常数，则（ ）．
A． B． C． D．
答案：C
（1）函数在区间是（ ）　
A．单调增加　　 B．单调减少
C．先增后减　 D．先减后增
答案：D
（12）满足方程的点一定是函数的（ ）.
A．极值点　　B．最值点 C．驻点　D． 间断点
答案：C
（13）下列结论中（ ）不正确．
A．在处连续，则一定在处可微.
B．在处不连续，则一定在处不可导.
C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D．函数的极值点可能发生在不可导点上.
答案：Ａ
（14）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．
A． B． C． D．
答案：B

（15）下列等式成立的是（　）．
A．　　　　　 　B．
C．　　 　D．
答案：C
（16）以下等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
（17）（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
（18）下列定积分中积分值为0的是（ ）．
A． B．
C． D．
答案：A
（19）设是连续的奇函数，则定积分（ ）　
A．0　　B． C．　D．
答案：A
（20）下列无穷积分收敛的是（　）．
　　A．　　　　　 　B．
　　C．　　　　 　　　D．
答案：D
(21)微分方程的通解为（ ）．
A． B． C． D．
答案：C
(22)下列微分方程中为可分离变量方程的是（　）
A. ；　 　B. ；
C. ； D.
答案：B
3、 计算题
（1）．
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）设，求．
解：
（5）设，求.
解：

（6）设，求.
解：
（7）设，求.
解：
（8）
解：
（9）
解：
(10)
解：
=
(11)
解：
(12)
解：
(13)
解：
4、 应用题
（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知

令，解得是唯一驻点，
且，
说明是函数的极小值点，所以当，用料最省.
（2）用钢板焊接一个容积为4的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有
所以

令，得，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小.
此时的费用为 （元）

18