第五章-多元函数的微分学教学讲义.ppt

,*,calculus,微 积 分,第五章 多元函数的微分学,5.1 多元函数的基本概念,5.2 多元函数的偏导数,5.3 多元函数的全微分,5.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则,5.5 多元函数的极限,5.6 多元函数微分法在经济上的应用,5.1 多元函数的基本概念,一、平面点集,例1:,例2:,y,x,o,x,-r,r,r,例3:,y,-r,o,内点:,外点:,界点:,E,边界点,外点,内点,E,.,开集:,开区域:,注意：开集不一定是开区域,y,x,o,o,o,o,闭区域:,区域:,有界区域与无界区域,二、空间解析几何简介,1.空间直角坐标系O-XYZ(右手法则,),坐标轴:,坐标原点:,坐标平面:,卦限:八个卦限,空间内的点,问题：空间任一点的坐标如何确定呢？,O,4、空间曲面与曲面方程,(3)特殊平面的方程,(4)球面方程,问题：如何认识空间任一张曲面的图形呢？,（有兴趣的同学可阅读相关资料）,(5)柱面方程,圆锥面方程,椭,球,面方程,椭圆抛物面方程,双曲抛物面方程,三、多元函数的极限与连续,1、多元函数的定义,定义1:,定义域的求法,例1:,解:,yy,yy,y,x,oo,oo,o,o,o,0,0,0o,O o0o,o,对应关系的求法,例2:,解:,二元函数的几何意义,2.二元函数的极限,例1.,二元函数的连续性,定义3,若,则称函数,在点,处,连续,若函数,在区域内每一点都连续，,则称函数,在内,连续，,或称,是内的连续函数,若函数,在点,处不连续，,则称点,为,的,间断点,例如，,间断点为：,在有界闭区域上二元连续函数具有性质：,性质,（最大值和最小值定理）,在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值,性质,（介值定理）,在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最,小值之间的任何数值,二元初等函数,在其定义区域内连续,结论,二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数,二元连续函数的复合函数仍为连续函数,例4,5.2 多元函数的偏导数,定义1,设函数,在点,某邻域内有定义，,当固定,而,在,处有增量,时，函数的增量,存在，,则称此极限值为函数,在点,处对,的偏导数.,记作:,或,若极限,即,在点,处对,的偏导数定义为:,类似,函数,也记作,是一元函数,在点,处的导数,是一元函数,在点,处的导数,结论,视,y,为常量，,对,x,求导.,视,x,为常量，,对,y,求导.,若函数,在区域D内每一点,处对,的偏导数都存在,偏导数就是,的函数,称为函数,对,的偏导(函)数.,记作,类似定义函数,对,的偏导数.,记作:,说明,对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时,只需视其它变量为常量,求导即可.,根据一元函数的求导,公式和求导法则,同理可定义多元函数的偏导数,二元函数偏导数的几何意义:,x,y,z,S,o,是一元函数,在点,处的导数,由一元函数导数的几何意义知,在几何上表示空间曲线,在点,处的切线对,轴的斜率.,类似,在几何上表示空间曲线,在点,处的切线对,轴的斜率.,二、偏导数的计算,例1,.求,的偏导数.,解,例2,.求,处的偏导数.,在点,解,例3,.求,的偏导数.,解,例4.,求,的偏导数.,解,例5.,已知,求:,解:,例6.,求函数,在原点处的偏导数.,解,二元函数在某一点处偏导数存在,但未必连续.,不存在,二、高阶偏导数,设函数,在区域D 内有偏导数,若这两个函数的偏导数存在，,称其为函数,的,二阶偏导数,混合偏导数,类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，,二阶及二阶以上的偏导数称为,高阶偏导数.,解,例1.,设,求它的二阶偏导数.,再求,例2,.验证函数,满足方程,证,证,由自变量的对称性知,例3,.证明函数,满足方程,(拉普拉斯方程),定理1,练一练,解,答,5.3 多元函数的全微分,一、全微分的定义与计算,设函数,在点,某邻域内有定义，,分别给,一增量,函数相应的全增量,若全增量可表示为:,其中,仅与,有关，与,无关，,则称函数,在点,处可微.,定义1,称为函数,在点,处的全微分.,即,记作,若函数,在区域D内各点处都可微,则称函数在D内可微.,定理1,若函数,在点,处可微分.,则该函数,在点,的偏导数,必定存在,且,证,由,特别,同理可证,类似于一元函数,记,或,注意,若函数 在点,存在,处的偏导数,函数在该点不一定可微.,例,证明函数,在原点的两个偏导数存在,但不可微.,解,函数,在原点的全增量,因为,函数,在原点的全微分,而,且,不存在,所以 由定义知函数在原点不可微.,定理2(充分条件),若函数,在点 的某邻域内有连续的偏导数,则函数在该点可微.,且,若函数,在点 可微,则,解,例1.,求函数,在点(2,1)处当,时的全微分和全增量.,例2,.求下列函数的全微分:,解,(1).,5.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则,一、多元复合函数的求导法则,(1),设函数,在点,处 有偏导数,在点,处有偏导数,且,定理,1,而函数,在对应点,处可微,则复合函数,连锁法则,例,1.设,求,解,例2.,设,解:,例,则复合函数,连锁法则,m,若函数,都在点,x,处可导,函数,在对应点,处可微,则复合函数,在点,x,处可导,且,全导数,推论1,.,函数,则复合函数,在点,x,的导数,全导数,推论2,.,以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形.,说明,例5,.,求,解,例4.,求,解,解,:设,因此,例6.,且存在一阶连续偏导数，求,例3,设,解：,设,例7.,解:,而,于是,也可以在求出一阶偏导数后,把代入再求二阶偏导数,例8,设,具有二阶连续偏导数,求,解,令,则,一阶全微分形式不变性,则,则仍有,例,解,所以,二、隐函数求导法则,方程两边对,求偏导,同理,例1.,设,求,解,法1,法2,两边关于,x求导,两边关于,y求导,方法三,:方程两边求微分,例2.,设,求,及,解：,法1,法2,两边关于,x求导,例3.,设,求,解,例4,设有连续偏导数，,分别由方程,解,又由两边对求导得,所以,又由两边对求导得,5.5 多元函数的极值,一.极值的概念,定义1,对于该邻域内任一点,若恒有不等式,则称该函数在点,P,处有,极大值,则称该函数在点,P,处有,极小值,在点,某邻域内有定义,设函数,极大值与极小值统称为极值,.,使函数取得极值的点称为极值点,.,定理2(必要条件),设函数,在点,处偏导数,存在,并取得极值,则,证明:不妨设,在点,处取得极大值.,则,特别地,取,有,在,x=x,0,点取得极大值，由一元函数极值必要条件知,同理,使,同时成立的点,的,驻点,.,称为函数,考虑一元函数,定理2(充分条件),令,(1).若,有极值,(2).若,无极值.,(3).若,情况不定.,时有极大值,时有极小值,且,设函数,在点,某邻域内,及二阶连续偏导数,且,有一阶,(1)中的A换为,C结论不变,例1.,求函数,的极值.,解:,得驻点:,在点,处,有极小值,在点,处,无极值.,无极值.,有极大值,在点,处,在点,处,最大值、最小值,对于该区域内任一点,若恒有不等式,则称 为函数在,D,内的,最大值,在平面区域,内有定义,设函数,则称 为函数在,D,内的,最小值,最大值与最小值统称为最值,.,如,函数,在点,处,取得,最小值0,在点,处取得最大值2.,使函数取得最值的点称为最值点,.,最大值、最小值的求法,最值点只可能是以下三种类型的点：,（1）边界点,求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得,最值,在有界闭区域,上连续，则一定有最值。,设函数,（2）驻点,（3）偏导数不存在的点,根据实际问题知函数的最值只在内部点上取到，且只有唯一驻点(极值点)，,没有偏导数不存在的点，则此时可断定函数在此驻点上取到最值,例2,.,在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面造价,，不临街的墙面造价,，屋顶造价,设房屋容积为,，问：长、宽、高各多少 时造价最低.,解,:设长、宽、高分别为,则,造价,解得,答：当长、宽均为,，高为,时，,造价最低。,，,二、条件极值 拉格朗日乘数法,求函数,在条件,下的极值。,拉格郎日乘数法：,（1).构造拉格朗日函数:,为常数),(2).联立,解得,则点,可能为极值点.,(3).再讨论.,(根据实际问题的实际意义可以判断.),求函数,在条件,下的极值。,求函数,在条件,下的极值。,（1).构造拉格朗日函数:,为常数),(2).联立,解得,再解例2,.,求函数,在条件,下的极值.,令,联立,解得,例2.,在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面造价,，不临街的墙面造价,，屋顶造价,设房屋容积为,，问：长、宽、高各多少 时造价最低.,5.6多元函数微分法在经济上的应用,(经济决策的最值问题举例),再由,练习讲解,且存在一阶连续偏导数，求,设,解：,设,