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2025届高三开年摸底联考 全 国 卷 理科数学参考答案及评分意见
1.B【 解析】,B=(0,1), 所以 .故选B.
2.C 【解析】,因为2- ¹>0,所以复数z 在复平面内对应的点在第三象限.故选C.
3.D【 解 ,所以 2,故选D.
4.A【 解析】可行域表示的平面区域如图所示，设 则 ,当直线y= 过点 时 ，z 取得最小,故选A.
5.A 【解析】设双曲线的焦距为2c, 由题，a=1 ,得c= √3,b²=c²—a²=2, 所以
F (一 √3,0),不妨取渐近线y=√2x, 则左焦点F 到渐近线y=√2x 的距离；.故选A.
6.D 【 解析】作出轴截面如右图，可得圆台的母线长为3√2,所以高h =√(3√2)²—(2√2-√2)² =4,所以该圆台的体积 ,故选 D.
7.D【 解析】因为1>m>n>0, 所 以 In m>ln n,又 y=n² 为减函数，所以 nl 即 b<c. 又Ina=ln mln"=In m·In n,In b=In nlnm=1n m·In n,故 a=b, 所以c>a=b, 故 选 D.
8.C【 解析】32025-8×1011+a=(8+1)¹012-8×1011+a=C901281012+Cloi281011+…+C8128²+C8128+C83
-8×1011+a=Co128101²+C!o128101+…+C|818²+9+a, 若32025-8×1011+a 能被64整除，则需9+a 能
被64整除，所以正整数a 的最小值为55.故选C.
9.C【 解析】,可得 .由题意
1,故 ,k∈Z, 解得 ,k∈Z, 因为 m>0,
所以当k=1 时 ，m 取得最小值.故选C.
10.B 【解析】由题，, 所 以
=m²②, 两式作差得 2,化简得 ),即a₁(m+
,所以Sm+n=—(m+n)², 故选B.
11.A 【解析】,解得AC=4, 所以△ADC 为等腰三 角形 ,故 . △ABD 中，由正弦定理得,即,得
,因为,所以∠BAD 为锐角，故 ,故 sin∠ABD=sin(∠ADC 一
.故选A.
12.D【 解析】因为f(2x+2) 为奇函数，所以f(-2x+2)=-f(2x+2), 所 以f (一 故 开年摸底联考 全国卷理科数学答案第1 页(共5页)
f(x+2) 为奇函数，A 错误；又,故f(x+1)=f(1-x), 所以f(x)=f(2-x)=—f(x+
2),故f(x+4)=f(x), 所以f(x) 是以4为周期的周期函数，所以 ,但因不能确定
定成立，所以 B 错误；因为f(x+1)=f(1-x), 所 以 f'(x+1)=-f'(1-x), 所以
,C 错误；因为f ( 一x+2)=-f(x+2), 所以 f' ( 一x+2)=f'(x+2), 故 f'(-x)=f'(x+4), 又 f'(x)=f'(x+4), 所以f' ( 一x)=f'(x), 所以f'(x) 为偶函数，D 正确，故选D.
13.5【解析】(a+2b)²=(a-2b)², 即 4a·b=0,(3a+4b)²=9a²+16b²+24a·b=25, 故|3a+4b|=5.
14.0【解析】当输入的m 值为2时，第一次执行m=2²-2²=0, 第二次执行m=0²—2°=-1, 则 n=In 1=0.
15. 【解析】P=√sin²2β+cos²βsin(a+φ), 其中 ,所以sin(α+φ) 的最大值为1,设t=
√sin²2β+cos²β=√-4cos'β+5cos²β, 当 时 ，t 取得最大值 ,所以P 的最大值
16 【解析】由题意得, 设 (t≠0) ,由x²=2py 得 ,求导得 ,所以直线 l 的斜率
,则直线l 的方程为 ),易得 ,所所以
,
解得p=1,t=±√3. 当t=√3 时 ，FP=(√3,1) ,故向量FP 与PQ
的 夹 角,当t=—√ 3 时，同理可得夹角
17.解：(1)由题，anan+=2#+¹, 所以a₁a2=4, 又a₁=2, 得a2=2, … … … … … … … … … … …………………1 分
易得an+1an+2=2"+2, 所 ……………………………………………………………………………3分 所以数列{an}的奇数项和偶数项均为首项为2,公比为2的等比数列，
所以 ………………………………………………………………………………………5分 (2)由(1)知 T²n=1×2+2×2+3×2²+4×2²+…+(2n-1)×2”+2n×2”
=[1×2+3×2²+5×2³+ …+(2n-1)×2“]+(2×2+4×2²+6×2³+ …+2n×2”) 7 分
设 P=1×2+3×2²+5×2³+…+(2n—1)×2”,Q=2×2+4×2²+6×2³+…+2n×2”,
则 2P 。=1×2²+3×2³+5×2⁶+ …+(2n-1)×2”+1, 8 分
化简得 P„=6+(2n-3)×2#+¹, 10 分
同理可得 Qn=4+(n-1)×2”+2, 11 分
所以T²n=10+(4n-5)×2#+1 12 分 18.(1) 证 明：取BC 中 点D, 连接A₁B,A₁C,A₁D,AD.
因为AB=AC, 所以AD⊥BC.
因为∠A₁AB=∠A₁ ,AB=AC, 且 A₁A 是公共边，所以△A₁AB≌
△A₁AC(SAS), 所以A₁B=A₁C,
所以A₁D⊥BC 2 分
因为AD∩A₁D=D,AD,A₁DC 平面A₁AD, 所以BC⊥平面A₁AD.
开年摸底联考 全国卷理科数学答案第2 页(共5页)
又因为A₁AC 平面 A₁AD,
所以A₁A⊥BC, 又 BC//B₁C₁,
所以A₁A⊥B₁C₁ 4 分 (2)解：如图，过点A₁ 作AD 的垂线，垂足为O, 过 点O 作OF 垂直于AB, 垂足为F, 连接A₁F. 不难得出，AB⊥
A₁O,OF∩A₁O=0, 则 AB⊥ 平面A₁OF. 又 A₁FC 平面A₁OF, 则 AB⊥A₁F. 由 ∠ 可得AF=OF=√2,AO=A₁O=2;OD=2,BD=4 5 分 过点O 作BC 的平行线，交AB 于 点E, 由(1)得OE,OD,OA₁ 三条直线两两垂直，分别以OE,OD,OA 为x, y,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,-2,0),C(-4,2,0),A₁(0,0,2),B(4,2,0),B₁(2,2,2),AA₁=(0,2,
2),AC= (一4,4,0). ………………………………………………………………………………………………7分
设平面A₁ACC, 的一个法向量为m=(x,y,z),
则即
令 x=1, 得 y=1,z=-1, 所以m=(1,1,-1) 9 分
直线 BB, 的一个方向向量n=(-2,0,2),
所以 ……………………………………………………………11分 所以直线 BB, 与平面A₁ACC, 所成角的正弦值 ………………………………………………………12分
19.解：(1)获得三等奖的概率
获得二等奖的概率
获得一等奖的概率 . ………………………………3分(每求对一个概率值，得1分)
所以随机抽取一张彩票，这张彩票中奖的概率 . ………………………………………5分
……………………………………………7分
(2)一张彩票的奖金ξ的取值可能为0,5,10,50元，其分布列为：
ξ
0
5
10
50
P
所以ξ的期 ………………………………………………9分
若盈利，需 ……………………………………………………………………………………11分 因为a∈N, 故 a 的最小值为8. ……………………………………………………………………………12分
20.解：(1)设椭圆C 的焦距为2c,A(xA ,yA),!
开年摸底联考 全国卷理科数学答案第3 页(共5页)
当lyal=b 时，△ABF 的面积取得最大值，故bc=√3② 3 分 又a²=b²+c²③,
综合①②③,解得a=2,b=√3,c=1,
所以椭圆C 的标准方程 …………………………………………………………………………4分 (2)由题，A 不与长轴两端点重合，设P(4,m),m≠0, 直线AF:x=ty+1.
直线AF 与椭圆方程联立，消去x 得(3t²+4)y²+6ty-9=0.
设 A(x₁,y₁),D(x2·y₂), 则 , ………………………………………………6分 所以 , … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7分
开年摸底联考 全国卷理科数学答案第4 页(共5页)
又x₁=ty₁+1 ,x₂=ty₂+1, 代入上式化简得
…………………………………………
8分
所以4.故m=3.
所以点P 的坐标为(4,3). ………………………………………………………………………………………12分
21.解：(1) f(x) R
资料来源：微信公众号智慧
当 a≤0 时 ，f'(x)<0,f(x) 单调递减； ………………………………………………………………………… · 1分
当a>0 时，令f'(x)=0, 得x=-1n a,
当 x∈ (一∞,—Ina) 时 ，f'(x)<0,f(x) 单调递减；
当 x∈(-In a,十∞)时，f'(x)>0,f(x) 单调递增. ……………………………………………………………3分 综上，当a≤0 时 .f(x) 单调递减；
当 a>0 时 ，f(x) 在(一 ∞,-In a)上单调递减；在(-In a,+∞)上单调递增. ………………………………4分
(2)函数y=f(x) 与 y=g(x) 的图象无交点，理由如下： ………………………………………………………5分
由题，,设切点为(xo,f(x 。)), 则 ,易知a>0, 故 xo=-1n a,
又 f(xo)=1, 即 ,将xo=-1n a 代入，得a-aln a-1=0.
设 h(x)=x-xlnx-1(x>0), 则h'(x)=-Inx, 当 x∈(0,1) 时 ，h'(x)>0,h(x) 单调递增；
当 x∈(1,+∞) 时 ，h'(x)<0,h(x) 单调递减.
所以h(x)≤h(1)=0, 所以a=1 6 分 令 f(x)=g(x), 得 xeˣ-x+1=0.
令m(x)=xe-x+1, 则 m'(x)=(x+1)e²-1, 令n(x)=(x+1)e-1, 则 n'(x)=(x+2)e² 8 分
当 x∈ (一∞,—2)时，n'(x)<0,n(x) 单调递减，当x∈(-2,+∞) 时 ，n'(x)>0,n(x) 单调递增，
n(-2)=-e⁻²-1<0,n(0)=0, 10 分
所以当x∈(-∞,0) 时 ，m'(x)<0,m(x) 单调递减，当x∈(0,+∞) 时 ，m'(x)>0,m(x) 单调递增，
故m(x)≥m(0)=1, 所以方程xe²-x+1=0 无实根.
所以函数y=f(x) 与y=g(x) 的图象无交点. ………………………………………………………………12分
22.解：(1)因为p²(1+2cos²0)=3, 所以p²+2p²cos²0=3, 将 x²+y²=p²,x=pcosθ 代入得3x²+y²=3,
即 ,所以曲线C 的直角坐标方程为 . ……………………………………………………2分 将直线l 的参数方程消去参数t, 得x+y+3=0, 即直线l 的普通方程为x+y+3=0 4 分
(2)曲线C 的一个参数方程(a 为参数). ………………………………………………………6分
设 P(cosα,√3sinα), 则点P 到直线l 的距离
………………………………………………………………………………………………………………………8分
当 时 ，d 取得最小,此时 ……………………………………………10分
开年摸底联考 全国卷理科数学答案第5 页(共5页)
……………………………………
2分
所以f(x)>1 的解集 . …………………………………………………………………………5分
(2)对Vx∈R,f(x)≤|2a+4| 恒成立，即|2x-1|-|2x+a²|≤|2a+4| 恒成立，
因为|2x-1|-12x+a²|≤|(2x—1)—(2x+a²)|=la²+1|=a²+1 7 分
所以只需a²+1≤|2a+4| 恒成立，
当a≤-2 时，不等式可化为a²+2a+5≤0, 此时无解； 8 分 当 a>-2 时，不等式可化为a²-2a-3≤0, 解得 - 1≤a≤3.
所以实数a 的取值范围为[-1,3]. …………………………………………………………………………10分
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