江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I29函数模型及其应用教师用书理.doc

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I29函数模型及其应用教师用书理
第二章 函数概念及基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用教师用书 理 苏教版

1.几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c
(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

2.三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为及y轴平行
随x的增大逐渐表现为及x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax

【知识拓展】
1.解函数应用题的步骤

2.“对勾”函数
形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，
在[－，0)和(0，]上单调递减.
(2)当x>0时，x＝时取最小值2，
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(　√　)
(2)幂函数增长比直线增长更快.(　×　)
(3)不存在x0，使<<logax0.(　×　)
(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.(　√　)
(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(　×　)

1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元.
答案　2 250
解析　设每台原价是a元，则a(1＋40%)·80%
＝a＋270，解得a＝2 250.
2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y(千克)及流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________.
答案　y＝22－x(0≤x≤200)
解析　流速为＝，x分钟可流x，
则y＝22－x(0≤x≤200).
3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________.
答案　－1
解析　设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝－1.
4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.
答案　3
解析　设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y，则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，
∴当x＝3时，y最大.
5.(教材改编)有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L水，t min后，剩余水y L满足函数关系y＝ae－nt，那么乙桶的水就是y＝a－ae－nt，假设经过5 min，甲桶和乙桶的水相等，则再过________ min，甲桶中的水只有 L.
答案　10
解析　由题意可得，5 min时，ae－5n＝a，n＝ln 2，
那么＝a，∴t＝15，即再过10 min，甲桶中的水只有 L.

题型一　用函数图象刻画变化过程
例1　某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润及投资成正比，其关系如图①所示；B产品的利润及投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(单位：万元).

分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.
解　设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元.
由题意设f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0).
由图①知f(1)＝，∴k1＝.
由图②知g(4)＝，∴k2＝.
∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0).
思维升华　判断函数图象及实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”及“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)及通话费y(元)的关系如图所示.

(1)分别求出通话费y1、y2及通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
解　(1)设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(300,35)，C(300，15)分别代入得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29，y2＝x.
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，得x＝966.
当x＝966时，两种卡收费一致；
当x＜966时，y1＞y2，即“如意卡”便宜；
当x＞966时，y1＜y2，即“便民卡”便宜.
题型二　已知函数模型的实际问题
例2　我们知道：人们对声音有不同的感觉，这及它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10 lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
解　(1)由题意知树叶沙沙声的强度水平为
L2＝10 lg＝10 lg 1＝0(分贝)；
耳语的强度水平为
L3＝10 lg ＝10 lg102＝20(分贝)；
恬静的无线电广播的强度水平为
L4＝10 lg ＝10lg 104＝40(分贝).
(2)由题意知0≤L1<50，即0≤10lg <50，
所以1≤<105，即1×10－12≤I<1×10－7.
所以新建的安静小区的声音强度I大于等于1×10－12 W/m2，同时小于1×10－7 W/m2.
思维升华　求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
　(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)及其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.

(2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为________.
答案　(1)19　(2)2
解析　(1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.
(2)由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·，令104·(100－10x)·70·≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2.
题型三　构造函数模型的实际问题
命题点1　构造二次函数模型
例3　将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定________元.
答案　95
解析　设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225].
∴当x＝95时，y最大.
命题点2　构造指数函数、对数函数模型
例4　光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解　(1)光线通过1块玻璃后，强度y＝(1－10%)k＝0.9k；
光线通过2块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.9k＝0.92k；
光线通过3块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.92k＝0.93k；
……
光线通过x块玻璃后，强度y＝0.9xk.
故y关于x的函数解析式为y＝0.9xk(x∈N*).
(2)由题意，得0.9xk<，
即0.9x<，两边取对数，得xlg 0.9<lg.
因为lg 0.9<0，所以x>.
又＝＝＝≈13.14，
且x∈N*，所以xmin＝14.
故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下.
命题点3　构造分段函数模型
例5　(2017·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)
解　(1)由题意可知当0≤x<20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)＝ax＋b在[20,200]上是减函数，由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x<20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立，所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时.
思维升华　构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.
　(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)
(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R及门面经营天数x的关系是R(x)＝则总利润最大时，该门面经营的天数是________.
答案　(1)5　(2)300
解析　(1)设经过x小时才能开车.
由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，
∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5.
(2)由题意，总利润
y＝
当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，
所以x＝300时，ymax＝25 000，
当x>400时，y＝60 000－100x<20 000，
综上，当该门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.

2.函数应用问题

典例　(14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
思维点拨　根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.
规范解答
解　(1)当0<x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)
＝－6x2＋384x－40， [3分]
当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)
＝－－16x＋7 360.
所以W＝ [5分]
(2)①当0<x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6 104，
所以Wmax＝W(32)＝6 104； [8分]
②当x>40时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以W取最大值为5 760. [12分]
综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6 104万美元. [14分]

解函数应用题的一般程序
第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；
第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

1.某商品定价为每件60元，不加收附加税时年销售量约80万件，若征收附加税，税率为p，且年销售量将减少p万件.则每年征收的税金y关于税率p的函数关系为________.
答案　y＝60(80－p)p
解析　征收附加税后年销售为(80－p)万件，故每年征收的税金y＝60(80－p)p.
2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C及时间t(年)的函数关系图象正确的是________.

答案　①
解析　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变.
3.(教材改编)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.
答案　9
解析　出租车行驶不超过3 km，付费9元；出租车行驶8 km，付费9＋2.15×(8－3)＝19.75元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，故出租车行驶里程超过8 km，且22.6－19.75＝2.85，所以此次出租车行驶了8＋1＝9 km.
4.(2017·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为________ m3.
答案　13
解析　设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝
则10m＋(x－10)·2m＝16m，
解得x＝13.
5.(2016·北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是________.
答案　16
解析　由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，
分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，
则由
解得0<x≤.
因为x∈N*，所以x的最大值为16.
6.(2016·南通模拟)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元.
答案　43
解析　设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－)2＋0.1×＋32.
因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.
7.(2016·四川改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________年.(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
答案　2019
解析　设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x＝log1.12＝≈3.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年.
8.(2016·苏州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝__________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个.
答案　2ln 2　1 024
解析　当t＝0.5时，y＝2，∴2＝，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
9.(2016·淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
答案　20
解析　设内接矩形另一边长为y，
则由相似三角形性质可得＝，
解得y＝40－x，
所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x
＝－(x－20)2＋400(0<x<40)，
当x＝20时，Smax＝400.
*10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x的值等于________.
答案　
解析　依题意得x＝，(c－a)2＝(b－c)(b－a)，
∵b－c＝(b－a)－(c－a)，
∴(c－a)2＝(b－a)2－(b－a)(c－a)，
两边同除以(b－a)2，得x2＋x－1＝0，
解得x＝.
∵0<x<1，∴x＝.
11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)及其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a、b是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a、b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解　(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
12.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N).前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N).
(1)写出该种商品的日销售额S及时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值.
解　(1)依题意得
S＝
即S＝
(2)①当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，
∴当t＝20时，S取得最大值为6 400.
②当31≤t≤50，t∈N时，
S＝－90t＋9 000为递减函数，
∴当t＝31时，S取得最大值为6 210.
综上知，当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.
*13. (2016·常州模拟)某旅游景点2016年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)及x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)及x的近似关系是q(x)＝
(1)写出2016年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)及x的函数关系式；
(2)试问2016年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少万元？
解　(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，
当2≤x≤12，且x∈N*时，
f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)
＝－3x2＋40x，
验证x＝1也满足此式，
所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12).
(2)第x个月旅游消费总额为
g(x)＝
即g(x)＝
①当1≤x≤6，且x∈N*时，
g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0，
解得x＝5或x＝(舍去).
当1≤x<5时，g′(x)>0，
当5<x≤6时，g′(x)<0，
∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(万元).
②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，
∴当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040(万元).
综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元.
14.(2016·江苏扬州中学质检)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异).
(1)当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，求内环线列车的最小平均速度；
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车投入运行，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？
解　(1)设内环线列车运行的平均速度为v km/h，由题意可知×60≤10⇒v≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，列车的最小平均速度是20 km/h.
(2)设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18－x)列列车运行，设内、外环线乘客最长候车时间分别为t1 min、t2 min，则t1＝×60＝，t2＝×60＝.设内、外环线乘客的候车时间之差为t min，
于是有t＝|t1－t2|＝
＝
该函数在(1,9)上递减，在(10,17)上递增.
又t(9)>t(10)，所以当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.
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