高中物理必修二第四章曲线运动知识点题型.doc

第四章 曲线运动
第一节 曲线运动
一、曲线运动
1.概念
运动轨迹(路径)是曲线的运动。

2.特点
（1）某点瞬时速度的方向沿轨迹上这一点的切线为向，
（2）速度方向时刻在改变所以是变速运动， 必有加速度，合力一定不为零，可能是恒
力，也可能是变力。

v 加速度可以是不变的-------匀变速曲线运动 ，如平抛运动
v 加速度可以是变化的-------变加速曲线运动 ，如圆周运动
【例】做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是(　　)
A速率 B．速度 C． 加速度 D．合外力
【例】(多选)下列对曲线运动的理解正确的是(　　)
A． 物体做曲线运动时，加速度一定变化
B． 做曲线运动的物体不可能受恒力作用
C． 曲线运动可以是匀变速曲线运动
D． 做曲线运动的物体，速度的大小可以不变

3.合力与轨迹，速度的关系
(1)合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，
速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的"凹“侧.
【例】如图所示，一质点做曲线运动从M点到N点速度逐渐减小，当它通过P点时，其速度和所受合外力的方向关系可能正确的是（　　）

A． B． C． D．

(2)速率变化情况判断：当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大；
当合力方向与速定方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小；当合力方向与速度方向始终
垂直时，物体的速率将保持不变。

4.物体做曲线运动的条件
(1)条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速
度方向不在同一条直线上.

二、 运动的合成与分解 （指位移、速度、加速度的分解与合成）

1.合运动：物体相对地面的真实运动。
2.分运动：物体同时参与的两个方向的运动。
3. 运动的今成：已知分运动求合运动的过程。
运动的分解：已知夺运动求分运动的过程。
原则：平行四边形定则、三角形定则、正交分解。

4.分运动与合运动的关系
1)独立性 (2 )等时性 (3 )等效性 (4 )同时性

【例】蜡块能沿高度为H的玻璃管匀速上升(如图甲所示)，如果在蜡块上升的同时，将玻璃管沿水平方向向右匀速移动了L的距离(如图乙所示)，则：

(1)蜡块在竖直方向做什么运动？在水平方向做什么运动？
(2)蜡块实际运动的性质是什么？
(3)求t时间内蜡块的位移和速度.

【例】如图所示为某人游珠江，他以一定的速度且面部始终垂直于河岸向对岸游去．设江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是（　　）
A． 水速大时，路程长，时间长
B． 水速大时，路程长，时间不变
C． 水速大时，路程长，时间短
D． 路程、时间与水速无关

【例】飞机斜向上飞的运动可以看成水平方向和竖直方向两个分运动的合运动，如图所示，若飞机飞行速度v的方向与水平方向的夹角为θ，则飞机的水平速度vx的大小是（　　）

A．Vcosθ B．Vsinθ C．Vcotθ D．vtanθ

三、运动的合成与分解实例

1.小船渡河模型

小船过河问题
轮船渡河问题：
（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。
V水
v船
θ
v2
v1

1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间　，显然，当时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为，合运动沿v的方向进行。
2．位移最小
若
v水
v船
θ
v

结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为
若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，
v水
θ
v
α
A
B
E
v船

设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据船头与河岸的夹角应为
，船沿河漂下的最短距离为：

此时渡河的最短位移：

渡河航程最短有两种情况：
①船速v2大于水流速度v1时，即v2>v1时，合速度v与河岸垂直时，最短航程就是河宽；
②船速v2小于水流速度vl时，即v2<v1时，合速度v不可能与河岸垂直，只有当合速度

【例题】河宽d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在静水中的速度v2=3m／s，问：
(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?
(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?
★

【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ 　）
(A) 　　 (B) (C) 　　 (D)
★

绳子末端速度的分解
绳子末端速度的分解问题，是一个难点，同学们在分解时，往往搞不清哪一个是合速度，哪一个是分速度。以至解题失败。下面结合例题讨论一下。
解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。

【例】如图所示，用船A拖着车B前进，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为θ时，求：

(1)车B运动的速度vB多大？
(2)车B是否做匀速运动？

【例】一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t，绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示，试求：

(1)车向左运动的加速度的大小；
(2)重物m在t时刻速度的大小．

【例】如图2所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A的运动情况是（ ） 
　 A. 加速上升，且加速度不断增大    
　　B. 加速上升，且加速度不断减小
　　C. 减速上升，且加速度不断减小
　　D. 匀速上升            

◍注：
v 假设地面突然消失，则汽车将以定滑轮为圆心转动，即合运动有垂直于绳方向的效果。
v 沿绳方向的分速度是联系两个物体运动的桥梁。

规律方法
1.明确分解谁一分解实际运动.
2.知道如何分解一沿绳(杆) 方向和垂直绳(杆)方向分解.
3.求解依据一 因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆>方向的速变分量大小相年

第二节 平抛运动

一、平抛运动
1. 概念：物体以一定速度V0水平抛出，只受重力的作用。
2. 性质： a=g的匀变速曲线运动。
3. 处理方法

分解： →水平方向：匀速直线运动
↓ 竖直方向：自由落体运动
【例】为了研究平抛物体的运动，我们做如下的实验：如图所示，A、B两球处于同一高度处静止．用锤打击弹性金属片，A球就沿水平方向飞出，同时B球被松开做自由落体运动，观察到两球同时落地．这个实验现象说明（　　）

A． A球在水平方向做匀速运动
B． B．A小球在竖直方向做自由落体运动
C． 能同时说明上述两条规律
D． D． 不能说明上述规律中的任何一条

4.平抛运动的规律
（1）速度关系： 水平分速度Vx= V0
竖直示速度Vy=gt
t时刻物体的合速度大小：V=
方向：设V与Vo的夹角为φ。则
（2） 位移关系：在水平方向，X=V0 t；
在竖直方向

和位移

方向：

5.平抛运动的几个有用的结论

①飞行时间： 由h,g决定，与无关。
②水平射程： 由h,g, 共同决定。

③落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角tan α＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。

【例】如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8 m，水平距离为8 m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(取g＝10 m/s2)(　　)

A． 0.5 m/s B． 2 m/s C． 10 m/s D． 20 m/s

二、平抛运动的两个重要推论

推论Ⅰ做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻，任意位置处，设其末速度方向与初速度方向的夹角为φ，位移方向与初速度方向的夹为 θ，则有
推论Ⅱ做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时初速度方向位移的中点。

证明：

专题 平抛运动的四种模型

模型一：斜面上的平抛运动问题
（1） 分解速度
对着斜面的平抛运动
如图所示
方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝＝
可求得t＝

【例】如图，小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．取g＝10 m/s2，tan 53°＝，求：

(1)小球在空中的飞行时间；
(2)抛出点距落点的高度．

（3） 分解位移
顺着斜面的平抛运动
如图所示，方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tanθ＝
可求得t＝

【例】如图所示，在倾角为37°的斜面上从A点以6 m/s的初速度水平抛出一个小球，小球落在B点，求小球刚碰到斜面时的速度方向及A、B两点间的距离和小球在空中飞行的时间．(g取10 m/s2)

【例】如图所示，AB为斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落在B点，求：

(1)AB间的距离；
(2)物体在空中飞行的时间．

模型二

半圆内的平抛运动
如图所示，由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2
R±＝v0t
联立两方程可求t

【例】如图所示，AB为半圆弧的水平直径，O为圆心。从A点平抛出小球1和小球2，从B点平抛出小球3，做平抛运动的轨迹如图所示，则三个物体做平抛运动的初速度v1、v2、v3的关系和三个物体做平抛运动的时间t1、t2、t3的关系分别是（ ）

A．v3>v1>v2，t1>t2>t3
B．v1>v2=v3，t2=t3=t1
C．v1>v2>v3，t1>t2>t3
D．v1>v2>v3，t2=t3>t1

【例】如图所示，一个半径为R的半圆环ACB竖直放置（保持圆环直径AB水平），C为环上的最低点． 一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力．则下列判断正确的是（ ）

A． 总可以找到一个v0值，使小球垂直撞击半圆环的AC段
B． 总可以找到一个v0值，使小球垂直撞击半圆环的BC段
C． 无论v0取何值，小球都能垂直撞击半圆环
D． 无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环

【例】(多选)如图，AB为竖直面内半圆的水平直径．从A点水平抛出两个小球，小球l的抛出速度为v1、小球2的抛出速度为v2．小球1落在C点、小球2落在D点，C，D两点距水平直径分别为圆半径的0.8倍和l倍．小球l的飞行时间为t1，小球2的飞行时间为t2．则（　　）
A．t1=t2
B．t1＜t2
C．v1∶v2=4∶
D．v1∶v2=3∶
模型三
对着竖直墙壁的平抛运动

水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同。运动时间为t＝。

【例】如图所示，某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系，用一个小球在O点对准前方的一块竖直放置的挡板水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别是v1、v2、v3，打在挡板上的位置分别是B、C、D，且AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，则v1、v2、v3之间的正确关系是(　　)

A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝5∶3∶1
C．v1∶v2∶v3＝6∶3∶2
D．v1∶v2∶v3＝9∶4∶1

模型四 类平抛运动

抛体在一个方向上是匀速直线运动，与这一方向垂直的另一个方向做初速度为零的加速运直线运动，这类运动虽然不是抛体运动，但基本规律与平抛运动相同，属于类平抛运动

注意：
1. 准确受力分析找到合力
2. 看是否满足类平抛运动的条件，并确定分解方向
3. 确定是位移分解还是速度分解

【例】如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(即v0∥CD)，小球运动到B点，已知A点的高度为h，求：

(1)小球到达B点时的速度大小；
(2)小球到达B点的时间．

【例】如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：

(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.

第四节 圆周运动

一、 圆周运动
1、 定义：物体运动轨迹是圆周或圆周的一部分的运动叫做圆周运动。
2、 性质：圆周运动是加速度变化的变速曲线运动。

二、 种类
1、 匀速圆周运动，如秒针针尖的运动。
2、 非匀速圆周运动，如钟摆的运动。

三、 描述圆周运动的物理量
1、 线速度
（1） 物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢，是物体做圆周运动的瞬时速度。
（2） 定义：质点做圆周运动通过的弧长△s和所用时间△t的比值叫线速度大小。
（3） 矢量

大小： （Δs是Δt时间内通过的弧长并非位移）
方向：与半径垂直，与圆周相切。

2. 角速度
（1） 物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。
（2） 定义：质点所在的半径转过的角度和所用时间的比值。

（3） 公式：
（4） 单位：弧度/秒， rad/s

3. 周期、频率、转速（标量）
（1）定义：质点运动一周所用的时间，公式：，单位：S
（2）频率：周期的倒数，，单位：Hz
（3）转速：物体单位时间内转过的圈数（n）， 单位：，还有

4. 线速度、角速度、周期的关系

， ， ，

四、 转动模型

1. 传动装置线速度关系：①皮带传动------------边缘上的点线速度大小相同
②齿轮传动------------边缘上的点线速度大小相同

2.共轴传动：角速度相同

【例】如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中轮上A、B、C三点所在处半径分别为rA、rB、rC，且rA＝2rB，rB＝rC，则这三点的线速度vA∶vB∶vC为(　　)

A． 2∶2∶1
B． 2∶1∶1
C． 1∶1∶2
D． 1∶1∶1

【例】如图所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n，则自行车前进的速度为(　　)．

A． B． C． D．

【例】下图中每一个轮子都有大小两轮子叠合而成，共有n个这样的轮子，用皮带逐一联系起来，当第一个轮子外缘线速度为v1时，第n个轮子的小轮边缘线速度vn′＝_________.

【例】一半径为R的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图所示，伞边缘距地面高h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，求此圆半径r为多少？

专题 圆周运动中的追及和多解问题

一、 追及问题
在追及与相遇问题中，两者相距最远时，两物体处于同一直径的两侧，两者相距最近时两物体在同一半径的同一侧。

【例】如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从它的分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为（ ）

二、多解问题

因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发
生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去。

规律方法：分析问题时可暂时不考虑周期性，表出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度上再加上，具体的取值应视情况而定。

【例】一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直圆盘且过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω，若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是（ ）

A.
B. ωL=π(1+2n)v0（n=0，1，2，3，…）
C.
D. dω=gπ2(1+2n)2（n=0，1，2，3，…）

第五节 向心加速度和向心力

一、 向心加速度
1、 定义：做圆周运动的质点指向圆心的加速度叫向心加速度。
2、 方向：指向圆心“O”
3、 大小：

4.物理意义：描述线速度方向变化快慢的物理量（不改变速度大小，只改变方向）

【例】一轿车以30 m/s的速率沿半径为450 m的圆形公路行驶，求轿车运动过程中向心加速度的大小．

【例】飞机由俯冲转为上升的一段轨迹可以看成圆弧，如图所示，如果这段圆弧的半径r＝800 m，飞行员能承受的加速度最大为8g.飞机在最低点P的速率不得超过多少？(g＝10 m/s2)

二、 向心力
1. 定义：在圆周运动中产生向心加速度的力.
（1） 匀速圆周运动：总指向圆心.
（2） 非匀速圆周运动：总是有一个指向圆心O，提供向心力的分量.

2. 来源
向心力是效果力，可由某一性质力提供，也可由几个力的合力或某一个力的分力来提供。
它只是做圆周运动的物体指向圆心方向上那个分力的另一种称谓，受力分析时不出现。

3. 大小（根据牛顿第二定律）

4. 效果：改变线速度方向。
5. 方向：指向圆心

【例】长为L的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m的小球，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示，摆线与竖直方向的夹角为α，求：

(1)线的拉力大小；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的周期.

【例】如图所示是马戏团中上演飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道.表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动.已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝的速度过轨道最高点B，并以v2＝v1的速度过最低点A.求在A、B两点摩托车对轨道的压力大小相差多少？

第七节 竖直平面内和水平面内的圆周运动

一、 水平面内的圆周运动
凡是在水平面上做匀速圆周运动的物体所受的合外力一定在水平方向沿半径指向圆心，提供向心力。

1. 物块随圆盘一起转动
【例】如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为，离轴心，B的质量为，离轴心，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求：
（1）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？
（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（）

规律方法
1. 判断临界状态：有些题目中有少“至少”“恰好”“最大”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述
的过程存在着“起止点”，而这些起上点往往就对应着临界状态，

2. 判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。

【例】如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同.当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两个物体的运动情况是（   ）
A. 两物体均沿切线方向滑动
B. 两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C. 两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D. 物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远

【例】如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板中央的小孔O.当小球A在水平板上绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止.求：(重力加速度为g)

(1)轻绳的拉力.
(2)小球A运动的线速度大小.

2.圆锥摆类问题

分析计算圆周运动问题时，常会遇到由重力和弹力（可以是支持力，也可以是拉力）的合力提供向心力而在水平面上做匀速圆周运动的一类问题，即圆周摆类模型。掌握圆锥摆类运动的特征可以快速解决这一类圆周运动问题。

【例】如图所示，装置BOO′可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量为m，细线AC长l，B点距C点的水平距离和竖直距离相等．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度为g）

（1）当装置处于静止状态时，求AB和AC细线上的拉力各为多大
（2）当装置以ω1的角速度匀速转动时，细线AB水平且拉力等于小球重力的一半，求此时装置匀速转动的角速度ω1的大小
（3）若要使AB细线上的拉力为零，求装置匀速转动的角速度ω的取值范围．

规律方法

应根据题给情景准确判定定轴线中的张力
当小球做圆周运动的角速度增大时，原有的合力不再满足做圆周运动的向心力，将做离心运动，小球到C点的距离不变，到B点的距离先减小后增大，AB绳恢复原长后可能有张力。

3.火车转弯问题

【例】铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面对水平面倾角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度小于gRtanθ，则（　　）
A． 内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B． 外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C． 这时铁轨对火车的支持力等于mgcosθ
D． 这时铁轨对火车的支持力大于mgcosθ

4.根据转速的大小求解静摩擦力问题

【例】如图所示，高速公路转弯处弯道圆半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23.最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所许可的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？(g＝9.8 m/s2)

【例】如图为质量m＝1×103kg的汽车在水平公路上行驶的俯视图，轮胎与路面间的最大静摩擦力Fm＝8×103N．汽车经过半径r＝50 m的弯路时：

(1)设转弯时路面水平，则汽车转弯做圆周运动的向心力由什么力提供？
(2)若车转弯时的摩擦力恰好等于最大静摩擦力，求此时车速的大小v.
(3)如果车速达到90 km/h，这辆车会不会发生侧滑？

【例】如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g.若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；

【例】如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内．已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球做圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力各多大．

规律方法
由于静摩擦力的大小和方向的不确定性，使物块随陶罐一起转动的角速度不是唯一值而是一个范围；根据正交分解法求静摩擦力的值，不能按最大静摩擦力计算。应加强对摩擦力方向判断的理解。

二、 竖直面内的圆周运动

对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理一般只研究物体通过最高点和最低点的情况，且在最高点处常出现临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，常见的有两种模型------轻绳模型和轻杆模型。

轻绳模型
轻杆模型
常见类型

过最高点的临界条件
最高点：FT＝0
即mg＝m得
v临＝
最高点v＝0
即F向＝0
FN＝mg
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，
FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心且随v的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大

1.轻绳模型

【例】如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。
(1)求小球通过最高点A时的速度vA；
(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力FT恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间细线断裂，求小球的落地点到C点的距离。

【例】如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是 （ ）
A. 人在最高点时，人处于倒坐状态，保险带对人一定有向上的拉力
B. 人在最高点时对座位仍可能产生压力
C. 人在最高点时对座位的压力一定小于mg
D. 人在最低点时对座位的压力可能小于mg

2.轻杆模型

如图所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定在转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是（ ）．

A． 小球不能到达P点
B． B．小球到达P点时的速度大于
C．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力
D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力

【例】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

3. 外轨道模型

【例】如图所示，一质量为m的汽车，以某一速度通过凸形路面的最高处时对路面的压力为F1，通过凹形路面最低处时对路面的压力为F2，则(　　)

A．F1＝mg B．F1＜mg C．F2＝mg D．F2＜mg
【例】如图所示，汽车以受到v通过一弧形的拱桥顶端时，关于汽车受力的说法中正确的是(　　)

A． 汽车的向心力就是它所受的重力
B． 汽车的向心力是它所受的重力与支持力的合力，方向指向圆心
C． 汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用
D． 以上说法均不正确
【例】如图所示，汽车过拱形桥时的运动可以看做匀速圆周运动，质量为1吨的汽车以20 m/s的速度过桥，桥面的圆弧半径为500 m，g取9.8 m/s2，则汽车过桥面顶点时对桥面的压力是(　　)
A． 800 N
B． 9 000 N
C． 10 000 N
D． 10 800 N
【例】有一运输西瓜的汽车，以5 m/s的速率通过一个半径为R＝10 m的凹形桥，车经凹形桥最低点时，车中间一个质量为6 kg的大西瓜受到周围西瓜对它的作用力大小为(g取10 m/s2)(　　)
A． 60N
B． 45N
C． 75N
D． 0N
7.如图所示，汽车通过拱形桥时的运动可看做圆周运动．质量为m的汽车以速率v通过拱形桥最高点时，若桥面的圆弧半径为R，则此时汽车对桥面的压力大小为(　　)
A．mg
B． 2mg
C．mg－
D．mg＋

三、离心现象

1. 离心运动：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性对的表现。
2. 离心运动的特点：
物体做离心运动并非收到“离心力”的作用，而是外力不足以提供向心力的结果，“离心力”不存在。
3. 合外力与向心力的关系