线性空间的概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6,.,1 线性空间的概念,上页,下页,铃,结束,返回,首页,向量空间又称为线性空间,是线性代数中一个最基本的概念,在第四章中,我们把有序数组叫做向量,并介绍过向量空间的概念,在这一章中,我们要把这些概念推广,使向量及向量空间的概念更具一般性,当然,推广后的向量概念也就更加抽象化了,(II)在,V,中存在数量乘法,即对任意,V,k,R,有,k,V,提示,我们称,V,对于加法运算是封闭的,设,V,是一个非空集合,R,为实数域,如果以下三个条件被满足,则称非空集合,V,为实数域,R,上的一个线性空间,(I)在,V,中存在加法运算,即对任意,V,有,V,定义1,下页,(ii)(,),(,),(iii)在,V,中存在零元素,0,对任何,V,都有,0,(iv)对任何,V,都有,的负元素,V,使,0,(v)1,(vi),(,),(,),(vii)(,),(viii),(,),(II)在,V,中存在数量乘法,即对任意,V,k,R,有,k,V,(III),V,中的加法和数量乘法满足以下运算规律(设,V,R,),(i),提示,我们称,V,对于乘数运算是封闭的,设,V,是一个非空集合,R,为实数域,如果以下三个条件被满足,则称非空集合,V,为实数域,R,上的一个线性空间,(I)在,V,中存在加法运算,即对任意,V,有,V,定义1,下页,(ii)(,),(,),(iii)在,V,中存在零元素,0,对任何,V,都有,0,(iv)对任何,V,都有,的负元素,V,使,0,(v)1,(vi),(,),(,),(vii)(,),(viii),(,),(II)在,V,中存在数量乘法,即对任意,V,k,R,有,k,V,(III),V,中的加法和数量乘法满足以下运算规律(设,V,R,),(i),提示,凡满足八条规律的加法及乘数运算,称为线性运算,设,V,是一个非空集合,R,为实数域,如果以下三个条件被满足,则称非空集合,V,为实数域,R,上的一个线性空间,(I)在,V,中存在加法运算,即对任意,V,有,V,定义1,下页,说明,在第四章中,我们把有序数组称为向量,并对它定义了加法和乘数运算,容易证这些运算满足八条规律,当时把对于运算为封闭的有序数组的集合称为向量空间,显然,那些只是现在定义的特殊情形,比较起来,现在的定义有了很大的推广,1,向量不一定是有序数组,2,向量空间中的运算只要求满足八条运算规律,当然也就不一定是有序数组的加法及乘数运算,下页,(i),(iii)在V中存在零元素0 对任何V 都有0,(II)在V中存在数量乘法 即对任意V kR 有kV,0p0 xn0 xn1 0 x0,对任意的R aR 有*aaR,(anxn a1xa0)(bnxn b1xb0),(i),1 零元素是唯一的,2 任一元素的负元素是唯一的 的负元素记作,(I)在V中存在加法运算 即对任意 V 有V,0,对任意的R aR 有*aaR,(i),可以验证Sn对运算封闭 但因1*x0 不满足运算规律(v)即所定义的运算不是线性运算 所以Sn不是向量空间,例3 正弦函数的集合,例1,次不超过,n,的多项式的全体,记作,P,x,n,即,P,x,n,p,a,n,x,n,a,n,1,x,n,1,a,1,x,a,0,|,a,n,a,1,a,0,R,对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空间,这是因为,通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律,故只要验证,P,x,n,对运算封闭,(,a,n,b,n,),x,n,(,a,1,b,1,),x,(,a,0,b,0,),(,a,n,x,n,a,1,x,a,0,),(,b,n,x,n,b,1,x,b,0,),P,x,n,(,a,n,x,n,a,1,x,a,0,),a,n,x,n,a,1,x,a,0,P,x,n,所以,P,x,n,是一个向量空间,下页,例2,n,次多项式的全体,Q,x,n,p,a,n,x,n,a,1,x,a,0,|,a,n,a,1,a,0,R,且,a,n,0,对于通常的多项式加法、数乘运算不构成向量空间,这是因为,例1,次不超过,n,的多项式的全体,记作,P,x,n,即,P,x,n,p,a,n,x,n,a,n,1,x,n,1,a,1,x,a,0,|,a,n,a,1,a,0,R,对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空间,下页,即,Q,x,n,对运算不封闭,0,p,0,x,n,0,x,n,1,0,x,0,Q,x,n,例3,正弦函数的集合,S,x,s,A,sin(,x,B,)|,A,B,R,对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间,这是因为,通常的函数加法及数乘运算显然满足线性运算规律,故只要验证,S,x,对运算封闭,s,1,s,2,A,1,sin(,x,B,1,),A,2,sin(,x,B,2,),(,a,1,cos,x,b,1,sin,x,),(,a,2,cos,x,b,2,sin,x,),(,a,1,a,2,)cos,x,(,b,1,b,2,)sin,x,所以,S,x,是一个向量空间,a,1,A,1,sin(,x,B,1,),(,A,1,)sin(,x,B,1,),S,x,A,sin(,x,B,),S,x,下页,例3,正弦函数的集合,S,x,s,A,sin(,x,B,)|,A,B,R,对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间,说明,检验一个集合是否构成向量空间,当然不能只检验对运算的封闭性(如上面二例),若所定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算,则就应仔向量检验是否满足八条线性运算规律,下页,例3,正弦函数的集合,S,x,s,A,sin(,x,B,)|,A,B,R,对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间,例4,n,个有序实数组成的数组的全体,S,n,x,(,x,1,x,2,x,n,),T,|,x,1,x,2,x,n,R,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,*,(,x,1,x,2,x,n,),T,(0,0,0),T,不构成向量空间,可以验证,S,n,对运算封闭,但因1,*,x,0,不满足运算规律(v),即所定义的运算不是线性运算,所以,S,n,不是向量空间,下页,例3,正弦函数的集合,S,x,s,A,sin(,x,B,)|,A,B,R,对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间,例4,n,个有序实数组成的数组的全体,S,n,x,(,x,1,x,2,x,n,),T,|,x,1,x,2,x,n,R,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,*,(,x,1,x,2,x,n,),T,(0,0,0),T,不构成向量空间,比较,S,n,与,R,n,作为集合,它们是一样的,但由于在其中所定义的运算不同,以致,R,n,构成向量空间,而,S,n,不是向量空间,由此可见,向量空间的概念是集合与运算二者的结合,下页,例5,在正实数的全体,R,中定义加法及乘数运算为,a,b,ab,*,a,a,(,a,b,R,R,),验证,R,对上述加法与乘数运算构成线性空间,对加法和乘数的封闭性,对任意的,a,b,R,有,a,b,ab,R,对任意的,R,a,R,有,*,a,a,R,证,下页,例5,在正实数的全体,R,中定义加法及乘数运算为,a,b,ab,*,a,a,(,a,b,R,R,),验证,R,对上述加法与乘数运算构成线性空间,运算的线性性,(i),a,b,ab,ba,b,a,(ii)(,a,b,),c,(,ab,),c,(,ab,),c,a,(,bc,),a,(,bc,),a,(,b,c,),(iii),R,中存在零元素1,对任何,a,R,有,a,1,a,1,a,(iv)对任何,a,R,有负元素,a,1,R,使,a,a,1,aa,1,1,(v)1,*,a,a,1,a,(vi),*,(,*,a,),*,a,(,a,),a,(,),*,a,(vii)(,),*,a,a,a,a,a,a,*,a,*,a,(viii),*,(,a,b,),*,(,ab,),(,ab,),a,b,a,b,*,a,*,b,因此,R,对于所定义的运算构成线性空间,证,下页,(v)1*aa1a,(II)在V中存在数量乘法 即对任意V kR 有kV,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,凡满足八条规律的加法及乘数运算 称为线性运算,例3 正弦函数的集合,Snx(x1 x2 xn)T|x1 x2 xnR,可以验证Sn对运算封闭 但因1*x0 不满足运算规律(v)即所定义的运算不是线性运算 所以Sn不是向量空间,020102,(iii)R中存在零元素1 对任何aR 有a1a 1a,设,0,1,0,2,是线性空间,V,中的两个零元素,即对任何,V,有,0,1,0,2,于是特别有,0,2,0,1,0,2,0,1,0,2,0,1,所以,0,1,0,1,0,2,0,2,0,1,0,2,线性空间的性质,1,零元素是唯一的,证,下页,线性空间的性质,1,零元素是唯一的,设,有两个负元素,、,即,0,0,于是,2,任一元素的负元素是唯一的,的负元素记作,证,0,0,(,),(,),下页,线性空间的性质,1,零元素是唯一的,2,任一元素的负元素是唯一的,的负元素记作,3,0,0,(,1),0,0,证,所以0,0,1,(1,0),1,0,0,所以(,1),(,1),1,(,1),1,(,1),0,0,0,(,1),(,),(,),0,0,下页,线性空间的性质,1,零元素是唯一的,2,任一元素的负元素是唯一的,的负元素记作,3,0,0,(,1),0,0,4,如果,0,则,0或,0,证,所以,0,下页,注,定义2,设,V,是一个线性空间,L,是,V,的一个非空子集,如果,L,对于,V,中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间,则称,L,为,V,的子空间,这是对第四章中子空间定义的修正,定理1,线性空间,V,的非空子集,L,构成子空间的充分必要条件是,L,对于,V,中的线性运算封闭,下页,定义2,设,V,是一个线性空间,L,是,V,的一个非空子集,如果,L,对于,V,中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间,则称,L,为,V,的子空间,定理1,线性空间,V,的非空子集,L,构成子空间的充分必要条件是,L,对于,V,中的线性运算封闭,这是因为,L,是,V,的一部分,V,中的运算对于,L,而言,规律(i),(ii),(v),(vi),(vii),(viii)显然是满足的,因此只要,L,对运算封闭且满足规律即(iii)、(iv)可,但由线性空间的性质知,或,L,对运算封闭,则即能满足干规律(iii)、(iv),结束,