江苏省2012年专转本高数真题及答案.doc

江苏省2012年普通高校“专转本”选拔考试
高等数学 试题卷（二年级）
注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授
1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚．
2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效．
3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1、极限 ( )
A. B. C. D.
2、设,则函数的第一类间断点的个数为( )
A. B. C. D.
3、设，则函数 ( )
A.只有一个最大值 B. 只有一个极小值
C.既有极大值又有极小值 D. 没有极值
4、设在点处的全微分为 ( )
A. B. C. D.
5、二次积分在极坐标系下可化为( )
A. B.
C. D.
6、下列级数中条件收敛的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
7要使函数在点处连续，则需补充定义_________．
8、设函数，则____________．
9、设，则函数的微分___________．
10、设向量互相垂直，且，则___________．
11、设反常积分，则常数__________．
12、幂级数的收敛域为____________．
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
13、求极限．

14、设函数由参数方程所确定，求．

15、求不定积分．

16、计算定积分．

17、已知平面通过与轴，求通过且与平面平行，又与轴垂直的直线方程．

18、设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连续导数，求．

19、已知函数的一个原函数为，求微分方程的通解．

20、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及轴所围成的平面闭区域．

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
21、在抛物线上求一点，使该抛物线与其在点处的切线及轴所围成的平面图形的面积为，并求该平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．

22、已知定义在上的可导函数满足方程，试求：
（1）函数的表达式；
（2）函数的单调区间与极值；
（3）曲线的凹凸区间与拐点．

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

23、证明：当时，．

24、设，其中函数在上连续，且证明：函数在处可导，且．

一．选择题
1-5 B C C A B D
二．填空题
7-12
三．计算题
13、求极限．
原式=

14、设函数由参数方程所确定，求．
原式=

15、求不定积分．
原式=

16、计算定积分．
原式=令，则原式=

17、已知平面通过与轴，求通过且与平面平行，又与轴垂直的直线方程．

解：平面的法向量，直线方向向量为,
直线方程：

18、设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连续导数，求．

解：

19、已知函数的一个原函数为，求微分方程的通解．
解：，先求的通解，特征方程：，
，齐次方程的通解为.令特解为，
代入原方程得：，有待定系数法得：
，解得，所以通解为

20、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及轴所围成的平面闭区域．

原式=.

四．综合题
21、在抛物线上求一点，使该抛物线与其在点处的切线及轴所围成的平面图形的面积为，并求该平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
解：设点，则，切线：
即，由题意，得，

22、已知定义在上的可导函数满足方程，试求：
（1）函数的表达式；
（2）函数的单调区间与极值；
（3）曲线的凹凸区间与拐点．
解：（1）已知两边同时对求导得：
即：，则由题意得：，，则
（2）列表讨论得在单调递增，在单调递减。极大值，极小值
（3）
列表讨论得在凹，在凸。拐点

五、证明题
23、证明：当时，．
解：令,
，在，单调递增，
，所以在，单调递增，则有，得证。

24、设，其中函数在上连续，且证明：函数在处可导，且．

解：因为，即所以有
又因为在上连续，所以，则