江苏省高等数学竞赛试题汇总.doc

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）
一 填空题（每题4分，共32分）
1.
2.，
3.，
4.
5.
6.圆的面积为
7.，可微，，则
8.级数的和为 .
二.（10分）
设在上连续，且，求证：存在点，使得.
三．（10分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正方形的中点，（1）试求过点的平面与底面所成二面角的值。（2）试求过点的平面截正方体所得到的截面的面积.
四（12分）已知是等腰梯形，,求的长，使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分，其中
六、（12分）求，其中为曲线从到.
七.（12分）已知数列单调增加，
记，判别级数的敛散性.
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）
一 填空题（每题4分，共32分）
1.
2.，
3.设由确定，则
4.，
5.
6.，可微，，则
7设可微，由确定，则
8.设，则
二.（10分）设为正常数，使得对一切正数成立，求常数的最小值三.（10分）设在上连续，且，求证：存在点，使得.
四.（12分）求广义积分
五．（12分）过原点作曲线的切线，求该切线、曲线与轴所围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.
六、（12分）已知是等腰梯形，,求的长，使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分，其中
2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）
一．填空题（每题5分，共40分）
1. ， 时，
2. ， 时在时关于的无穷小的阶数最高。
3.
4.通过点与直线的平面方程为
5.设则=
6.设为围成区域，则
7.设为上从到的一段弧，则=
8.幂级数的和函数为 ，收敛域为 。
二．（8分）设数列为
证明：数列收敛，并求其极限
三．（8分）设在上具有连续的导数，求证
四．（8分）1）证明曲面
为旋转曲面
2）求旋转曲面所围成立体的体积
五．（10分）函数具有连续的二阶偏导数，算子定义为

1）求；2)利用结论1）以为新的自变量改变方程的形式
六．（8分）求
七．（9分）设的外侧，连续函数

求
八．（9分）求的关于的幂级数展开式
2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）
一.填空（每题5分，共40分）
1.，
2.
3.
4.已知点,为坐标原点，则四面体的内接球面方程为
5. 设由确定，则
6.函数中常数满足条件 时，为其极大值.
7.设是上从点到的一段曲线， 时，曲线积分取最大值.
8.级数条件收敛时，常数的取值范围是
二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于公里/小时
三.（10分）曲线的极坐标方程为，求该曲线在所对应的点的切线的直角坐标方程，并求切线与轴围成图形的面积.
四（8分）设在上是导数连续的有界函数，，
求证：
五（12分）本科一级考生做：设锥面被平面截下的有限部分为.（1）求曲面的面积；（2）用薄铁片制作的模型，为上的两点，为原点，将沿线段剪开并展成平面图形，以方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出的边界的极坐标方程.
本科二级考生做：设圆柱面被柱面截下的有限部分为.为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，为上的三点，将沿线段剪开并展成平面图形，建立平面在极坐标系，使位于轴正上方，点坐标为，写出的边界的方程，并求的面积.
六（10分）曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体区域记为，
本科一级考生做
本科二级考生做
七（10分）本科一级考生做1）设幂级数的收敛域为，求证幂级数的收敛域也为；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明.
本科二级考生做：求幂级数的收敛域与和函数
2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）
一.填空（每题5分，共40分）
1.
2.
3. ，则
4.
5. 设由确定，则
6.函数中常数满足条件 时，为其极大值.
7.交换二次积分的次序 .
8.设，则
二.（8分）设，试问为何值时，在处一阶导数连续，但二阶导数不存在.
三.（9分）过点作曲线的切线，（1）求的方程；（2）求与所围成平面图形的面积；（3）求图形的部分绕轴旋转一周所得立体的体积.
四（8分）设在上是导数连续的函数，，，
求证：
五（8分）求
六（9分）本科三级做：设，
证明在点处可微，并求
民办本科做：设圆柱面被柱面截下的有限部分为.为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，为上的三点，将沿线段剪开并展成平面图形，建立平面在极坐标系，使位于轴正上方，点坐标为，写出的边界的方程，并求的面积.
七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数在区域上的最大值与最小值.
八（9分）设为所围成的平面图形，求.
2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题5分，共40分）
1. 是周期为的奇函数，且在处有定义，当时，，求当时，的表达式 .
2.
3.
4. 时
5.
6. .
7.设可微，，，
则 .
8. 设，为，则
.
二．（10分）设在上连续，在内可导，，,求证： 内至少存在一点使得
三.（10分）设，在的边界上任取点,设到原点距离为，作垂直于，交的边界于
1）试将的距离表示为的函数；
2）求饶旋转一周的旋转体的体积
四（10分）已知点,在平面上求一点，使最小
五（10分）求幂级数的收敛域。
六（10分）设可微，，
，求.
七（10分）求二次积分
2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
一.填空（每题5分，共40分）
1. 是周期为的奇函数，且在处有定义，当时，，求当时，的表达式.
2. 时，与为等价无穷小，则
3.
4.
5. 时
6.
7. .
8. 设，为，则
.
二．（10分）设在上连续，在内可导，，,求证： 内至少存在一点使得
三.（10分）设，在的边界上任取点,设到原点距离为，作垂直于，交的边界于
1）试将的距离表示为的函数；
2）求饶旋转一周的旋转体的体积
四（10分）设在上有定义，在处连续，且对一切实数有，求证：在上处处连续。
五（10分）上为常数，方程在恰有一个根，求的取值范围。
六（10分）已知点,在平面上求一点，使最小
七（10分）求幂级数的收敛域。
2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题5分，共40分）
1.，则 ，
2. 设在上可导，下列结论成立的是
A. 若，则在上有界
B. 若，则在上无界
C. 若，则在上无界
3. 设由确定，则
4.
5. 曲线，在点的切线的参数方程为
6.设，有二阶连续导数，有二阶连续偏导数，
则
7. 交换二次积分的次序 .
8.幂级数的收敛域
二.（8分）设在上连续，单调减少，，
求证
三.（8分）设在上连续，，求证: 在内至少存在两个零点.
四.（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与所包围的立体的体积.
五.（9分）设为常数，试判断级数的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？
六.（9分）设讨论在点处连续性，可偏导性？可微性.
七.（9分）设在可导，，
求
八.（9分）设曲线的极坐标方程为，一质点在力作用下沿曲线从运动到，力的大小等于到定点的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角为锐角，求力对质点做得功.

2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
一.填空（每题5分，共40分）
1.，则 ，
2. 设在上可导，下列结论成立的是
A. 若，则在上有界
B. 若，则在上无界
C. 若，则在上无界
3. 设由确定，则
4.
5.
6.设，有二阶连续导数，有二阶连续偏导数，
则
7. 交换二次积分的次序 .
8.函数满足方程的条件的极大值为
极小值为

二.（8分）设在上连续，单调减少，，
求证
三.（8分）设，1）若，求证在上恰有一个零点；2）若，且在上恰有一个零点，求常数的取值范围.
四.（8分）求
五.（9分）设讨论在点处连续性，可偏导性？可微性.
六.（8分）设，，的二阶偏导数连续，可导，
求全导数
七.（9分）设在可导，，
求
八.（9分）求
2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题3分，共15分）
. 1.设，则
2.
3. 已知，则

4.
5..设由方程确定（为任意可微函数），
则
二选择题（每题3分，共15分）
1.对于函数，点是（ ）
A. 连续点； B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D可去间断点
2.已知函数对一切满足，若，则（ ）
A. 是的极大值； B. 是曲线的拐点；
C. 是的极小值；
D不是的极值，也不是曲线的拐点
3. （ ）
A. 等于1； B. 等于0；C. 等于；D不存在，但也不是
4.若都存在，则在
A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续；
C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续
5.设为常数，则级数
A. 绝对收敛 B. 条件收敛；
C. 发散； D 收敛性与取值有关
三（6分）求
四（6分）已知函数由参数方程确定，求
五（6分）设在上连续，在内可导且对于一切均有，证明若在内有两个零点，则至少存在一个介于这两个零点之间的零点。
六（6分）设，求。
七（6分）已知，，求
八（8分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的平面图形面积最小。
九（8分）求级数的收敛域及和函数.
十（8分）设在上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：
十一（8分）计算曲线积分，其中为曲线上点沿逆时针方向到该曲线上点的一段曲线。
十二（8分）计算曲面积分，其中为曲面绕轴旋转一周所成曲面之下侧

2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
一.填空（每题3分，共15分）
1. 已知，则 设
2.
3.
4若级数收敛，则的取值为
5.
二选择题（每题3分，共15分）
1.函数，的可去间断点为（ ）
A. ； B. ；C. ；D无可去间断点
2.改变积分次序（ ）
A. ； B. ；
C. ； D
3. 设可导，，若欲使在可导，则必有（ ）
A. ； B. ；C. ；D
4.若都存在，则在
A.连续且可微； B.连续但不可微；
C. 可微但不连续； D不一定可微，也不一定连续
5.在点处取（ ）
A. 极大值 B. 极小值； C. 不取极大值； D极小值
三（6分）设，求常数。
四（6分）设，求。
五（6分）设在上连续，在内可导且对于一切均有，证明若在内有两个零点，则至少存在一个介于这两个零点之间的零点。
六（6分）计算二重积分，其中为正方形区域
七（8分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的平面图形面积最小。
八（6分）当时，的导数与为等价无穷小，求。
九（8分）求幂级数的收敛域及和函数.
十（8分）将展开为的幂级数，并指出收敛区间。
十一（8分）求。
十二（8分）设函数在上连续，且满足，求

17