初中数学竞赛标准教程及练习39：线段、角的相等关系.doc

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初 中数学竞赛精品标准教程及练习（39）
线段、角的相等关系
一、内容提要
证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。
构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）
一. 证明两条线段相等常用的定理
1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。
2. 在两个三角形中，证明全等。
3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质
②用平行线等分线段定理
4.运用比例式证明相等：若　则x=y；若则x=y
5.应用等量代换、等式性质
二.证明两个角相等常用的定理
1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。
2.　在两个三角形中，证明全等或相似。
3.在平行线图形中
① 用平行四边形的对角相等
② 行线的同位角相等，内错角相等
③ 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等
④ 角（或等角）的余角（或补角）相等
⑤ 用等量代换、等式性质
二、例题
例1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠B
求证：AD＝BC
下面提供三种基本证法：
1. 把BC、AD集中到同一个三角形，证它等腰三角形。
辅助线是：过点D作DE∥BC，我们称它为“平移”
∵BCDE是平行四边形，可证△DAE为等腰三角形
2. 以BC、AD为对应边，构造两个全等三角形，为增加对应相等的元素，辅助线为：作两条高CM和DN，根据夹在平行线间的平行线段相等，可用角角边证全等。
3. 由∠A＝∠B，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，辅助线是：分别延长AD和BC交于P。　　　　　　　　　　　　　　P
D　　　C　　　　D　　　　C　　　　　　　　D　　　　C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A　　E　　B　　A　N　　　M　B　　　A　　　　　　　　　　B　　　　　

例2.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于O,AD、BC的延长线相交于P
求证：PO平分AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：设PO延长线交AB于E，交CD于F
∵AB∥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　∴ ＝＝①　＝＝②　　　　　　
①×②得　
∴AE2＝BE2　　　　　∵AE＞0，BE＞0
∴AE＝BE，即PO平分AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3.已知：△ABC中，AC＝3AB，AF是∠A的平分线，　　　　　　　　　　　　　　　　　
过点C作CD⊥AF，D是垂足　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求证：AD被BC平分　　　　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　
证明：以AD为轴作△ADC的对称三角形ADE　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　
那么DE＝DC，AE＝AC＝3AB，BE＝2AB　　　　G　　　F
取BE的中点G，连结DG　　　　　　　　　　　E　　　　　　　C　　　　　　　　　　　　
则DG∥BC，∵AB＝BG　　　　　　　　　　　　　　　D　　　　　
∴AF＝FD，即AD被BC平分
例4.已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点
　　求证：PM＝PN　　
证明：取AB中点Q，AC中点R
连结PQ，PR，MQ，NR
PQ∥AC，PQ＝AC＝NR
PR∥AB，PR＝MQ
∠PQM＝∠PRN（两边分别垂直）
∴△PQM≌△NRP，　PM＝PN
例5.已知：四边形ABCD中AD＝BC，E，F分别是AB、CD的中点，
延长AD，BC和EF的延长线分别交于G，H
求证：∠AGE＝∠BHE　
证明：连结AC，取AC的中点P，连结PE，PF
∵PE是△ABC的中位线，
∴PE∥BC，PE＝BC，
同理PF∥AD，PF＝AD
∴∠PEF＝∠BHE，∠PFE＝∠AGE
∵AD＝BC，∴PE＝PF，∠PEF＝∠PFE
∴　∠AGE＝∠BHE

例6.已知：△ABC中，∠A＝Rt∠，点O是正方形BCDE对角线的交点
求证：AO是∠A的平分线
证明：过点O作OF⊥OA交AC的延长线于F
∵∠ABC，∠FCO都是∠ACO的补角
∴　∠ABC＝∠FCO
∵∠AOB，∠FOC都是∠AOC的余角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　∠AOB＝∠FOC
又∵OB＝OC
∴△ABO≌△FCO
∴AO＝FO，　∠F＝∠OAF＝45　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　AO是∠A的平分线
（△FCO是△ABC绕点旋转90后的位置）
又证：　∵∠BAC＋∠BOC＝180　
∴A，B，O，C四点共圆，
过ABOC四点作辅助圆，在这个圆中
∵弦OB＝弦OC　
∴弧OB＝弧OC
∴圆周角BAO＝∠OAC
即　　AO是∠A的平分线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、练习39
1. 在等边△ABC的边AB，BC，CA上分别截取AD＝BE＝CF，连结AE，BF，CD它们两两相交于P，Q，R，则△PQR也是等边三角形
2. 已知：如图AB＝AC，AD＝AE
求证：AF平分∠BAC
3. 如图P，Q，R是等边三角形ABC三边的中点，M是BC上的任意点，以PM为一边作等边三角形PMN，则RN＝QM
4. 如图△ABD，△BCE都是等边三角形，ADEF是平行四边形，则△CAF也是等边三角形
②　　　　　　　　　③　　　　　　　　　　　　　④

5. 四边形ABCD中，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF和AC，BD相交所成的两个锐角相等
6. 锐角三角形ABC中，以AB，AC为边作两个正方形ABDE，ACFG，高AH的延长线交EG于M，求证：①ME＝MG，②AM＝BC
7. △ABC的∠C＝Rt∠，∠A＝30，以AB，AC为边向形外作等边三角形ABD，ACE，求证　DE被AB平分
8. 等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BE是中线，AD⊥BE交BC于D，交BE于F，求证：∠AEB＝∠DEC
9. 等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，AD∥BC，且BD＝BC，设BD和AC相交于E，求证CD＝CE
10. △ABC中，AD是高，若AB＋DC＝AC＋BD，则AB＝AC
11. D，E分别在等边三角形ABC的边BA，BC的延长线上，AD＝BE求证DC＝DE
12. 正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上且∠EAF＝45，AH是
△ AEF的高，求证　AH＝AB
13. 梯形ABCD中，AB∥CD，MN∥AB交AD于M，交BC于N交AC于E，交BD于F则ME＝NF
14. 正方形ABCD中，E，F是AB延长线上的两个点，BE＝BC，BF＝BD，DF交BC于G，交CE于H求证：CH＝CB，HG＝HF

练习39参考答案：
1. 先△ABE≌△BCF≌△CAD，2.三次全等，3.证△PQM≌△PRN
4.△ABC≌△DBE，∠BAC＋ ∠DAF＝∠BDE＋∠DEF＝60＋180
1. 取CD的中点M，连结ME，MF　　6.　△EAM≌△ABH
5. 作△ABD的高DF，证△BDF≌△BAC
6. 作斜边上高，找全等三角形
7. 求出∠DBC＝30，有两种图形
8. 延长BC到N，使CN＝AB，延长CB到M，使BM＝AC，
证△AMD≌△AND，△CAN≌△MBA
9. 延长BE到F，使EF＝BC
10. 延长CB到G使BG＝DF
13.　证明　14.∠CDF＝∠F＝∠BDF＝∠DHC＝22.5