2025年新版初中数学动点重难点题（含答案）.docx

1. 如图，点 A 、B 在数轴上表示的数分别为-12 和 8，两只蚂蚁 M 、N 分别从 A 、B 两点同时出发，相向而行． M 的速度为 2 个单位长度/ 秒， N 的速度为 3 个单位长度/ 秒．
（1） 运动 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点 P ；点 P 在数轴上表示的数是 ；
（2） 若运动t 秒钟时，两只蚂蚁的距离为 10，求出t 的值（写出解题过程）．
2. 如图，已知数轴上点 A 表示的数为 6， B 是数轴上在 A 左侧的一点，且 A ， B 两点间的距离为 10．动点 P 从点 A 出发，以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t > 0) 秒．
（1） 数轴上点 B 表示的数是 ，点 P 表示的数是 （用含t 的代数式表示）；
（2） 动点Q 从点 B 出发，以每秒 4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P 、Q 同时出发．求：
①当点 P 运动多少秒时，点 P 与点Q 相遇？
②当点 P 运动多少秒时，点 P 与点Q 间的距离为 8 个单位长度？

3. 已知数轴上三点 A ， O ， B 表示的数分别为 6，0， -4 ，动点 P 从 A 出发，以每秒 6 个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1） 当点 P 到点 A 的距离与点 P 到点 B 的距离相等时，点 P 在数轴上表示的数是 ；
（2） 另一动点 R 从 B 出发，以每秒 4 个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P 、R 同时出发，问点 P 运动多少时间追上点 R ？
（3） 若 M 为 AP 的中点， N 为 PB 的中点，点 P 在运动过程中，线段 MN 的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 MN 的长度．

4. 如图所示，在数轴上点 A 表示的数是 4，点 B 位于点 A 的左侧，与点 A 的距离是 10 个单位长度．
（1） 点 B 表示的数是 ，并在数轴上将点 B 表示出来．
（2） 动点 P 从点 B 出发，沿着数轴的正方向以每秒 2 个单位长度的速度运动．经过多少秒点 P 与点 A 的距离是 2 个单位长度？
（3） 在（2）的条件下，点 P 出发的同时，点Q 也从点 A 出发，沿着数轴的负方向，以 1

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个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q 到点 B 的距离是点 P 到点 A 的距离的 2 倍？

5. 阅读下面的材料：

如图 1，在数轴上 A 点所示的数为a ，B 点表示的数为b ，则点 A 到点 B 的距离记为 AB ．线段 AB 的长可以用右边的数减去左边的数表示，即 AB = b - a ．
请用上面的知识解答下面的问题：

如图 2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm 到达 A 点，再向左移动2cm 到达 B 点， 然后向右移动7cm 到达C 点，用 1 个单位长度表示1cm ．
（1） 请你在数轴上表示出 A ． B ． C 三点的位置：
（2） 点C 到点 A 的距离CA = cm ；若数轴上有一点 D ，且 AD = 4 ，则点 D 表示的数

为 ；

（3） 若将点 A 向右移动 xcm ，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
（4） 若点 B 以每秒2cm 的速度向左移动，同时 A ． C 点分别以每秒1cm 、 4cm 的速度向右移动．设移动时间为t 秒，
试探索： CA - AB 的值是否会随着t 的变化而改变？请说明理由．

6. 如图，数轴上 A 、 B 两点对应的数分别为-5 、15．
（1） 点 P 是数轴上任意一点，且 PA = PB ，则点 P 对应的数是 ；
（2） 点 M 、 N 分别是数轴上的两个动点，点 M 从点 A 出发以每秒 3 个单位长度的速度运动，同时，点 N 从原点O 出发以每秒 2 个单位长度的速度运动．
①若 M 、N 两点都向数轴正方向运动，经过几秒，点 M 、点 N 分别到原点O 的距离相等？
②当 M 、 N 两点运动到 AM = 2BN 时，请直接写出点 M 在数轴上对应的数．

7. 如图，在数轴上，点 A 表示-10 ，点 B 表示 11，点C 表示 18．动点 P 从点 A 出发，沿数轴正方向以每秒 2 个单位的速度匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发，沿数轴负方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．
（1） 当t 为何值时， P 、Q 两点相遇？相遇点 M 所对应的数是多少？
（2） 在点Q 出发后到达点 B 之前，求t 为何值时，点 P 到点O 的距离与点Q 到点 B 的距离相等；
（3） 在点 P 向右运动的过程中， N 是 AP 的中点，在点 P 到达点C 之前，求2CN - PC 的
值．

8. 如图，数轴上有 A 、 B 、C 三个点， A 、 B 、C 对应的数分别是 a 、b 、 c ，且满足

| a + 24 | + | b + 10 | +(c -10)2 = 0 ，动点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度向终点C 运动，

设运动时间为t 秒．
（1） 求a 、b 、c 的值；

（2） 若点 P 到 A 点的距离是点 P 到 B 点的距离的 2 倍，求点 P 对应的数；
（3） 当点 P 运动到 B 点时，点Q 从点 A 出发，以每秒 3 个单位的速度向C 点运动，Q 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点 A ．在点Q 开始运动后第几秒时，P 、Q两点之间的距离为 4？请说明理由．

9. 已知数轴上 A ， B 两点表示的有理数分别为a ， b ，且(a -1)2 + | b + 2 |= 0 ．

（1） 求a ， b 的值；

（2） 点C 在数轴上表示的数是c ，且与 A 、 B 两点的距离和为 11，求c 值；
（3） 小蜗牛甲以 1 个单位长度/ s 的速度从点 B 出发向其左边 6 个单位长度外的食物爬去，
3s 后位于点 A 的小蜗牛乙收到它的信号，以 2 个单位长度/ s 的速度也迅速爬向食物，小

蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上 D 点相遇，则点 D 表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？
10. 已知在数轴l 上，一动点Q 从原点O 出发，沿直线l 以每秒钟 2 个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动 1 个单位长度，再向左移动 2 个单位长度，又向右移动 3
个单位长度，再向左移动 4 个单位长度，又向右移动 5 个单位长度
（1） 求出 5 秒钟后动点Q 所处的位置；
（2） 如果在数轴l 上还有一个定点 A ，且 A 与原点O 相距 20 个单位长度，问：动点Q 从原点出发，可能与点 A 重合吗？若能，则第一次与点 A 重合需多长时间？若不能，请说明理由．

参考答案与试题解析
1. 如图，点 A 、B 在数轴上表示的数分别为-12 和 8，两只蚂蚁 M 、N 分别从 A 、B 两点同时出发，相向而行． M 的速度为 2 个单位长度/ 秒， N 的速度为 3 个单位长度/ 秒．
（1） 运动 4 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点 P ；点 P 在数轴上表示的数是 ；
（2） 若运动t 秒钟时，两只蚂蚁的距离为 10，求出t 的值（写出解题过程）．
【解答】解：（1）设运动 x 秒时，两只蚂蚁相遇在点 P ，根据题意可得：
2x + 3x = 8 - (-12) ， 解得： x = 4 ，
-12 + 2 ´ 4 = -4 ．
答：运动 4 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点 P ；点 P 在数轴上表示的数为： -4 ；

（2）运动t 秒钟，蚂蚁 M 向右移动了2t ，蚂蚁 N 向左移动了3t ， 若在相遇之前距离为 10，则有2t + 3t + 10 = 20 ，
解得： t = 2 ．
若在相遇之后距离为 10，则有2t + 3t -10 = 20 ， 解得： t = 6 ．
综上所述： t 的值为 2 或 6． 故答案为：4； -4 ．
2. 如图，已知数轴上点 A 表示的数为 6， B 是数轴上在 A 左侧的一点，且 A ， B 两点间的距离为 10．动点 P 从点 A 出发，以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t > 0) 秒．
（1） 数轴上点 B 表示的数是 -4 ，点 P 表示的数是 （用含t 的代数式表示）；
（2） 动点Q 从点 B 出发，以每秒 4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P 、Q 同时出发．求：
①当点 P 运动多少秒时，点 P 与点Q 相遇？
②当点 P 运动多少秒时，点 P 与点Q 间的距离为 8 个单位长度？

【解答】解：（1）数轴上点 A 表示的数为 6，

\OA = 6 ，
则OB = AB - OA = 4 ， 点 B 在原点左边，
\数轴上点 B 所表示的数为-4 ； 点 P 运动t 秒的长度为6t ，
动点 P 从点 A 出发，以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
\ P 所表示的数为： 6 - 6t ；
（2）①点 P 运动t 秒时追上点Q ， 根据题意得6t = 10 + 4t ，
解得t = 5 ，
答：当点 P 运动 5 秒时，点 P 与点Q 相遇；
②设当点 P 运动a 秒时，点 P 与点Q 间的距离为 8 个单位长度， 当 P 不超过Q ，则10 + 4a - 6a = 8 ，解得a = 1；
当 P 超过Q ，则10 + 4a + 8 = 6a ，解得a = 9 ；
答：当点 P 运动 1 或 9 秒时，点 P 与点Q 间的距离为 8 个单位长度．

3. 已知数轴上三点 A ， O ， B 表示的数分别为 6，0， -4 ，动点 P 从 A 出发，以每秒 6 个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1） 当点 P 到点 A 的距离与点 P 到点 B 的距离相等时，点 P 在数轴上表示的数是 1 ；
（2） 另一动点 R 从 B 出发，以每秒 4 个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P 、R 同时出发，问点 P 运动多少时间追上点 R ？
（3） 若 M 为 AP 的中点， N 为 PB 的中点，点 P 在运动过程中，线段 MN 的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 MN 的长度．

【解答】解：（1） (6 - 4) ¸ 2 = 1．故点 P 在数轴上表示的数是 1； 故答案为：1；
（2） 设点 P 运动 x 秒时，在点C 处追上点 R ， 则 AC = 6xBC = 4x ， AB = 10 ，
AC - BC = AB ，

\6x - 4x = 10 ， 解得 x = 5 ，
\点 P 运动 5 秒时，追上点 R ；
（3） 线段 MN 的长度不发生变化，理由如下分两种情况：
① 当 点 P 在 A 、 B 之 间 运 动 时 （ 如 图 ①
) : MN = MP + NP = 1 AP + 1 BP = 1 ( AP + BP) = 1 AB = 5 ．
2 2 2 2
②当点 P 运动到点 B 左侧时（如图② ) ，
MN = PM - PN = 1 AP - 1 BP = 1 ( AP - BP) = 1 AB = 5 ．
2 2 2 2
综上所述，线段 MN 的长度不发生变化，其长度为 5．

4. 如图所示，在数轴上点 A 表示的数是 4，点 B 位于点 A 的左侧，与点 A 的距离是 10 个单

位长度．

（1） 点 B 表示的数是


-6 ，并在数轴上将点 B 表示出来．

（2） 动点 P 从点 B 出发，沿着数轴的正方向以每秒 2 个单位长度的速度运动．经过多少秒点 P 与点 A 的距离是 2 个单位长度？
（3） 在（2）的条件下，点 P 出发的同时，点Q 也从点 A 出发，沿着数轴的负方向，以 1
个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q 到点 B 的距离是点 P 到点 A 的距离的 2 倍？

【解答】解：（1）10 - 4 = 6 ，点 B 位于点 A 的左侧，
\点 B 表示的数是-6 ，
故答案为： -6 ．

在数轴上将点 B 表示如图所示：
（2） 设经过t 秒点 P 与点 A 的距离是 2 个单位长度，
\2t + 2 = 10 或 2t - 2 = 10
\t = 4 或t = 6
\经过 4 秒或 6 秒点 P 与点 A 的距离是 2 个单位长度；
（3） 设经过t 秒，点Q 到点 B 的距离是点 P 到点 A 的距离的 2 倍，
\2(10 - 2t) = 10 - t 或 2(2t -10) = 10 - t
\t = 10 或t = 6
3
\经过10 秒或 6 秒，点Q 到点 B 的距离是点 P 到点 A 的距离的 2 倍．
3

5. 阅读下面的材料：

如图 1，在数轴上 A 点所示的数为a ，B 点表示的数为b ，则点 A 到点 B 的距离记为 AB ．线段 AB 的长可以用右边的数减去左边的数表示，即 AB = b - a ．
请用上面的知识解答下面的问题：

如图 2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm 到达 A 点，再向左移动2cm 到达 B 点， 然后向右移动7cm 到达C 点，用 1 个单位长度表示1cm ．
（1） 请你在数轴上表示出 A ． B ． C 三点的位置：
（2） 点C 到点 A 的距离CA = 5 cm ；若数轴上有一点 D ，且 AD = 4 ，则点 D 表示的数

为 ；

（3） 若将点 A 向右移动 xcm ，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
（4） 若点 B 以每秒2cm 的速度向左移动，同时 A ． C 点分别以每秒1cm 、 4cm 的速度向右移动．设移动时间为t 秒，
试探索： CA - AB 的值是否会随着t 的变化而改变？请说明理由．

【解答】解：（1）如图所示：
（2） CA = 4 - (-1) = 4 +1 = 5(cm) ； 设 D 表示的数为a ，
AD = 4cm ，
\| -1- a |= 4 ，
解得： a = -5 或 3，
\点 D 表示的数为-5 或 3； 故答案为：5， -5 或 3；
（3） 将点 A 向右移动 x cm ，则移动后的点表示的数为-1 + x ； 故答案为： -1 + x ；
（4） CA - AB 的值不会随着t 的变化而变化，理由如下：
根据题意得： CA = (4 + 4t) - (-1+ t) = (5 + 3t)cm ， AB = (-1+ t) - (-3 - 2t) = (2 + 3t)cm ，
\CA - AB = (5 + 3t) - (2 + 3t) = 3(cm) ，
\CA - AB 的值不会随着t 的变化而变化．

6. 如图，数轴上 A 、 B 两点对应的数分别为-5 、15．
（1） 点 P 是数轴上任意一点，且 PA = PB ，则点 P 对应的数是 5 ；
（2） 点 M 、 N 分别是数轴上的两个动点，点 M 从点 A 出发以每秒 3 个单位长度的速度运动，同时，点 N 从原点O 出发以每秒 2 个单位长度的速度运动．
①若 M 、N 两点都向数轴正方向运动，经过几秒，点 M 、点 N 分别到原点O 的距离相等？
②当 M 、 N 两点运动到 AM = 2BN 时，请直接写出点 M 在数轴上对应的数．

【解答】解：（1）设 P 点表示的数为 x ，由题意得， x + 5 = 15 - x ，

解得， x = 5 ， 故答案为：5；

（2）①由数轴知，当 M ， N 重合时， 3t - 5 = 2t ， 解得， t = 5 （秒) ；
当 M ， N 在O 点异侧时， 5 - 3t = 2t ， 解得t = 1 （秒) ；
综上所述，经过 5 秒或 1 秒，点 M 、点 N 分别到原点O 的距离相等；

②由题可得， ON = 2t ， AM = 3t ，
当点 N 在线段OB 上时， BN = OB - ON = 15 - 2t ， 由 AM = 2BN ，可得3t = 2 ´ (15 - 2t)，
解得t = 30 ，
7
若点 M 向右移动，则点 M 表示的数为-5 + 3´ 30 = 55 ，
7 7
若点 M 向左移动，则点 M 表示的数为-5 - 3´ 30 = - 125 ；
7 7

当点 N 在线段OB 的延长线上时， BN = ON - OB = 2t -15 ， 由 AM = 2BN ，可得3t = 2 ´(2t -15)，
解得t = 30 ，
若点 M 向右移动，则点 M 表示的数为-5 + 3´ 30 = 85 ， 若点 M 向左移动，则点 M 表示的数为-5 - 3´ 30 = -95 ；

当点 N 在线段 BO 的延长线上时， BN = ON + OB = 2t +15 ， 由 AM = 2BN ，可得3t = 2 ´(2t +15) ，
解得t = -30 （不合题意）；
综上所述， M 在数轴上对应的数为-95 ，85， -125 ， 55 ．
7 7
7. 如图，在数轴上，点 A 表示-10 ，点 B 表示 11，点C 表示 18．动点 P 从点 A 出发，沿数轴正方向以每秒 2 个单位的速度匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发，沿数轴负方向以
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每秒 1 个单位的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．
（1） 当t 为何值时， P 、Q 两点相遇？相遇点 M 所对应的数是多少？
（2） 在点Q 出发后到达点 B 之前，求t 为何值时，点 P 到点O 的距离与点Q 到点 B 的距离相等；
（3） 在点 P 向右运动的过程中， N 是 AP 的中点，在点 P 到达点C 之前，求2CN - PC 的
值．

【解答】解：（1）根据题意得2t + t = 28 ，解得t = 28 ，
3
\ AM = 56 > 10 ，
3
\M 在O 的右侧，且OM = 56 -10 = 26 ，
3 3
\当t = 28 时， P 、Q 两点相遇，相遇点 M 所对应的数是 26 ；
3 3
（2） 由题意得， t 的值大于 0 且小于 7．
若点 P 在点O 的左边，则10 - 2t = 7 - t ，解得t = 3 ．
若点 P 在点O 的右边，则2t -10 = 7 - t ，解得t = 17 ．
3
综上所述， t 的值为 3 或17 时，点 P 到点O 的距离与点Q 到点 B 的距离相等；
3
N
（3） 是 AP 的中点，
\ AN = PN = 1 AP = t ，
2
\CN = AC - AN = 28 - t ， PC = 28 - AP = 28 - 2t ，
2CN - PC = 2(28 - t) - (28 - 2t) = 28 ．
8. 如图，数轴上有 A 、 B 、C 三个点， A 、 B 、C 对应的数分别是 a 、b 、 c ，且满足

| a + 24 | + | b + 10 | +(c -10)2 = 0 ，动点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度向终点C 运动， 设运动时间为t 秒．

（1） 求a 、b 、c 的值；
（2） 若点 P 到 A 点的距离是点 P 到 B 点的距离的 2 倍，求点 P 对应的数；
（3） 当点 P 运动到 B 点时，点Q 从点 A 出发，以每秒 3 个单位的速度向C 点运动，Q 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点 A ．在点Q 开始运动后第几秒时，P 、Q两点之间的距离为 4？请说明理由．

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【解答】解：（1）
| a + 24 | + | b + 10 | +(c -10)2 = 0

\a + 24 = 0 ， b +10 = 0 ， c -10 = 0
解得a = -24 ， b = -10 ， c = 10

（2） -10 - (-24) = 14 ，
①点 P 在 AB 之间， AP = 14 ´ 2

= 28 ，

-24 + 28 = - 44 ，
3 3
点 P 的对应的数是- 44 ；
3
2 +1 3

②点 P 在 AB 的延长线上， AP = 14 ´ 2 = 28 ，
-24 + 28 = 4 ，
点 P 的对应的数是 4；

（3）设在点Q 开始运动后第a 秒时， P 、Q 两点之间的距离为 4，
当 P 点在Q 点的右侧，且Q 点还没追上 P 点时， 3a + 4 = 14 + a ，解得a = 5 ； 当 P 在Q 点左侧时，且Q 点追上 P 点后， 3a - 4 = 14 + a ，解得a = 9 ；
当Q 点到达C 点后，当 P 点在Q 点左侧时，14 + a + 4 + 3a - 34 = 34 ， a = 12.5 ；
当Q 点到达C 点后，当 P 点在Q 点右侧时，14 + a - 4 + 3a - 34 = 34 ，解得a = 14.5 ， 综上所述：当Q 点开始运动后第 5、9、12.5、14.5 秒时， P 、Q 两点之间的距离为 4．
9. 已知数轴上 A ， B 两点表示的有理数分别为a ， b ，且(a -1)2 + | b + 2 |= 0 ．

（1） 求a ， b 的值；

（2） 点C 在数轴上表示的数是c ，且与 A 、 B 两点的距离和为 11，求c 值；
（3） 小蜗牛甲以 1 个单位长度/ s 的速度从点 B 出发向其左边 6 个单位长度外的食物爬去，

3s 后位于点 A 的小蜗牛乙收到它的信号，以 2 个单位长度/ s 的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上 D 点相遇，则点 D 表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？

【解答】解：（1）根据题意得解得a = 1， b = -2 ．
a - 1 = 0 ， b + 2 = 0 ，

（2） ①当点C 在点 B 的左边时，
1- c + (-2 - c) = 11 ，解得c = -6 ；
②当点C 在点 A 的右边时，
c -1+ c - (-2) = 11 ，解得c = 5 ；
（3） 设小蜗牛乙收到信号后经过t 秒和小蜗牛甲相遇，根据题意得：
t + 2t = 1- (-2) - (-6) + (6 -1´ 3) ，
\t = 4 ，
\1 - 2 ´ 4 = -7 ，
3 + 4 = 7 ．
答：点 D 表示的有理数是-7 ，小蜗牛甲共用去 7 秒．
10. 已知在数轴l 上，一动点Q 从原点O 出发，沿直线l 以每秒钟 2 个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动 1 个单位长度，再向左移动 2 个单位长度，又向右移动 3
个单位长度，再向左移动 4 个单位长度，又向右移动 5 个单位长度
（1） 求出 5 秒钟后动点Q 所处的位置；
（2） 如果在数轴l 上还有一个定点 A ，且 A 与原点O 相距 20 个单位长度，问：动点Q 从原点出发，可能与点 A 重合吗？若能，则第一次与点 A 重合需多长时间？若不能，请说明理由．

【解答】解：（1） 2 ´ 5 = 10 ，
\点Q 走过的路程是1 + 2 + 3 + 4 = 10 ，
Q 处于：1- 2 + 3 - 4 = 4 - 6 = -2 ；

（2）①当点 A 在原点右边时，设需要第n 次到达点 A ，则
n + 1 = 20 ，
2

解得n = 39 ，
\动点Q 走过的路程是
1+ | -2 | +3+ | -4 | +5 +¼+ | -38 | +39 ，
= 1 + 2 + 3 +¼+ 39 ，
= (1 + 39) ´ 39 = 780 ，
2
\时间= 780 ¸ 2 = 390 秒(6.5 分钟）；
②当点 A 在原点左边时，设需要第n 次到达点 A ，则 n = 20 ，
2
解得n = 40 ，
\动点Q 走过的路程是
1+ | -2 | +3+ | -4 | +5 +¼+ 39+ | -40 | ，
= 1 + 2 + 3 +¼+ 40 ，
= (1 + 40) ´ 40 = 820 ，
2
\时间= 820 ¸ 2 = 410 秒(6 5 分钟）．
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