高中数学函数的对称性和周期性知识点精析新人教B版必修.doc

函数的对称性和周期性知识点精析
1．周期函数的定义
周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得
恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，
则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.
2．函数的轴对称：
定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
定理2：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
定理3：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
定理4：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
定理5：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.
3.函数的点对称：
定理1：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.
定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.
定理3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.
定理4：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.
定理5：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.
4．函数的对称性与周期性的联系
定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.
定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.
定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.
以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.

5．几种特殊抽象函数的周期：
函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,
① ，则是以为周期的周期函数；
②，则是以为周期的周期函数；
③，则是以为周期的周期函数；
④，则是以为周期的周期函数；
⑤，则是以为周期的周期函数.
⑥，则是以为周期的周期函数.
⑦，则是以为周期的周期函数.
⑧函数满足（），若为奇函数，则其周期为，
若为偶函数，则其周期为.
⑨函数的图象关于直线和都对称，则函数是以
为周期的周期函数；
⑩函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；
⑾函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；
6．判断一个函数是否是周期函数的主要方法
判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有;
二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.
解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。

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用心 爱心 专心