平方根和开平方(基础)知识讲解.pdf

平方根和开平方（基础）平方根和开平方（基础）【学习目标学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念要点一、平方根和算术平方根的概念1.1.平方根的定义平方根的定义如果2xa，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.2.算术平方根的定义算术平方根的定义正数a的两个平方根可以用“a”表示，其中a表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；a表示a的负平方根，读作“负根号a”.要点诠释：要点诠释：当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a0，a0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1 1区别：区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a和a2 2联系：联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0 的平方根和算术平方根均为 0要点诠释：要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点三、平方根的性质20|000aaaaaaa 20aaa要点四、平方根小数点位数移动规律要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如：62500250，62525，6.252.5，0.06250.25.【典型例题典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5 是 25 的算术平方根 B.l 是 l 的一个平方根 C.24的平方根是4 D.0 的平方根与算术平方根都是 0【答案答案】C；【解析解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项A.因为255，所以本说法正确；B.因为11，所以 l 是 l 的一个平方根说法正确；C.因为24164，所以本说法错误；D.因为00，00，所以本说法正确；【总结升华总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题举一反三：举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9没有平方根（）（2）164 （）（3）21()10的平方根是110（）（4）25 是425的算术平方根（）【答案答案】；，提示：（2）164；（4）25是425的算术平方根2、填空：（1）4是 的负平方根（2）116表示 的算术平方根，116 （3）181的算术平方根为 （4）若3x，则x ，若23x，则x 【思路点拨思路点拨】（3）181就是181的算术平方根19，此题求的是19的算术平方根.【答案与解析答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13(4)9；3【总结升华总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：举一反三：【变式 1】下列说法中正确的有（）：3 是 9 的平方根 9 的平方根是 34 是 8 的正的平方根 8是 64 的负的平方根A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案答案】B；提示：是正确的.【变式 2】（2015凉山州）的平方根是 【答案答案】3.解：因为=9，9 的平方根是3，所以答案为3.3、使代数式1x有意义的x的取值范围是_ 【答案答案】x1；【解析解析】x10，解得x1.【总结升华总结升华】当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a0，a0.举一反三：举一反三：【变式】代数式y 3x有意义，则x的取值范围是 【答案答案】3x.类型二、利用平方根解方程类型二、利用平方根解方程4、（2015 春鄂州校级期中）求下列各式中的 x 值，（1）169x2=144 （2）（x2）236=0【思路点拨思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解【答案与解析答案与解析】解：（1）169x2=144，x2144=169，x=144169，x=1213.（2）（x2）236=0，（x2）2=36，x2=36，x2=6，x=8 或 x=4【总结升华总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数类型三、平方根的应用类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的 3 倍，面积是 1323 平方米求长和宽各是多少米？【答案与解析答案与解析】解：设宽为x，长为 3x，由题意得，x3x1323 32x1323 21x x21(舍去)答：长为 63 米，宽为 21 米.【总结升华总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.