幂函数经典例题(答案).pdf

幂函数的概念例例 1、下列结论中，正确的是()A幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B幂函数的图象可以出现在第四象限C当幂指数 取 1,3，时，幂函数 yx是增函数12D当幂指数 1 时，幂函数 yx在定义域上是减函数解析当幂指数 1 时，幂函数 yx1的图象不通过原点，故选项 A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，且 yx(R)，y0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项 B 不正确；而当 1 时，yx1在区间(，0)和(0，)上是减函数，但它在定义域上不是减函数答案C例例 2、已知幂函数 f(x)(t3t1)x(73t2t2)(tZ)是偶函数且在(0，)上15为增函数，求实数 t 的值分析关于幂函数 yx(R，0)的奇偶性问题，设 (|p|、|q|互质)，当 qpq为偶数时，p 必为奇数，yx 是非奇非偶函数；当 q 是奇数时，yx 的奇偶性pqpq与 p 的值相对应解f(x)是幂函数，t3t11，t1,1 或 0.当 t0 时，f(x)x 是奇函数；75当 t1 时，f(x)x 是偶函数；25当 t1 时，f(x)x 是偶函数，且 和 都大于 0，852585在(0，)上为增函数故 t1 且 f(x)x 或 t1 且 f(x)x.8525点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件tZ 给予足够的重视例例 3、如图是幂函数 yxm与 yxn在第一象限内的图象，则()A-1n0m1Bn1,0m1 C1n1 Dn1解析在(0,1)内取同一值 x0，作直线 xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”如图，0m1，nx，求 x 的取值范围13错解由于 x20，x R，则由 x2x，可得 xR.1313错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是 yx在 1和 01 两种情况下图象的分布正解作出函数 y=x2 和 y=的图象(如右图所示)，易得 x1.31x例例 5、函数 f(x)(m2m1)xm2m3 是幂函数，且当 x(0，)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出 m，再由单调性确定 m.解根据幂函数定义得m2m11，解得 m2 或 m1，当 m2 时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当 m1 时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故 f(x)x3.点评幂函数 yx(R)，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 为常数(也可以为 0)这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根变式变式 已知 y(m22m2)x2n3 是幂函数，求 m，n 的值1m21解由题意得Error!，解得Error!，所以 m3，n.32例例 6、比较下列各组中两个数的大小：（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），535.1537.132)2.1(32)25.1(解析：解析：（1）考查幂函数y的单调性，在第一象限内函数单调递增，53x 1.51.7，535.1537.1（2）考查幂函数y的单调性，同理 0.71.50.61.523x（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，又，32)2.1(322.132)25.1(3225.1322.13225.132)2.1(3225.1点评：点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小例例 7、比较下列各组数的大小(1)3 与 3.1；(2)8 与.525278(19)78分析比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0 与 1 去比较，这种方法叫“搭桥”法解(1)函数 yx 在(0，)上为减函数，52又 33.1.5252(2)8，函数 yx 在(0，)上为增函数，又 ，则78(18)78781819(18)78，(19)78从而8 ，23236 1 1,03.8 1 1，(1.9)0，2525232335所以(1.9)3.8(4.1).352325例例 8、已知幂函数 yx3m9(mN*)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上函数值随 x 的增大而减小，求满足(a1)(32a)的 a 的范围m3m3解函数在(0，)上递减，3m90，解得 m3，又 mN*，m1,2.又函数图象关于 y 轴对称，3m9 为偶数，故 m1，有(a1)32a0 或 0a132a或 a1032a，解得 a 或 a0 时，是增函数；幂函数 yxn，当 n0，且a1)答案B解析根据函数图象，选 B.二、填空题1若幂函数 yf(x)的图象经过点，则 f(25)_.(9，13)答案15解析设 f(x)x，则 9，.1312f(25)25 .12152设幂函数 yx的图象经过点(8,4)，则函数 yx的值域是_答案0，)解析由 48，得 ，yx 0.23233.如图所示是幂函数 y=x 在第一象限内的图象，已知 取2，四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3，C4 的 依次为.答案2，212124若幂函数 yf(x)的图象经过点(2，)，则 f(25)的值是_2答案5解析设 yx，点(2，)在 yx的图象上，22，f(x)x.故 f(25)25 5.21212125幂函数 yx(R)的图象一定不经过第_象限答案四6把下列各数 2，3，0，按由小到大的排列顺序为23(53)13(23)(15)(32)23_答案3 02.(23)(53)13(15)(32)23237已知幂函数 f(x)x，若 f(a1)f(102a)，则 a 的取值范围是12_答案3a0)，由图象知 x(0，)时为减函数，又 f(a1)121xf(102a)，Error!得Error!3ag(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)1 或 xg(x)(2)当 x=1 时，f(x)=g(x)(3)当-1x0 或 0 x1 时，f(x)g(x)4已知函数 y(a23a2)xa25a5(a 为常数)(1)a 为何值时此函数为幂函数？(2)a 为何值时此函数为正比例函数？(3)a 为何值时此函数为反比例函数？解(1)由题意，得 a23a21，即 a23a10.解得 a，即 a时，此函数为幂函数；3 523 52(2)由题意，得Error!解得 a4，即 a4 时，此函数为正比例函数；(3)由题意，得Error!解得 a3，即 a3 时，此函数为反比例函数5已知函数y42215xx（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间解析：解析：这是复合函数问题，利用换元法令t152xx2，则y，4t（1）由 152xx20 得函数的定义域为5，3，t16（x1）20，16 函数的值域为0，2（2）函数的定义域为5，3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数（3）函数的定义域为5，3，对称轴为x1，x5，1时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小又函数y在t0，16时，y随t的增大而增大，4t函数y的单调增区间为5，1，单调减区间为42215xx（1，3 答案：答案：（1）定义域为5，3，值域为0，2；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；