2019年高考数学专题函数的基本性质(第四季)压轴题必刷题理.doc

专题01函数的基本性质第四季
1．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为______.
【答案】

由与联立，
可得在有解，
由，
当且仅当时，取得等号，
即有，
则的取值范围是，故答案为
2．如图放置的边长为2的正三角形沿轴滚动, 设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是， 有下列结论:
①函数的值域是；②对任意的，都有；
③函数是偶函数；④函数单调递增区间为.
其中正确结论的序号是________. (写出所有正确结论的序号)

说明:
“正三角形沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动. 沿轴正方向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转, 当顶点落在轴上时, 再以顶点为中心顺时针旋转, 如此继续. 类似地, 正三角形可以沿轴负方向滚动.
【答案】②③
【解析】
点运动的轨迹如图所示. 由图可知：
的值域为, ①错；
是一个周期函数,周期为,②正确；
函数的图象关于轴对称，为偶函数, ③正确；
函数的增区间为和, ④错，
故答案为②③.
3．函数f（x）＝ax｜2x+a｜在[1，2]上是单调增函数，则实数a的取值范围为___．
【答案】{a|a＞0或a＝﹣4}
【解析】
当时，为常数函数，不符合题意.当时，由于，故函数，函数开口向上，对称轴为，故函数在上递增，符合题意.当时，令，解得.此时，故函数在上递减，在上递增，所以是的子集，故，解得，故的取值范围是或.
4．设a，b∈R，a＜b，函数g（x）=|x+t|（x∈R），（其中表示对于x∈R，当t∈[a，b]时，表达式|x+t|的最大值），则g（x）的最小值为______
【答案】（b-a）

当-b＜x＜-，f（a）＞f（b），可得g（x）=f（a）=-a-x；
当-x≤a即x≥-a时，区间[a，b]为增区间，可得g（x）=f（b）=b+x．
则g（x）= ，
当x≤-b，g（x）≥b-a；
-≤x＜-a时，g（x）≥（b-a）；
当-b＜x＜-，g（x）＞（b-a）；
x≥-a时，g（x）≥b-a．
则g（x）的最小值为（b-a）．
故答案为：（b-a）．
5．关于函数，下列命题中所有正确结论的序号是______．
①其图象关于轴对称； ②当时，是增函数；当时，是减函数；
③的最小值是； ④在区间上是增函数；
【答案】①③④
【解析】
函数，定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故①正确；
令，
函数在上单调递减，证明如下：
任取，，且，
则，
因为，，所以，
而，，
所以，
故函数在上单调递减。
同理可以证明函数在上单调递增，
又因为在单调递增，
利用复合函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增。
由于函数是偶函数，可知在上单调递增，在上单调递减。
的最小值为.
所以②错误，③④正确。
综上正确的结论是①③④.
6．已知函数f（x）=x3+lg（+x）+5，若f（a）=3，则f（-a）=______．
【答案】7
【解析】
根据题意，当x=a时，f（a）=3
代入化简可得f（a）=a3+lg（+a）+5=3，即a3+lg（+a）=-2
当x=-a时，代入得
f（-a）= (-a)3+lg（-a）+5
=-a3+lg（-a）+5
=-a3++5
=-a3+5
=-[a3] +5
=-[-2] +5=7
7．已知函数，若，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
函数，
由函数y=sinx，y=在[-1，1]内都为奇函数，可得函数f（x）在[-1，1]内为偶函数，
由函数y=sinx，y=在[0，1]内都为增函数，且函数值均为非负数，可得函数f（x）在[0，1]内为增函数，
∵，∴|a-1|，
解得或．
则a的取值范围是．
故答案为：．
8．某同学在研究函数 f（x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）=-f（x）在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-1，1）
③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
④方程f（x）=x在R上有三个根．
其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】
对于①，任取，都有，∴①正确；
对于②，当时，，
根据函数的奇偶性知时，，
且时，，②正确；
对于③，则当时，，
由反比例函数的单调性以及复合函数知，在上是增函数，且；
再由的奇偶性知，在上也是增函数，且
时，一定有，③正确；
对于④，因为只有一个根，
∴方程在上有一个根，④错误．
正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③．
9．已知函数f（x）=（x∈（-1，1）），有下列结论：
（1）∀x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）∀m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实数根；
（3）∀x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
（4）存在无数多个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有三个零点
则其中正确结论的序号为______．
【答案】（1）（3）（4）
【解析】
（1）因为f（x）=（x∈（-1，1）），
所以f（-x）=
即函数为奇函数，
所以f（-x）+f（x）=0在x∈（-1，1）恒成立．所以（1）正确；
（2）因为f（x）=（x∈（-1，1））为奇函数，
所以|f（x）|为偶函数，
当x=0时，|f（0）|=0，
所以当m=0时，方程|f（x）|=m只有一个实根，不满足题意，所以（2）错误．

故x∈[0，1）时，f（x）f（0）=0，
因为函数f（x）在（-1，1）上是奇函数，
所以当x∈[-1，0）时，f（x）单调递增，且f（x）f（0）=0，
综上可知，函数f（x）=在（-1，1）上单调递增，
即∀x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）成立，故（3）正确.
（4）由g（x）=f（x）-kx=0，即，
当x=0时，显然成立，即x=0是函数的一个零点，
当x∈（0，1）时，，解得，令，解得
即（）是函数的一个零点，
由于g（-x）= f（-x）+kx=- f（x）+kx=-（f（x）-kx）=- g（x），
即g（x）是（-1，1）上的奇函数，
故在区间（-1，0）上一定存在（）是函数的另一个零点，
所以（4）正确
故（1），（3），（4）正确．
故答案为：（1），（3），（4）
10．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数， 是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则____.
【答案】
【解析】
依题意得，，令，得，
函数的对称中心为，则，
，

，
故答案为.
11．已知函数与都是定义在上的奇函数， 当时，，则（4）的值为____．
【答案】2
【解析】
根据题意，f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，则f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，
则有f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），
又由f（x）也R上的为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0；
则有f（﹣2﹣x）＝f（﹣x），即f（x）＝f（x﹣2），
则函数是周期为2的周期函数，
则f（）＝f（）＝﹣f（），又由f（）＝log2（）＝﹣2，则f（）＝2，
f（4）＝f（0）＝0，
故f（）+f（4）＝2+0＝2；
故答案为：2．
12．已知，函数在区间上的最大值是2，则__________．
【答案】3或
【解析】当时， =
函数，对称轴为，观察函数的
图像可知函数的最大值是.
令，经检验，a=3满足题意.
令，经检验a=5或a=1都不满足题意.
令，经检验不满足题意.
当时，,
函数，对称轴为，观察函数的图像得函数的最大值是.
当时，,
函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.
令，
令,所以.
综上所述，故填3或.
13．已知,函数在上的最大值为,则__________.
【答案】或
【解析】
由题可知且使得等号成立，
等价于恒成立且等号至少取到1处
所以
若
则,或
所以或
可得或
若
则
所以
则
综上所诉：由于
所以或
故答案为：或
14．函数在上的所有零点之和等于______.
【答案】8
【解析】
零点即 ，所以
即，画出函数图像如图所示

函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点
图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为8
15．已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，若集合，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
若=∅，
则等价为f（x-1）-f（x） 0恒成立，即f（x-1）f（x）恒成立，
当x≥0时．
若a≤0，
则当x≥0时， ，
∵f（x）是奇函数，
∴若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x=-f（x），
则f（x）=x，x＜0，
综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x-1）f（x）恒成立；
若a＞0，
若0≤x≤a时， ；
当a＜x≤2a时， ；
当x＞2a时， ．即当x≥0时，函数的最小值为-a，
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＜0时，f（x）的最大值为a，
作出函数的图象如图：
由于∀x∈R，f（x-1）f（x），
故函数f（x-1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，
结合图可得 ，即6a2，求得0＜a ，
综上a ，
故答案为：
16．定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
设
则
又因为对任意实数x，有
所以
所以为减函数
因为定义在R上的函数为奇函数，由奇函数定义可知
=0，即
不等式
所以，同时除以
得，即
因为为减函数
所以 ，即不等式的解集为
17．定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对，有；
②函数的值域为；
③存在，使得；
【答案】①②
【解析】
因为,所以①对;
因为当时，，当时，，
当时，，
当时，，
因此当时，，
从而函数的值域为；所以②对;
因为，所以由上可得,
即，无解.所以③错；
综上正确结论的序号是①②
18．时，恒成立，则的取值范围是_________________________
【答案】
【解析】
当时，函数的图象如下图所示：

因为对于任意，总有恒成立，
则的图象恒在的上方
因为与的图象相交于 时
代入对数函数，求得
所以此时a的取值范围为
19．已知定义域为的函数满足：对任何，都有，且当时，，在下列结论中，正确命题的序号是________
① 对任何，都有；② 函数的值域是；
③ 存在，使得；④ “函数在区间上单调递减”的充要条
件是“存在，使得”；
【答案】①②③④

对于③，x∈（1，3]时，f（x）=3-x，
对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
所以
解得n=2，∴③正确；
对于④，令则
所以

∴函数f（x）在区间（a，b））⊆（3k，3k+1）上单调递减，④正确；
综上所述，正确结论的序号是①②③④．
故答案为：①②③④．
20．定义函数，，其中，符号表示数中的较大者，给出以下命题：
①是奇函数；
②若不等式对一切实数恒成立，则
③时，最小值是2450
④“”是“”成立的充要条件
以上正确命题是__________．（写出所有正确命题的序号）
【答案】②
【解析】
函数等价于，.这是一个偶函数，故命题①错误.对于命题②，不等式等价于，即由于，故，所以，故命题②是真命题.对于③，当时，，两式相加得，而，，以此类推，可得.故③为假命题.对于④，，即，这对任意的都成立，故不是它的充要条件.命题④错误.故填②.