专升本高等数学测试题(答案).doc

专升本高等数学测试题
1.函数是（ D ）．
（A） 奇函数； （B） 偶函数； （C） 单调增加函数； （D） 有界函数．
解析 因为，即, 所以函数为有界函数．
2.若可导，且，则有（ B ）；
（A）； （B）；
（C）； （D）．
解析 可以看作由和复合而成的复合函数
由复合函数求导法 ，
所以 ．
3.=( B );
(A)不收敛; (B)1; (C)－１; (D)0.
解析 ．
4.的特解形式可设为（ A ）；
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) ．
解析 特征方程为，特征根为 ==1．=1是特征方程的特征重根，于是有．
5.( C )，其中：≤≤；
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) ．
解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式．
当时，，由于≤≤，表示为 ，，故．

6.函数=的定义域
解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即
推得
即 , 因此，所给函数的定义域为 .
7. 求极限 =
解：原式=
=
=. （恒等变换之后“能代就代”）
8.求极限=
解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得
==

9.曲线在点（1，1）处切线的斜率
解：由题意知：
,
,
曲线在点（1，1）处切线的斜率为3
10. 方程, 的通解为
解： 特征方程, 特征根,
通解为.
11. 交错级数的敛散性为
（4） =,
而级数收敛，故原级数绝对收敛.

12.. （第二个重要极限）
解一 原式==，
解二 原式==．
13.
解 所求极限为型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或型.
.
14.设，求.
解：令, 两边取对数得：,
两边关于求导数得：

即 .
15.求+在闭区间上的极大值与极小值，最大值与最小值.
解：, 令, 得,
, , ,
∴的极大值为4，极小值为.
∵, .
∴ 比较的大小可知：
最大值为200， 最小值为.
16.求不定积分.
解： 令, 则 , ,于是
原式====
=.
17.求定积分 .
解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．
令 ， ， ，
当时，，当时，，于是
==

18. 求方程 的通解；
解 整理得 ，
用分离变量法，得 ，
两边求不定积分，得 ，
于是所求方程的通解为 ，
即 ．

19., 求.
解：因,
,
,
.
20.画出二次积分的积分区域并交换积分次序.
O
x
y
2
4
解：：
的图形如右图，由图可知，也可表为
所以交换积分次序后，得.

21.求平行于轴，且过点与的平面方程.
解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量.因为平面平行于轴，所以.又因为平面过点与，所以必有.于是，取=,
而={2，7，-4} ，所以 ==，
因此，由平面的点法式方程，得，即 .
解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 ,
由于平面平行于轴，所以 ，原方程变为，又所求平面过点(1, -5, 1)与(3 , 2, -3)，将的坐标代入上述方程，得 解之得 , ,代入所设方程，故所求平面方程为 .