4与圆有关的计算(2013-2014)教师.doc

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2014年中考解决方案
旋转1—基本模型

毕业班解决方案模块课程 初三数学.几何模块突破.旋转1.教师版 Page 17 of 17
与圆有关的计算

中考说明

内容
基本要求
略高要求
较高要求
弧长
了解圆与圆的位置关系
会计算弧长

圆锥
会求圆锥的侧面积和全面积

自检自查必考点

与圆有关的面积和长度计算：
设的半径为，圆心角所对弧长为，
弧长公式：
扇形面积公式：
圆柱体表面积公式：
圆锥体表面积公式：(为母线)
常见组合图形的周长．面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法
课前预习

美丽的扇形
这是一张美丽的扇形画，你会计算它的面积吗？

中考必做题

模块一 与圆有关的计算
☞求弧长
【例1】 圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为（ ）
A． B．π C． D．3π
【难度】1星
【解析】弧长公式：=进行计算即可．
【答案】∵圆心角为60°，且半径为3，
∴弧长==π．
故选B．
【点评】本题考查了弧长公式：=，其中为弧所对的圆心角的度数，为圆的半径．
【巩固】如图，．是的切线，切点是，已知，，那么所对弧的长度为（ ）

A．6π B．5π C．3π D．2π
【难度】2星
【分析】由于．是的切线，由此得到，而，然后利用四边形的内角和即可求出然后利用已知条件和弧长公式即可求出所对弧的长度．
【答案】∵．是的切线，
∴，
而，
∴，
所对弧的长度=．故选．
【点评】此题主要考查了弧长的计算问题，也利用了切线的性质和四边形的内角和，题目简单．
【巩固】如图，⊙半径是，是圆周上的三点，，则劣弧的长是（ ）

A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】连，，根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式计算劣弧的长．

【答案】连，，如图， ∵，
∴，
∴劣弧的长=．故选．
【拓展】如图，六边形是正六边形，曲线……叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，……的圆心依次按点循环，其弧长分别记为，…．当时，等于（ ）

A． B． C． D．
【难度】3星
【解析】利用弧长公式，分别计算出……的长，寻找其中的规律，确定的长．
【答案】

按照这种规律可以得到：
∴．故选．
【点评】本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，求出L2011的长．
【例2】 75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是__________cm．
【难度】1星
【解析】由弧长公式：计算．
【答案】由题意得：圆的半径cm．
故本题答案为：6．
【点评】本题考查了弧长公式．
【巩固】的圆心角所对的弧长是12πcm，则此弧所在的圆的半径是_________cm．
【难度】1星
【解析】根据弧长公式得．
【答案】根据弧长公式，得
（cm）
【点评】此题主要是考查了弧长公式．
【例3】 如图，已知中，，cm，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且三点在同一条直线上，则点过的最短路线的长度是（ ）cm．

A．8 B． C． D．
【难度】2星
【解析】点经过的最短路线的长度是一段弧长，圆心是，半径是，旋转的度数是度，由特殊三角函数可求得=4，所以根据弧长公式可得．
【答案】弧长=．
故选．
【点评】本题的关键是找准圆心角和半径求弧长．
【巩固】在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）

A． B．cm C．cm D．cm
【难度】2星
【解析】根据勾股定理可将的长求出，点所经过的路程是以点为圆心，以的长为半径，圆心角为60°的扇形．
【答案】在中，，
cm
故点B所经过的路程为．故选．
【点评】本题的主要是将点所走的路程转化为求弧长，使问题简化．
【例4】 如图，把的斜边放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置．若，则顶点运动到点的位置时，点两次运动所经过的路程．（计算结果不取近似值）

【难度】3星
【解析】根据题意得到直角三角形在直线上转动两次点分别绕点旋转60°和绕旋转90°，将两条弧长求出来加在一起即可．
【答案】在中，
∵，
∴，
∴，
∴点A经过的路线的长是．
【点评】本题考查了弧长的计算方法及勾股定理，解题的关键是根据直角三角形的转动过程判断点A是以那一点为圆心转动多大的角度．
【巩固】矩形ABCD的边，现将矩形放在直线上且沿着向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时(如图所示)，则顶点A所经过的路线长是_________．

【难度】2星
【解析】12
解决此题目需要画出A点在旋转过程中，每次旋转的路线，找到每次的旋转中心，旋转角和旋转半径，从而利用弧长公式计算出走过的弧长，最后做加和即可．
【答案】
【拓展】如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（ ）

A． B． C． D．
【难度】3星
【解析】连，，，作，利用正六边形的性质分别计算出，，而当第一次滚动到图2位置时，顶点所经过的路径分别是以为圆心，以为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．
【答案】连，作，如图，

∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以为圆心，以为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长==．
故选．
【点评】本题考查了弧长公式；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．
☞求面积
【例5】 如图，点在直径为的上，，则图中阴影部分的面积等于_________．（结果中保留π）．

【难度】2星
【解析】首先连接，，即可求得，然后求得扇形的面积与的面积，求其差即是图中阴影部分的面积．

【答案】连接，
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
∴∴
【点评】此题考查了圆周角的性质，扇形的面积与直角三角形面积得求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
【巩固】如图，在等腰直角三角形中，，点为的中点，已知扇形和扇形的圆心分别为点、点，且，则图中阴影部分的面积为___________（结果不取近似值）．

【解析】用三角形ABC的面积减去扇形EAD和扇形FBD的面积，即可得出阴影部分的面积．
【答案】∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算以及等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式：．
【巩固】如图，等腰的直角边长为4，以为圆心，直角边为半径作弧1，交斜边于点，于点，设弧，，围成的阴影部分的面积为，然后以为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧围成的阴影部分的面积为，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积=__________．

【难度】3星
【解析】每一个阴影部分的面积都等于扇形的面积减去等腰直角三角形的面积．
此题的关键是求得的长．根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【答案】根据题意，得．
∴．
∴．
∴．
∴阴影部分的面积．
【点评】此题综合运用了等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式．
【例6】 如图，在半径为，圆心角等于的扇形内部作一个正方形，使点在上，点在上，点在上，则阴影部分的面积为____________．

【难度】3星
【解析】连结，由勾股定理可计算得正方形的边长为，
则正方形的面积为，等腰直角三角形的面积为，
扇形的面积为，
所以阴影部分的面积为．
【答案】
【巩固】将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若，，则图中阴影部分面积为___________cm2．

【难度】3星
【解析】3
此题需要把所在的圆补充完整，设它与线段的交点为，与的交点为．从而看出整个阴影部分可以割补成扇形的面积-扇形的面积．即．
【答案】
☞与圆锥有关的计算
【例7】 如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm，母线长为15cm，那么纸杯的侧面积为__________cm2．（结果保留π）

【难度】2星
【解析】纸杯的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．
【答案】纸杯的侧面积为π×5×15=75πcm2．
故答案为75π．
【点评】考查圆锥的计算；掌握圆锥侧面积的计算公式是解决本题的关键．
【巩固】一个圆锥的底面半径为4cm，将侧面展开后所得扇形的半径为5cm，那么这个圆锥的侧面积等于_______cm2（结果保留π）．
【难度】1星
【解析】侧面展开后所得扇形的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【答案】圆锥的侧面积=π×4×5=20πcm2．
【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．
【巩固】某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高=8米，底面半径=6米，则圆锥的侧面积是__________平方米（结果保留π）．

【难度】2星
【解析】根据勾股定理求得，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法，求得答案即可．
【答案】∵米，米，∴米，
∴圆锥的底面周长=米，
∴（平方米）
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
【巩固】一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1．则这个圆锥形零件的全面积是____．___
【难度】2星
【解析】利用圆锥的地面半径求得圆锥的底面积加上圆锥的侧面积即可得到圆锥的全面积．
【答案】∵底面半径为1．
∴圆锥的底面面积为π，
侧面积为πrl=π×1×4=4π，
∴全面积为π+4π=5π，
∴全面积为5π．
故答案为：5π．
【点评】本题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2的应用．
【例8】 将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是，则圆锥的侧面积是________．
【难度】2星
【解析】由于圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中，故可得到底面半径是3，母线长是6，底面圆周长是6π，再由圆锥的侧面积公式计算．
【答案】∵圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中，
∴底面半径是3，母线长是6，
∴底面圆周长是6π，
∴圆锥的侧面积是．
故本题答案为：18π．
【点评】本题解决的关键就是掌握圆锥的侧面展开图与圆锥的关系．
【巩固】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是________．
【难度】2星
【解析】运用公式s=πlr（其中勾股定理求解得到得母线长l为5）求解．
【答案】由已知得，母线长l=5，半径r为4，
∴圆锥的侧面积是．
故答案为20π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解．
【例9】 如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是_________cm．

【难度】2星
【解析】首先求得圆的周长，利用三等分求得扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长求得底面的半径即可．
【答案】∵把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，
∴扇形的弧长为：
∵扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴2πr=8π，
解得：r=4cm，
故答案为：4
【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
【巩固】若圆锥的侧面展开时一个弧长为l6π的扇形，则这个圆锥的底面半经是_______．
【难度】2星
【解析】利用底面周长=展开图的弧长可得．
【答案】16π=2πr
解得r=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后求值．
【巩固】若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长_______．
【难度】2星
【解析】本题考查圆锥的的侧面展开图．根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等于圆锥底面圆的周长．
【答案】设这个圆锥的底面半径是R，则有
解得：R=4．
故答案为：4．
【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【例10】 将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是________度．
【难度】2星
【解析】根据圆锥的侧面积公式得出圆锥侧面积，再利用扇形面积求出圆心角的度数．
【答案】∵将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，
∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×6×15=90πcm2，
∴扇形面积为，
解得：，
∴侧面展开图的圆心角是．
故答案为：144．
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥侧面积是解决问题的关键．
【巩固】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是_________度．
【难度】2星
【解析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【答案】设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴R=2r，
设圆心角为n，有，
∴n=180°．
【点评】本题利用了扇形面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．
【巩固】已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为_______度．
【难度】2星
【解析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的扇形的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角．
【答案】圆锥的底面周长=4π，
∴=4π，
解得n=120°．
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
【巩固】将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是______度．
【难度】2星
【解析】易得圆锥的底面周长，也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角度数．
【答案】圆锥的底面周长=2π×5=10π，
∴=10π，
∴n=150°．
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
【例11】 用半径为9cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的高为____cm．
【难度】2星
【解析】已知半径为9 cm，圆心角为120°的扇形，就可以求出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底面半径，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
【答案】扇形弧长为：L==6πcm，
设圆锥底面半径为r，
则：2πr=6π，所以，r=3cm，
因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，
设圆锥高为h，所以，
即：=72，h=cm，
所以圆锥的高为 cm．
故答案为：cm．
【点评】考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长
【巩固】已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为_________．
【难度】2星
【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
【答案】设圆锥的母线长为R，则15π=2π×3×R÷2，
解得R=5，
∴圆锥的高==4．
【点评】用到的知识点为：圆锥侧面积的求法；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
【巩固】如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°．则圆锥的母线是___________．
【难度】2星
【解析】圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．
【答案】将l=20π，α=120代入扇形弧长公式l=中，
得20π=，
解得r=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了圆锥的计算．关键是体现两个转化，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．
课后作业

1. 如图，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为( )
A．10cm B．35cm
C．45cm D．25cm

【难度】3星
【解析】点走过的路径长 要归结到点在两次旋转过程中所走过的路线．A→A1可看做是点绕着点 顺时针旋转得到，此段弧长即为半径为5cm的圆周长的，而A1→A2的路线可看做是A1点绕着点C顺时针旋转得到，此时弧长即为半径为3cm的圆周长的．两段弧长加在一起即为本题最终答案．
【答案】B
2. 如图，在中，，，点为中点，将绕点按逆时针方向旋转得到，则点在旋转过程中所经过的路程为__________．(结果保留)
B
A
C
D

【难度】3星
【解析】根据题意在图中标注已知条件，点在旋转过程中所经过的路程可以看做是一条弧．这条弧所在的圆的半径为=3，圆心角=旋转度数=，带入公式，即可得出结果．
【答案】
3. 一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是_____cm2．
【难度】2星
【解析】此题考查的是扇形面积公式，其中n=120°，半径=3cm，带入求值即可．
【答案】

4. 如图7，在中，分别以为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留)

【难度】2星
【解析】观察图形可知：图中阴影部分面积可分隔成两部分求解．设点到的距离为，第一部分：半圆的面积-，第二部分：半圆的面积-，最后两部分求和即可．
【答案】
5. 如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积于 __________。

【难度】2星
【解析】根据反比例函数图像双曲线具有的性质，关于原点对称，从而可知把图中两块阴影归结在一个圆中，所以图中阴影部分的面积即为⊙A或⊙B的面积．同时点A、B均在双曲线上，根据xy=1，且圆均与左边轴相切，可知圆的半径=1，所以阴影部分面积=．
【答案】
6. 正边形内接于半径为的圆，这个边形的面积为，则等于____________．
【难度】3星
【解析】略
【答案】
7. 的内接多边形周长为，的外切多边形周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )
A． B． C． D．
【难度】3星
【解析】省略
【答案】C
8. 如图，已知：边长为1的圆内接正方形中，为边的中点，直线交圆于点．
⑴求弦的长．
⑵若是线段上一动点，当长为何值时，三角形与以为顶点的三角形相似．
B
A
D
E
P
C

B
A
D
E
P
C
图1
F
B
A
D
E
P
C
图2
Q
B
A
D
E
P
C
图3

（Q）

【难度】3星
【解析】⑴如图1．过点作于点．
在中，
又
的度数为
⑵如图2．当时有得：．
即点与点重合，
如图3，当时，有
得，即
当或时，三角形与以点为顶点的三角形相似．
【答案】见解析