中考数学——反比例函数压轴大题（二大题型）.docx

反比例函数大题(二大题型
通用的解题思路：
题型 ．反比例 与 次函 的 点反比例函数与一次函数的交点问题
(1) 求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，
方程组无解，则两者无交点．
1
(2) 判断正比例函数 y = k x 和反比例函数 y = k2 在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
x
x
①当 k1 与 k2 同号时，正比例函数 y = k1x 和反比例函数 y = k2 在同一直角坐标系中有 2 个交点；
x
②当 k1 与 k2 异号时，正比例函数 y = k1x 和反比例函数 y = k2 在同一直角坐标系中有 0 个交点．
题型 ．反比例 综合题
(1) 应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力 和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定 系数法和其他学科中的知识．
(2) 数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数 解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数 值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
题型 ．反比例 与 次 的 点 (共 25 )
1
(2024• 新北区校级模拟) 如图，双曲线 y1= k 与直线 y2= 3 x 交于 A，B 两点．点 A(2,a) 和点 B(b,
x 2
-3) 在双曲线上，点 C 为 x 轴正半轴上的一点．
1
(1) 求双曲线 y = k 的表达式和 a，b 的值；
x
(2) 请直接写出使得 y1> y2 的 x 的取值范围；
(3) 若 ΔABC 的面积为 12，求此时 C 点的坐标．

17

2
(2023• 苏州) 如图，一次函数 y = 2x 的图象与反比例函数 y = k (x > 0) 的图象交于点 A(4,n)．将
x
点 A 沿 x 轴正方向平移 m 个单位长度得到点 B，D 为 x 轴正半轴上的点，点 B 的横坐标大于点 D 的横坐
标，连接 BD，BD 的中点 C 在反比例函数 y = k (x > 0) 的图象上．
x
(1) 求 n，k 的值；
(2) 当 m 为何值时，AB ⋅ OD 的值最大？最大值是多少？

3
2
(2024• 常州模拟) 如图，反比例函数 y = k1 的图象与一次函数 y = k x + b 的图象交于点 A(-1,2)，
x
Ë
B 4,- 1 ．
2
2
(1) 求函数 y = k1 和 y = k x + b 的表达式；
x
(2) 若在 x 轴上有一动点 C ，当 SΔABC= 2SΔAOB 时，求点 C 的坐标．

4
x
(2024• 常州模拟) 如图，一次函数 y1= kx + b(k ≠ 0) 与函数为 y2= m (x > 0) 的图象交于 A(4,1),

Ë
B 1 ,a
2

两点．

(1) 求这两个函数的解析式；
(2) 根据图象，直接写出满足 y1-y2> 0 时 x 的取值范围；
(3) 点 P 在线段 AB 上，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ，交函数 y2 的图象于点 Q，若 ΔPOQ 的面积为 3，求点 P 的坐标．

5
(2024• 沭阳县模拟) 如图，反比例函数 y = k 的图象与一次函数 y = mx + n 的图象相交于 A(a,
x
-1)，B(-1,3) 两点．
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 设直线 AB 交 y 轴于点 C ，点 N (t,0) 是 x 轴正半轴上的一个动点，过点 N 作 NM ⊥ x 轴交反比例函数 y

= k 的图象于点 M ，连接 CN ，OM ．若 S
> 3，求 t 的取值范围．

x 四边形 COMN

6
(2024• 宿迁二模) 已知函数 y = 1 的图象与函数 y = kx(k ≠ 0) 的图象交于点 P(m,n)
x
(1) 若 m = 2n，求 k 的值和点 P 的坐标．
(2) 当 |m| ≤ |n| 时，结合函数图象，直接写出实数 k 的取值范围．

7
(2024• 泉山区校级模拟) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = 1 x + 5 和 y =-2x 的图象
2
相交于点 A，反比例函数 y = k 的图象经过点 A．
x
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 设一次函数 y = 1 x + 5 的图象与反比例函数 y = k 的图象的另一个交点为 B，连接 OB，求 ΔABO 的
2 x
面积．

8
(2023• 常州) 在平面直角坐标系中，一次函数 y = kx + b 的图象与反比例函数 y = m 的图象相交于
x
点 A(2,4)、B(4,n)． C 是 y 轴上的一点，连接 CA、CB．
(1) 求一次函数、反比例函数的表达式；
(2) 若 ΔABC 的面积是 6，求点 C 的坐标．

9
x
(2024• 姜堰区一模) 如图，一次函数 y1=-2x + a 的图象与反比例函数 y2= k (k > 0) 的图象在第一
象限相交于点 A(m,n)，B(m - 2,3n)．
(1) 求 a、k 的值；
(2) 当 y1> y2> 0 时，直接写出 x 的取值范围．

10
x
(2024• 昆山市模拟) 如图，一次函数 y = k1x + b(k1≠ 0) 的图象与反比例函数 y = k2 (k2≠ 0) 的图象
相交于 A，B 两点，其中点 A 的坐标为 (-2,1)，点 B 的坐标为 (1,n)．
(1) 求这两个函数的表达式；
1
(2) 根据图象，直接写出满足 k x + b > k2 的取值范围；
x
(3) 求 ΔABO 的面积．

11
(2024• 兴化市一模) 已知函数 y1= k (k 是常数，k ≠ 0)，函数 y2=- 3 x + 9．
x 2
(1) 若函数 y1 和函数 y2 的图象交于点 A(2,6)，点 B(4,n - 2)．
①求 k，n 的值．
②当 y1> y2 时，直接写出 x 的取值范围．
(2) 若点 C(8,m) 在函数 y1 的图象上，点 C 先向下平移 1 个单位，再向左平移 3 个单位，得点 D，点 D 恰好落在函数 y1 的图象上，求 m 的值．

12
(2024• 南通模拟) 如图，直线 AB 交双曲线 y = k 于 A、B 两点，交 x 轴于点 C ，且 B 恰为线段 AC x
的中点，连接 OA．若 SΔOAC= 6．求 k 的值．

13
(2024• 亭湖区模拟) 如图，等腰三角形 OAB 中，AO = AB，点 B 坐标为 (4,0) 顶点 A 在反比例函数
y = k 的图象上，且 ΔOAB 的面积为 12．
x
(1)k = ．
(2) 过 B 点直线对应的解析式为 y = x + b 与双曲线 y = k 在第一，三象限交点分别为点 M ，N ．
x
①求点 M ，N 的坐标．
②直接写出不等式 k - x - b ≥ 0 的解集．
x

14
(2024• 常熟市模拟) 如图，一次函数 y = 1 x - 1 的图象与 y 轴相交于 B 点，与反比例函数 y = k (k
2 x
≠ 0,x > 0) 图象相交于点 A(m,2)．
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 点 C 在点 A 的左侧，过点 C 作 y 轴平行线，交反比例函数的图象于点 D，连接 BD．设点 C 的横坐标为
a，求当 a 为何值时，ΔBCD 的面积最大，这个最大值是多少？

15
(2024• 东海县一模) 一次函数 y =-x + 5 与反比例函数 y = k 的图象在第一象限交于 A，B 两点，
x
其中 A(1,a)．
(1) 求反比例函数表达式；
(2) 结合图象，直接写出 -x + 5 ≤ k 时，x 的取值范围；
x
(3) 若把一次函数 y =-x + 5 的图象向下平移 b 个单位，使之与反比例函数 y = k 的图象只有一个交点，请
x
直接写出 b 的值．

16
(2024• 钟楼区校级模拟) 如图，已知反比例函数 y = k 的图象与一次函数 y = ax + b 的图象相交于
x
点 A(2,3) 和点 B(n,-2)．
(1) 求反比例函数与一次函数的解析式；
(2) 直接写出不等式 k > ax + b 的解集；
x
(3) 若点 P 是 x 轴上一点，且满足 ΔPAB 的面积是 10，请求出点 P 的坐标．

17
(2024• 姑苏区校级模拟) 如图，以 x 轴上长为 1 的线段 AB 为宽作矩形 ABCD，矩形长 AD、BC 交直线 y =-x + 3 于点 F、E，反比例函数 y = k (x > 0) 的图象正好经过点 F、E．
x
(1) 线段 EF 长为 2 ；
(2) 求 k 值．

18
x
(2024• 昆山市一模) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = k1x + b(k1，b 为常数，且 k1≠ 0)与反比例函数 y = k2 (k2 为常数，且 k2≠ 0) 的图象交于点 A(m,6)，B(4,-3)．
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
1
(2) 当 k2 > k x + b > 0 时，直接写出自变量 x 的取值范围；
x
(3) 已知一次函数 y = k1x + b 的图象与 x 轴交于点 C ，点 P 在 x 轴上，若 ΔPAC 的面积为 9；求点 P 的坐标．

19
x
(2024• 盐城模拟) 如图，已知一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比例函数 y2= k2 ，分别交于点 A 和
点 B，且 A、B 两点的坐标分别是 A(-1,-2) 和 B(2． m)，连接 OA、OB．
x
(1) 求一次函数 y1= k1x + b 与反比例函数 y2= k2 的函数表达式；
(2) 求 ΔAOB 的面积．

20
(2024• 天宁区校级模拟) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = 2x + b 的图象与 x 轴交于点 A(-1,0)，与 y 轴交于点 B，与反比例函数 y = k (x > 0) 的图象交于点 C ，且 AB = BC．点 D 是 x 轴正
x
半轴上一点，连接 CD，∠ODC = 45°．
(1) 求 b 和 k 的值；
(2) 求 ΔACD 的面积．

21
x
(2024• 姑苏区校级一模) 如图，一次函数 y1= kx + b 的图象与反比例函数 y2= m (x > 0) 的图象交
于点 A(4,1) 和点 B(2,n)．
(1) 求一次函数和反比例函数解析式；
(2) 过点 B 作 BC ⊥ y 轴于点 C ，连接 OA，求四边形 OABC 的面积；
(3) 根据图象直接写出使 kx + b < m 成立的 x 的取值范围．
x

22
(2024• 新北区一模) 如图，反比例函数 y = k (x > 0) 与一次函数 y = 2x + m 的图象交于点 A(1,4)，
x
BC ⊥ y 轴于点 D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点 B、C．
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 连接 AB，若 OD = 1，求 ΔABC 的面积．

23
(2024• 武进区校级模拟) 如图，直线 y =-x + 3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，与反比例函数 y
= k (k ≠ 0) 的图象交于点 C ，过点 C 作 CB ⊥ x 轴于点 B，AD = 3AC．
x
(1) 求点 A 的坐标及反比例函数的解析式；
(2) 若点 E 是直线 y =-x + 3 与反比例函数 y = k (k ≠ 0) 图象的另一个交点，求 ΔCOE 的面积．
x

24
(2024• 东海县一模) 如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 y = x + b 的图象经过点 A(-2,0)，与反比例函数 y = k 的图象交于 B(a,4)，C 两点．
x
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 点 M 是反比例函数图象在第一象限上的点，且 SΔMAB= 4，请求出点 M 的坐标；
(3) 反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线BC 方向平移，使其经过点 C ，再将双曲线在第三象限的一支沿射线 CB 方向平移，使其经过点 B，平移后的两条曲线相交于 P，Q 两点，如图 2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，PQ 为这只“眸”的 “眸径”，请求出“眸径” PQ 的长．

25
(2024• 泗阳县校级二模) 如图，已知 A(-4,n)，B(2,-4) 是一次函数 y = kx + b 的图象和反比例函数 y = m 的图象的两个交点．
x
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及 ΔAOB 的面积；
(3) 直接写出一次函数的值小于反比例函数值的 x 的取值范围．

题型 ．反比例 综合题 (共 8 小 )
26
(2024• 泰兴市一模) 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，点 A、C 在反比例函数 y =
2 的图象上，点 B、D 在反比例函数 y =- 4 的图象上，顺次连接这四个点得到四边形 ABCD．
x x
(1) 若对角线 AC、BD 交于点 O，直线 AC 的表达式为 y = 8x，直线 BD 的表达式为 y =-x．
①求证：四边形 ABCD 为平行四边形；
②求 ▱ ABCD 的面积；
(2) 如图 2，四边形 ABCD 为平行四边形，AB 平行于 x 轴，求 AC、BD 的交点坐标；
(3) 如图 3，四边形 ABCD 为平行四边形，求证：AC、BD 相交于点 O．

27
(2024• 东台市一模) 如图，已知 A(-3,2)，B(n,-3) 是一次函数 y = kx + b 的图象与反比例函数 y
= m 的图象的两个交点．
x
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 求 ΔAOB 的面积；
(3) 在坐标轴上是否存在一点 P，使 ΔAOP 是等腰三角形？直接写出点 P 的坐标．

28
(2023• 泰州) 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(m,0)、B(m - a，0) (a > m > 0) 的位置和函数 y1=
m (x > 0)、y2= m - a (x < 0) 的图象如图所示．以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，AD 边与函数 y1
x x
的图象相交于点 E，CD 边与函数 y1、y2 的图象分别相交于点 G、H ，一次函数 y3 的图象经过点 E、G，与 y轴相交于点 P，连接 PH ．
(1) 若 m = 2，a = 4，求函数 y3 的表达式及 ΔPGH 的面积；
(2) 当 a、m 在满足 a > m > 0 的条件下任意变化时，ΔPGH 的面积是否变化？请说明理由；
(3) 试判断直线 PH 与 BC 边的交点是否在函数 y2 的图象上？并说明理由．

29
(2024• 盐城模拟)【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的 取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图象的角度进行探究：
(1) 建立函数模型
设一矩形的面积为 4，周长为 m，相邻的两边长为 x、y，则 xy = 4，2(x + y) = m，即 y = 4 ，y =-x + m ，那
x 2
么满足要求的 (x,y) 应该是函数 y = 4 与 y =-x + m 的图象在第 象限内的公共点坐标．
x 2
(2) 画出函数图象
①画函数 y = 4 (x > 0) 的图象；
x
②在同一直角坐标系中直接画出 y =-x 的图象，则 y =-x + m 的图象可以看成是由 y =-x 的图象向上
2
平移 个单位长度得到．

(3) 研究函数图象
平移直线 y =-x，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数 y = 4 (x > 0) 的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 ，周长 m 的
x
值为 ；

②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长
m 的取值范围．
【结论运用】
(4) 面积为 10 的矩形的周长 m 的取值范围为 ．

30
(2023• 镇江) 如图，正比例函数 y =-3x 与反比例函数 y = k (k ≠ 0) 的图象交于 A、B(1,m) 两点，
x
C 点在 x 轴负半轴上，∠ACO = 45°．
(1)m = -3 ，k = ，点 C 的坐标为 ；
(2) 点 P 在 x 轴上，若以 B、O、P 为顶点的三角形与 ΔAOC 相似，求点 P 的坐标．

31
(2023• 连云港)【问题情境 建构函数】
(1) 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB = 4，M 是 CD 的中点，AE ⊥ BM ，垂足为 E．设 BC = x，AE = y，试用含 x 的代数式表示 y．
【由数想形 新知初探】
(2) 在上述表达式中，y 与 x 成函数关系，其图象如图 2 所示．若 x 取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图 2 上补全函数图象．
【数形结合 深度探究】
(3) 在“x 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值 y 随 x 的增大而增大；②函数值 y 的取值范围是 -4 2 < y < 4 2 ；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点 A、B、C、D，使得四边形 ABCD 是平行四边形．其中正确的是 ． (写出所有正确结论的序号)
【抽象回归 拓展总结】
(4) 若将 (1) 中的“AB = 4”改成“AB = 2k”，此时 y 关于 x 的函数表达式是 ；一般地，当 k ≠ 0，x 取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质 (直接写出 3 条即可)．

32
(2024• 武进区校级模拟) 如图，在 RtΔABC 中，AC = 8，BC = 4，AC ⊥ x 轴，垂足为 C ，AB 边与 y轴交于点 D，反比例函数 y = k (x > 0)，的图象经过点 A．
x
(1) 若 BD = 1 ，求直线 AB 和反比例函数的表达式；
AB 4
(2) 若 k = 8，将 AB 边沿 AC 边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点 E，交 x 轴于点 F ，求点 E 的坐标．

33
(2024• 苏州一模) 如图，反比例函数 y = m 的图象与一次函数 y = kx + b 的图象相交于 A(3,1)，B(
x
-1,n) 两点．
(1) 求反比例函数和一次函数的关系式；
(2) 设直线 AB 交 y 轴于点 C ，点 M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形 OCNM 是平行四边形，求点 M 的坐标．
18