资源描述
1．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )
A．至多等于3 B．至多等于4
C．等于5 D．大于5
答案 B
解析 首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B.
2．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.
3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
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A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
答案 B
解析 A选项m、n也可以相交或异面，C选项也可以n⊂α，D选项也可以n∥α或n与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B.
4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 解法一：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BM∥QN，则∠ANQ即为所求，
设BC＝CA＝CC1＝2，
则AQ＝，AN＝，QN＝，
∴cos∠ANQ＝＝＝＝，故选C.
5．如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
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答案
解析 如下图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则ME∥AN，
则异面直线AN，CM所成的角即为∠EMC.由题可知CN＝1，AN＝2，
∴ME＝.又CM＝2，DN＝2，NE＝，∴CE＝，
则cos∠CME＝＝＝.
6. 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．
答案
解析 取BF的中点N，连接MN，EN，则EN∥AF，所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角．在△EMN中，当点M与点P重合时，EM⊥AF，所以当点M逐渐趋近于点Q时，直线EN与EM的夹角越来越小，此时cosθ越来越大．故当点M与点Q重合时，cosθ取最大值．设正方形的边长为4，连接EQ，NQ，在△EQN中，由余弦定理，得cos∠QEN＝＝＝－，所以cosθ的最大值为.
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点，求证：
(1)直线BC1∥平面EFPQ；
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
证明 (1)连接AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，
知AD1∥BC1，
因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图，连接AC，BD，
则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1.
而AC1⊂平面ACC1，
所以BD⊥AC1.
因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.
8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E－ABC的体积．
解 (1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1.
所以四边形FGEC1为平行四边形．
所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.
所以三棱锥E－ABC的体积
V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.
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