海南历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数.doc

海南历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数
试题
1、6．（5分）（2008海南）已知a1＞a2＞a3＞0，则使得（1﹣aix）2＜1（i=1，2，3）都成立的x取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2、10．（5分）（2008海南）由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（　　）
A． B． C． D．2ln2
3、12．（5分）（2009宁夏）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
4、4．（5分）（2010新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．
5、8．（5分）（2010新课标）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（　　）
A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}
6、11．（5分）（2010新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（　　）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
解答题
1、21．（12分）（2008海南）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
2、21．（12分）（2009宁夏）已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e﹣x．
（1）如a=b=﹣3，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（﹣∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明：β﹣α＞6．
3、24．（2009宁夏）如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和．
（1）将y表示成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？

4、21．（12分）（2010宁夏）设函数f（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．

答案
1、解：，
所以解集为，又，
故选B．
2、解：如图，面积．
故选D．

3、解：
解法一：
画出y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，
观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=2x，
当2≤x≤4时，f（x）=x+2，
当x＞4时，f（x）=10﹣x，
f（x）的最大值在x=4时取得为6，
故选B．
解法二：
由x+2﹣（10﹣x）=2x﹣8≥0，得x≥4．
0＜x≤2时2^x﹣（x+2）≤0，2x≤2+x＜10﹣x，f（x）=2x；
2＜x≤4时，x+2＜2x，x+2≤10﹣x，f（x）=x+2；
由2x+x﹣10=0得x1≈2.84
x＞x1时2x＞10﹣x，x＞4时x+2＞10﹣x，f（x）=10﹣x．
综上，f（x）=
∴f（x）max=f（4）=6．选B．

4、解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，
再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，
故应选C．
5、解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，
则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2
解得x＞4，或x＜0．
应选：B．
6、解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选C．

解答题
1、解：（Ⅰ），
于是
解得或
因a，b∈Z，故．
（Ⅱ）证明：已知函数y1=x，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而．可知，函数g（x）的图象按向量a=（1，1）平移，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为．
令x=1得，切线与直线x=1交点为．
令y=x得y=2x0﹣1，切线与直线y=x交点为（2x0﹣1，2x0﹣1）．
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值2．
2、解：（Ⅰ）当a=b=﹣3时，f（x）=（x3+3x2﹣3x﹣3）e﹣x，
故f′（x）=﹣（x3+3x2﹣3x﹣3）e﹣x+（3x2+6x﹣3）e﹣x=﹣e﹣x（x3﹣9x）=﹣x（x﹣3）（x+3）e﹣x
当x＜﹣3或0＜x＜3时，f′（x）＞0；
当﹣3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0．
从而f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，3）单调增加，在（﹣3，0），（3，+∞）单调减少；
（Ⅱ）f′（x）=﹣（x3+3x2+ax+b）e﹣x+（3x2+6x+a）e﹣x=﹣e﹣x[x3+（a﹣6）x+b﹣a]．
由条件得：f′（2）=0，即23+2（a﹣6）+b﹣a=0，故b=4﹣a，
从而f′（x）=﹣e﹣x[x3+（a﹣6）x+4﹣2a]．
因为f′（α）=f′（β）=0，
所以x3+（a﹣6）x+4﹣2a=（x﹣2）（x﹣α）（x﹣β）=（x﹣2）（x2﹣（α+β）x+αβ）．
将右边展开，与左边比较系数得，α+β=﹣2，αβ=a﹣2．
故．，
又（β﹣2）（α﹣2）＜0，即αβ﹣2（α+β）+4＜0．由此可得a＜﹣6．
于是β﹣α＞6．
3、解：（1）由题设，CO=x，CA=|10﹣x|，CB=|20﹣x|，
故y=4×|10﹣x|+6×|20﹣x|，x∈[0，30]
即y=
（2）令y≤70，
当x∈[0，10]时，由160﹣10x≤70得x≥9，故x∈[9，10]
当x∈（10，20]时，由80﹣2x≤70得x≥5，故x∈（10，20]
当x∈（20，30]时，由10x﹣160≤70得x≤23，故x∈（20，23]
综上知，x∈[9，23]
4、解：（1）a=0时，f（x）=ex﹣1﹣x，f′（x）=ex﹣1．
当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．
故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加
（II）f′（x）=ex﹣1﹣2ax
由（I）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，
从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是当x≥0时，f（x）≥0．
由ex＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．
从而当时，f′（x）＜ex﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a），
故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．
综合得a的取值范围为．

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