电子科大随机信号分析2014年随机信号分析试题A卷-评讲.doc

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电子科技大学2013-2014 学年第 2 学期期 末 考试 A 卷

题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
合计
得分

一、已知随机变量Y服从上的均匀分布。随机变量X服从上的均匀分布，试求：（共10分）
（1）； (5分)
（2）。 (5分)
解：（1）对，随机变量服从上的均匀分布，即的条件概率分布函数为：
(1分)
(2分)
所以， (2分)
（2） (5分)

（此题不要求，2016年5月25日批注）

二、两个随机信号与，其中A与B同为(0,1)贝努里随机变量，概率都为（0.5,0.5），，A、B与Θ两两统计独立，试：（共10分），
（1）求两个随机信号的互相关函数；（4分）
（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。（6分）

解：（1）
考虑到A、B与Θ两两统计独立，两个随机信号的互相关函数为：

（2）因为：

所以：

，与不正交、相关；但与在同一时刻正交、互不相关；
因为随机信号与中都有随机变量Θ，所以与不相互独立。

三、随机信号，其中是取值的伯努利随机信号，和 。
试求（共10分）：
（1）的均值；（3分）
（2）的相关函数；（4分）
（3）是否广义平稳？（3分）
解：(1)的均值：因为
所以
(2)的相关函数：

(3)的均值、相关函数都与时刻或时刻组的绝对位置有关(1分)，故非广义平稳？ (2分)

四、随机信号，其中X(t)是广义各态历经随机信号，为常数，是上均匀分布的随机变量，X(t)与相互独立，且，判断Y(t)是否均值各态历经。（ 共10分）
解： (1分)
(2分)
所以，Y(t)是广义平稳的 (2分)

又： (3分)
所以Y(t)是均值各态历经的。(2分)

五、随机信号，其中为常数，是上均匀分布的随机变量，X0可能是常数，也可能是随机变量，若X0为随机变量，它和统计独立。试：（ 共10分）
（1）求X(t)的均值、时间平均、自相关函数和时间相关函数；(6分)
（2）问X0具备什么条件时，X(t)是广义各态历经的？ (4分)

解：(1) (1分)
(2分)
(1分)
(2分)
(2)只有当X0为常数时，
均值各态历经 (1分)
相关函数各态历经 (1分)
X(t)是广义各态历经的。(2分)

六、设有一个广义平稳信号S(t)，通过线性时不变系统后的信号为X(t)，S(t)的带宽大大于系统带宽，X(t)自相关函数如图1所示，试：（共10分）

图1

(1)问输出信号是广义平稳的吗？如果是，求输出信号的均值和方差；（4分）
(2)对X(t)进行采样，如果要求相邻采样点统计独立，给出可能的采样间隔集合。（3分）
(3)给出最小采样间隔下N个连续采样点的联合密度函数。（3分）

解:(1)根据广义平稳随机信号通过线性时不变系统后，输出仍然是广义平稳随机信号的原理，得出输出信号X(t)是广义平稳的。其均值和方差为：
(2分)
(2分)
(2)宽带信号通过窄带系统后，其输出信号服从高斯分布 (1分)。同时，不相关的高斯随机变量是统计独立的。当采样间隔大于1时，相邻的两个随机变量是统计独立的， (1分)因此，其可能的采样间隔集合为： (1分)
(3)最小采样时间间隔为，N个点相互统计独立 (1分)，因此其联合密度函数为：
(2分)

七、若平稳随机过程X(t)的自相关函数为，若将X(t)加到如图2所示的RC电路上，试求：（共10分）
（1）输出信号Y(t)的功率谱密度； (5分)
（2）的功率谱密度。 (5分)

图2

解1：（1）系统的冲激响应h(t)，
则系统的频响为
系统的功率传输函数为 。 (1分)
X(t)的功率谱密度为：
(1分)
则输出Y(t)的功率谱密度为

（2） (1分)

(1分)
(3分)

解2：因为X(t)是平稳的，则Y(t)也是平稳的，且两者联合平稳，依题

八、设确定信号S(t)如图3所示，试：（共10分）
（1）画出相应匹配滤波器的冲激响应，并给出最佳抽样时刻； (5分)
（2）假设背景噪声是功率谱为N0/2的白噪声，求最佳抽样时刻匹配滤波器的输出信噪比。(5分)

图3
解：
（1）取t0=T (2分)，c为任意非零常数（不妨取1），则相应的匹配滤波器冲击响应如下所示。
(3分)
（2）根据根据 ，
则 (3分)

九、同步检波器如图4所示，输入为窄带平稳噪声，它的自相关函数为
，
若另一输入，其中为常数，服从上的均匀分布，且与独立。理想低通滤波器的截止频率为。求检波器输出的功率谱和平均功率。（共10分）

图4
解：首先，， (2分)。
又 (1分)，以及，
(2分)
于是：
(2分)
经过低通滤波器后，有， (1分)
于是, (1分)
所以的平均功率为： (1分)

十、若零均值平稳窄高斯随机信号的功率谱密度如图5所示，试：（共10分）
（1）求的两个正交分量的功率谱；(3分)
（2）写出此随机信号的一维概率密度函数；(3分)
（3）写出的两个正交分量的二维联合概率密度函数。(4分)

图5

解： （1）

（2）基于功率谱计算功率得：

由题意， ，所以的一维概率密度函数为：

（3）与有相同的均值和方差，且同为高斯信号；又因为的功率谱关于中心频率偶对称，所以有，即，所以处处正交、互不相关和独立，于是：
)
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