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高次方程及解法
江苏省通州高级中学 徐嘉伟
一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、 1判根法
在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。求出方程的1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。“1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1 解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0
解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),
(x4+2x3-9x2-2x+8)(x-1)= x3+3x2-6x-8
观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因式（x+1）， （x3+3x2-6x-8） (x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, 原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4
点拨提醒：在运用“1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
二、常数项约数求根法
根据定理:“如果整系数多项式anxn＋an-1xn-1++a1x+a0可分解出因式px-q,即方程anxn＋an-1xn-1++a1x+a0=0有有理数根（Ｐ、Q 是互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数an 的约数，Q一定是常数项 a0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。
“常数项约数求根法”分为两种类型：
第一种类型：首项系数为1。对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。
例1 解方程x4+2x3-4x2-5x-6=0
解：第一步：首先列出“常数项”-6的所有约数1、2、3、6
第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除1根， f(2)=16+16-16-10-6=0 f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（x-2）（x+3）
第三步：用长除法将原方程降次。（x4+2x3-4x2-5x-6）(x-2) (x+3)= x2+x+1
第四步：解一元二次方程x2+x+1=0
x==
x1= x2= x3=2 x4= -3
第二种类型，首项系数不为1 。对首项系数不为１的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是而不是Ｑ，因为此时原方程的因式是（Ｐx－Ｑ），其余的解法步骤同首项系数为１的解法步骤相同。
例２　解方程３x3-２x2＋９x -6＝０
解：将原方程化为 ３（x3-x2＋３x -２）＝０ 此时，“常数项”为-2，它的约数为 1， ，根据“1判根法”排除1，这时，代人原方程验算的只能是=，或= -
f()=3=30=0
所以原方程中有因式（3 x-2）。
（3x3-２x2＋９x -6）(3x -2)= x2+3
解方程式x2+3=0 x=， x1=　，x2=-
原方程的解为x1=　，x2= ，x3=
三、倒数方程求根法
1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中，或者a= -e,b= -d
2、性质：倒数方程有三条重要性质：
（1）倒数方程没有零根；
（2）如果a是方程的根，则也是方程的根；
（3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。
3、倒数方程求解方法：
如果a x4+bx3+cx2+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x0,所以，方程两边同除以x2得：a(x2+)+b(x+)+e=0,令x+=y, x2+=y2-2,即原方程变为：
ay2+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+=y，解得x的值。
例1 解方程2 x4+3x3-16x2+3x+2=0
解： x2 0 方程两边同除以 x2 得：2x2+3x-16++=0,即2（x2+）+3（x+）-16=0, 2[（x+）-2]+3（x+）-16=0, 令x+=y, 代入方程整理得：2y2+3y-20=0, 解之得：y1= -4, y2= 即x+= -4, x2+1= -4x, x2+4x+1=0, x=====-2,
x1= -2+, x2= -2 -
又 x+= 2x2+2=5x, 2x2-5x+2=0 (2x-1)(x-2)=0 x3=, x4=2
经检验知x1= -2+, x2= -2-，x3=, x4=2都是原方程的根。
例2 解方程6x5 - 4 x4 -3x3+3x2 -4x -6=0
解：观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，有根x=1,方程两边同除以因式（x-1）得：
6x4+10x3+7x2+10x+6=0， 方程两边同除以x2并整理得：6+10, 令y=得
方程x+无实数解：得：x
经检验知：是原方程的实数根。
点评讲析：例1、例2这些倒数方程的特征是首尾等距离对应项系数相等，用一般表达式表述为ax4+bx3+cx2+dx+e=0,其中a=e,b=d,或者a= -e,b= -d对首尾对应项系数相等的方程，我们一眼就能发现是“倒数方程”，两边同除以x2,化成可用“换元法”替解的一元二次方程求解。但有些方程，首尾等距离对应项系数不相等，但这些系数又有这样的规律：如ax4+bx3+cx2+k(a)即常数项可以分解成同四次项系数相同的数字“a”和另一个因数“k2”的乘积，一次项系数可分解出同三次项系数相同的数字b和与常数项相同的数字k的乘积，凡是具有这样规律特征的方程，也可以用“倒数方程求根法”来解答。
例3：x4+5x3+2x2+20x+16=0
解： ， d=20=4
属于倒数方程的“特例形式”，可用“倒数方程求根法”求解。原方程两边同除以x2 得： x2+5x+2+，
设y=x+,则
即：y2+5y-6=0 y= -6或1,当y= -6时，x+
当 y=1时，x+(无实数根) ,
四、双二次方程及推广形式求根法
双二次方程有四种形式：
第一种是标准式，如：ax4+bx2+c=0 ,此时设y=x2 原方程化为含y的一元二次方程ay2+by+c=0，求出y值在代入x2之值，从而求出x之值。
第二种形式双二次方程的推广形式。
如：（ax2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0 ,此时设y=(ax2+bx+c),也可转化为含y的一元二次方程y2+my+d=0,解出y值代入ax2+bx+c=y
从而求出原方程的根x之值。
第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时，方程左边按照“创造相同的多项式，换元替换”的要求，将（x+a）(x+c); (x+b)(x+d)结合（一般是最小数与最大数，中间数与中间数组合），展开相乘，创造相同的多项式（ax2+bx+c）或成比例的多项式m(ax2+bx+c),然后设y=ax2+bx+c,将原方程转化为含y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值，将y值代入ax2+bx+c=y求x之值。
第四种形式是（x-a）4+(x-b) 4=c的形式，此时，将“-a”换成“+b”或将“-b”换成“+a”，利用y=x+,消去x的三次项和一次项，变成双二次方程+的形式求解。
例1 解方程x4+3x2-10=0
解：本例属于双二次方程标准式ax4+bx2+c=0的形式，直接设y=x2,则原方程化为：y2+3y-10=0 (y+5)(y+2)=0 y= -5或者y=2 (舍去)，x2=2,x1=，
例2 解方程（x2-3x+2）2=9x-3x2-2
解：本例属于双二次标准方程ax4+bx2+c=0推广形式的第二种类型（ax2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0，因为括号内的二次三项式和括号外的二次三项式经过整理，对应项系数成比例，即：(x2-3x+2)2+3(x2-3x+2)-4=0设y=x2-3x+2,则原方程转化为y2 +3y -4=0 ，或者 y=1 x2-3x+2=-4 ,x2-3x+6=0 无实数根, x2-3x+2=1,x2-3x+1=0 x= 原方程的根x1= x2=
例3 解方程(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x2
解：本例题属于双二次标准方程ax4+bx2+c=0推广形式的第三种类型（x+a）(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,这种方程解答的核心要领是“创造可供设y换元的相同多项式”。根据这个要求，只有将（x+2）(x+12)和(x+3)(x+8)组合（最小数2和最大数8组合，中间数3和8结合），才能创造出“相同”的多项式“x2+24”,即，设则原方程转化为(y+14x)(y+11x)=4x2, y2+25xy+150x2=0, (y+10x)(y+15x)=0 y+10x=0或y+15x=0, y+10x+24=0或y+15x+24=0, x2+10x+24=0, x1=-4 x2=-6; x2+15x+24=0, ,
例4 解方程(x-6)4+(x-8)4=16
解：本题属于双二次标准方程ax4+bx2+c=0推广形式的第四种类型（x-a）4+(x-b)4=c的形式。
(x-6)4+(x-8)4=(x-7+1)4+(x-7-1)4,设y=x-7则原方程转化为: , (y4+4y2+1+4y3+2y2+4y)+(y4+4y2+1-4y3+2y2-4y)=16 y4+6y-7=0 ,, y2=-7 或y2=1,y2=-7无解；y2=1, y= x-7= x1=8 x2=6 原 方程有根x1=8 x2=6
点拨提醒：凡是(x+a)4+(x+b)4=c 类型，设 ,将双二次方程(x+a)4+(x+b)4=c转化为+ 利用 ，消去x的三次项和一次项，变为含y的双二次方程ay4+by2+c=0 求解