物体运动的描述.doc

第一章 第一章 物体运动的描述
§1-1 描述质点运动状态的物理量
【基本内容】
一、位置矢量
1、 1、       质点 如果物体的大小和形状对所研究的问题没有影响，则可将物体看成一个具有质量的点。
2、 2、       参照系 为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参照系。
3、 3、       位置矢量 如图1.1所示，从坐标原点O到运动质点P的有向线段称为质点P的位置矢量。

运动方程 质点的位置矢量与时间的函数关系。

轨迹方程 运动方程消去时间参量后，各坐标间的关系式，即由消去t得轨迹方程f（x，y，）=0。
二、位移矢量
设t时刻，质点处于P点，位置矢量为。经时间Δt后于t+Δt时刻运动到P/点，位置矢量为，则从初位置P到未位置P/的有向线段：

叫质点在时间内的位移，如图1.2。它描述质点位置的变化。
说明：（1）与的区别
——位移的大小，——位矢长度的改变量。
（2）位移与路程的区别
路程表示质点在时间内越过的轨迹，即曲线的长度。是矢量，是标量，且
当时，,但
三、速度
1、平均速度
定义：质点在时间内的位移与时间的比值，叫质点的平均速度：

其方向与的方向相同，如图1.3。
平均速率：质点在时间内的位移与时间的比值，叫质点的平均速率：

2、速度
定义：时的平均速度。

方向：沿轨迹切线且指向质点前进的方向。
一般，但
在直角坐系下的表示

四、加速度
1、平均加速度
设t时刻，质点的速度为。经时间Δt后于t+Δt时刻质点的速度为，则质点的速度增量与时间间隔Δt的比值，叫质点的平均加速度。

2、加速度
定义：时的平均加速度。

大小：，方向：是时，的方向，指向曲线凹侧。
在直角坐标系下的表示

大小：
方向：与X轴的夹角
【典型例题】
【例1-1】一质点的运动方程为，求：
（1） （1）                     轨道方程并画出其轨道；
（2） （2）                     及时质点的速度和加速度；
（3） （3）                     第2秒内质点的平均速度；
（4） （4）                     何时质点离坐标原点最近？并求出这个距离。
【解】（1）运动方程的分量形式为

消去时间后可得轨迹方程

由于，所以不能取负值。轨道如题解例1-1图所示。
（2）由速度的公式：

代入和，其速度分别为和
由加速度的公式：

（3）第2秒内的位移：

平均速度：

（3） （3）             质点离原点距离：

令可解出
（舍去）

故在时质点离原点最近：
【讨论】（1）作图时，应在图上标明特殊位置的坐标值。如本题标明图线与横坐标和纵坐标的交点值。
（2）表示质点的径向速度为0，它实际上是速度由正变负（或者由负变正）的转折值，因此此时所对应的值应该是局部最大或最小。在数学中，为确定是极大值还是极小值，需进一步求二阶导数。此题中，已经确定必无极大值，故将“驻点”代入比较就可求出极小值。
【分类习题】
【1-1】 对于质点，下列表述正确的是 ：
（1） （1）                     加速度恒定不变时，运动方向不变。
（2） （2）                     平均速度的大小等于平均速率。
（3） （3）                     平均速率表达式可写我为（分别表示始末时刻的速率）。
（4） （4）                     速度不变时，速率不变。
【1-2】一人自原点出发，内向东走，又内向南走，再内向正西北走。求在这内：
（1） （1）                     平均速度的的大小和方向
（2） （2）                     平均速率。
【1-3】 一质点的位置矢量为（为常量）。则该质点作
（填匀速、变速） （填直线、曲线）运动。
【1-4】 质点运动方程为，求
（1） （1）                     此质点的轨迹方程；
（2）时刻质点的速度和加速度。
【1-5】在质点运动中，已知。求质点的加速度和它的轨道方程。
§1-2、直线运动
【基本内容】
一、直线运动的分类
=0 匀速直线运动
a与v同向——匀加速直线运动
a =c 匀变速直线运动
a与v反向——匀减速直线运动
≠c 非匀变速直线运动
二、运动图线
表示质点在运动过程中，位置、速度随时间的变化关系。
1、位置——时间图线（x—t图）
速度：由曲线的斜率表示。
平均速度：由曲线中相应割线的斜率表示。
2、速度——时间图线（v—t图）
由v—t图求a：由曲线的斜率求出。
由v—t图求位移：v—t图线与t1、t2两纵坐标之间的面积。
【典型例题】
【例1-2】 有一小球沿斜面向上滚动，小球离开初位置向上滚动的距离与时间的关系为，求：
（1） （1）                     初速度；
（2） （2）                     小球何时开始下滚；
（3） （3）                     在内的位移和路程。
【解】 （1）由
代入得小球的初速度为
（2）小球开始返回时，即运动方向的转折点，对应速度为0，故

即
所以小球开始下滚的时间为
（3）内的位移
由于在时速度方向改变，因此内的路程应为和两段时间内位移大小之和：

小结：本题中，速度表示速度方向的转折点，从而求得了小球返回处的时间。
【例1-3】 一质点在轴上作加速运动，开始时。
（1），求任意时刻的速度和位置，其中均为常量；
（2），求任意时刻的速度和位置，其中均为常量；
（3），求任意位置的速度其中均为常量。
【解】（1）由加速度的定义式得
两边积分，并代入初始条件得：

由速度的定义式得：

两边积分，并代入初始条件得：

（2） （2）                     由可得
两边积分：
，可得
再由可得
两边积分：

（3）由于，于是

两边积分有：,
故
【讨论】（1）由于是一维运动，不必写出矢量形式，因为可以视直线运动为复杂运动中的一个分运动。
（2）常见错误：不管加速度的形式，盲目使用中学的匀变速直线运动的三个公式。
综合上面两例题：运动学的习题有两种基本类型：（1）已知运动方程，求速度、加速度、位移及轨迹方程；（2）已知加速度，求速度、运动方程。前者用微分法，后者用积分法。注意积分时应正确运用初始条件。
【例1-4】在离水面高为的岸边上，有人以匀速0拉船靠岸（例1-4图）。求船距岸边处时，船的速度和加速度。
【解】以为坐标原点，指向船的方向为轴正方向建立坐标系。由勾股定理有

两边对时间求导，得

明显，船速，绳子速率，故

式中负号表示船的速度方向与方向相反。
加速度

【讨论】这类题看似无从下手，但某时刻三边构成明显的几何关系（本题是勾股定理），对等式两边求导就求出了速度间的关系，于是，路子就通了。
说明：对一边求导时，要求只有一端运动，另一端静止，此时求导所对应的速度才为移动端的速度。
【分类习题】
【1-6】一小球沿斜面向上运动，其运动方程为，则 时小球达到最高点。
【1-7】一质点运动方程为，求由至内，质点位移和所经历的路程。
【1-8】 两车与同时出发，沿直线作同向运动，其行使距离随时间变化关系分别为和。则刚出发时运动在前的是 ；出发后， 时两车行驶相同的距离；出发后， 时两车等速。
【1-9】 一质点作直线运动，其运动规律为(为常量），当时，求时刻的速度。
【1-10】 一质点沿轴运动，其加速度与时间的关系为，如质点的初速度为，求时质点的速度。
【1-11】一质点沿轴运动，其图如（图1-11）所示。如时质点位于原点，则时质点在轴上的位置。
【1-12】 一质点沿直线运动，其图如图1-12。则该质点第 秒的瞬时速度为0，第 秒至 之间速度与加速度同向。（提示：分析曲线切线斜率的增量）。
【1-13】 灯距地的高度为，身高为的人在灯下以匀速沿水平直线行走（图1-13），求他头顶影子点沿地面移动的速度。
提示：建立坐标系，找出点所遵守的几何关系，再由速度的定义通过求导而得
【1-14】 距河岸（看成直线）处有一艘静止的船，船上的探照灯以匀角速度旋转照射河岸，求当光束与岸边成角时，光沿岸边移动的速度。
§1-3 曲线运动
【基本内容】
一、曲线运动
1、自然坐标系
研究曲线运动时，把坐标原点取在运动质点上，该点处的切线与法线构成正交坐标轴，如图1.4。
切线坐标轴正方向：规定为质点前进的方向，其单位矢量为。
法线坐标轴正方向：规定为指向曲线凹侧的方向，其单位矢量为。
显然：和是随时间变化的。
2、位置的自然坐标表示
设质点沿曲线L运动，t=0时，位于P0点，t时刻位于P点。则在时间t内，质点运动的路程（弧长）能确定质点的位置

3、速度的自然坐标表示

4、加速度的自然坐标表示

其中：切向加速度反映速度大小的变化。
法向加速度反映速度方向的变化。
大小：
方向：与夹角：
二、圆周运动的角量描述
如图1.5，质点在O-XY平面内作圆周运动。质点的运动状态可以用线量描述，也可用另一类物理量（角量）描述。
1、角位置θ——确定运动质点的位置
θ的正负：逆时针转动时为正，顺时针转动时为负。
单位：弧度（rad）
2、角位移Δθ——描述质点位置的变化

Δθ的正负：与θ规定一致。
3、角速度——描述质点转动的快慢
大小：
方向：由右手定则确定
单位：rad/s或1/s
4、角加速度β——描述质点角速度变化的快慢
大小：
方向：作加速转动时，与同方向；作减速转动时，与反向。
单位：rad/s2或1/s2
三、角量与线量的关系
1、Δθ与Δs的关系，如图1.6

2、与的关系

3、β与a关系

四、刚体的运动
1、平动
刚体平动的特征：刚体中的任一条直线，在刚体运动过程中始终保持平行。
刚体平动的研究方法：刚体作平动时，刚体各质点的运动情况相同，视为质点处理。
2、定轴转动
刚体转动的特征：刚体上各点都绕同一固定的直线作半径不同的圆周运动，该直线称为刚体的转轴。
描述刚体转动的物理量
角位移 角速度 角加速度
刚体匀变速转动公式

【典型题例】
【例1-5】质点作半径为R的圆周运动，其运动方程为，ｂ、ｃ均为大于０的常数，求其切向加速度和法向加速度。
【解】由速度定义式，得

切向加速度为

法向加速度为

【讨论】 对于圆周运动，无论求切向加速度还是法向加速度，应首先速率的表达式。
【例1-6】 热气球在无风时以速度从地面匀速上升。但由于风的影响，随着高度的增加，气球的水平速度按的规律增大（为大于0的常数），求任一时刻气球的切向加速度、法向加速度和轨道的曲率分别与气球高度的关系。
【解】由题意：
可知
又
所以在任一时刻（高度），加速度的大小为，方向沿轴，与高度无关。
任一时刻气球的速度大小为

由此可求出切向加速度为：

将代入上式，可得与高度的关系：

而法向加速度可由式求出：

再由，可得轨道曲率半径为

【讨论】 对于一般曲线运动，写出速率的表达式，就可以方便地求出切向加速度。但是，在求法向加速度时，因为曲率半径的数学计算比较复杂，一般不按定义式来求，而是根据总加速度、法向加速度和切向加速度的关系进行计算。
【例1-7】质点作半径为Ｒ的圆周运动，其角运动方程为，求质点的法向加速度和角加速度。
【解】 角速度：
角加速度：
法向加速度：
【例1-8】一质点从静止开始作半径为１米的圆周运动。且，求其角速度和切向加速度。
【解】由角加速度的定义：

切向加速度：
【讨论】 综合【例1-7】和【例1-8】两例题，由求求用微分；反之，由求求用积分，积分时，要求正确运用初始条件。
注意：对于圆周运动，由于角量的方向均在一直线 (转轴) 上，因此，求角量间的关系时不必用矢量形式。
【分类习题】
【1-15】 质点作变速圆周运动，已知圆周半径为，时刻质点速率为。求时刻其加速度的大小。
【1-16】以初速度，抛射角斜抛一物体，求其轨道最高点处的曲率半径。
【1-17】质点作半径为的圆周运动，其路程（为大于0的常数，且）。则时刻质点的切向加速度大小 ，法向加速度的大小 ；当 时。
【1-18】 半径为20cm的主动轮与半径为50cm的从动轮，用无相对滑动的皮带连接。主动轮从静止开始作匀角加速转动，在内从动轮角速度达。求在这内主动轮转过多少圈。
【1-19】 飞轮作匀角减速转动，角速度在内由减少到。飞轮在这内共转过 圈，再经过 时间才停止转动。
【1-20】 一质点作半径为的圆周运动，角位移。求时其法向加速度大小和切向加速度大小。
【1-21】 一质点以绕轴转动，此质点某时刻的位置矢量。求该时刻质点的速度。
提示：利用角量与线量间的矢量关系。
§1-4相对运动
【基本内容】
一、位矢相对性
质点在Ｓ系的位矢，等于质点在Ｓ／中的位矢与Ｓ／系的坐标原点相对于Ｓ系的位矢的矢量和。如图1.7：

二、速度的相对性
质点相对于Ｓ系的速度，等于质点相对于Ｓ／的速度与Ｓ／系相对于Ｓ系的速度的矢量和。

三、加速度的相对性
质点相对于Ｓ系的速度，等于质点相对于Ｓ／的速度与Ｓ／系相对于Ｓ系的速度的矢量和。

若Ｓ／系相对于Ｓ系作匀速运动，则在相对作匀速运动的参照系中，观察同一质点的运动，其加速度相同。

【典型题例】
【例1-9】 宽为的大江，江水由北向南流动。江中心水流速为，两岸水流速为0，江中任一点处的流速与江中心流速之差和江中心到该点的距离的平方成正比。今有汽船以速度由西岸出发，向东偏北航行，求其航线轨迹方程及到达东岸的地点。
【解】 建立图示坐标系
（1） （1）            汽船相对于水的速度：

（2） （2）            水的流速：
由题意知：
而：或时，代入上式可求出：

所以，
（3） （3）            汽船相对于岸的速度

即

消去时间参量得

此即航线轨迹方程。
到达东岸时，代入有

【步骤】由于相对运动，直接面对矢量加减，首先应根据题意作出矢量图，再按此图求解各矢量间的关系。
【分类习题】
【1-22】 某人骑自行车以速率向西行驶，今有风以相同速率从北偏东300方向吹来，此人感到风由 方向以速率 吹来。
【1-23】 对地的速度为，对地的速度为。求对的速度。
【1-24】 水流的速率为，小船对水的速度大小为，与水流夹角为。则小船对岸边的速率为 ，与岸边夹角为 。
【1-25】一飞机由处向北飞到处，然后又向南飞回到处。飞机相对于空气的速率为，而空气相对于地面以速率由东向西运动。、间的距离为。求飞机来回飞行的时间。