资源描述
1．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2
C. D.
答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a，所以M(2a，a)．将点M的坐标代入双曲线方程－＝1，得a＝b，所以e＝.故选D.
2.若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
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A．11 B．9
C．5 D．3
答案 B
解析 解法一：依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2×3＝6，所以|PF2|＝6＋3＝9，故选B.
解法二：根据双曲线的定义，得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|－3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)，故选B.
3．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )
A．对任意的a，b，e1>e2
B．当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2
C．对任意的a，b，e1<e2
D．当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2
答案 D
解析 依题意，e1＝＝，e2＝＝.因为－＝＝，由于m>0，a>0，b>0，且a≠b，所以当a>b时，0<<1,0<<1，<，2<2，所以e1<e2；当a<b时，>1，>1，而>，所以2>2，所以e1>e2.所以当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2，故选D.
4．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．2
C．6 D．4
答案 D
解析 由双曲线的标准方程x2－＝1得，右焦点F(2,0)，两条渐近线方程为y＝±x，直线AB：x＝2，所以不妨取A(2，2)，B(2，－2)，则|AB|＝4，选D.
5.已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
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A. B．3
C.m D．3m
答案 A
解析 由题意，可得双曲线C为－＝1，则双曲线的半焦距c＝.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为y＝± x，即x±y＝0.所以由点到直线的距离公式得d＝＝.故选A.
6．若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
答案 A
解析 因为0<k<9，所以方程－＝1与－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线．双曲线－＝1中，其实轴长为10，虚轴长为2，焦距为2＝2；双曲线－＝1中，其实轴长为2，虚轴长为6，焦距为2＝2.因此两曲线的焦距相等，故选A.
7．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案 A
解析 由题意，知椭圆C1的离心率e1＝，
双曲线C2的离心率为e2＝.
因为e1·e2＝，所以＝，
即＝，
整理可得a＝b.
又双曲线C2的渐近线方程为bx±ay＝0，
所以bx±by＝0，即x±y＝0.
8.设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
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A. B.
C. D．3
答案 B
解析 根据双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝2a，可得|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2.而由已知可得|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝9b2，两式作差可得－4|PF1||PF2|＝4a2－9b2.又|PF1||PF2|＝ab，所以有4a2＋9ab－9b2＝0，即(4a－3b)(a＋3b)＝0，得4a＝3b，平方得16a2＝9b2，即16a2＝9(c2－a2)，即25a2＝9c2，＝，所以e＝，故选B.
9．点P在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长之比为3∶4∶5.则双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±2x B．y＝±4x
C．y＝±2x D．y＝±2x
答案 D
解析 设△F1PF2的三条边长为|PF1|＝3m，|PF2|＝4m，|F1F2|＝5m，m>0，则2a＝|PF2|－|PF1|＝m,2c＝|F1F2|＝5m，所以b＝m，所以＝＝2，所以双曲线的渐近线方程是y＝±2x.
10．设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线于A、B、C、D四点，则|F1A|＋|F1B|＋|F1C|＋|F1D|＝( )
A．4 B．2
C. D.
答案 A
解析 依题意，设题中的双曲线方程是x2－y2＝1，不妨设点A、B、C、D依次位于第一、二、三、四象限，则有
，由此解得|AF1|＝＋1，|AF2|＝－1，同理|DF1|＝|AF1|＝＋1，|CF1|＝|BF1|＝|AF2|＝－1，|AF1|＋|BF1|＋|CF1|＋|DF1|＝4，选A.
11．已知点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为( )
A．4 B.
C．2 D.
答案 C
解析
12．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
答案
解析 由已知不妨设F(－c,0)，虚轴的一个端点为B(0，b)，B恰为线段PF的中点，故P(c,2b)，代入双曲线方程，由－＝1得＝5，即e2＝5，又e>1，故e＝.
13．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.
答案
解析 因为双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为y＝－x，即y＝±x，所以＝，故a＝.
14．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
答案
解析 由得A，
由得B，
则线段AB的中点为M.
由题意得PM⊥AB，∴kPM＝－3，得a2＝4b2＝4c2－4a2，故e2＝，∴e＝.
15．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
答案
解析 不妨设点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
又因为|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
因为|PF1|>|PF2|，所以∠PF1F2为最小内角，因此∠PF1F2＝30°，在△PF1F2中，由余弦定理可知，|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos30°，即4a2＝16a2＋4c2－8ac，所以c2－2ac＋3a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e＋3＝0，解得e＝.
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．
答案
解析 设∠F1PF2＝θ，
由得
由余弦定理得cosθ＝＝－e2.
∵θ∈(0，π]，∴cosθ∈[－1,1)，－1≤－e2<1，又e>1，∴1<e≤.
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