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第二章函数、导数及其应用
第一节函数及其表示
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应
关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
1．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
答案：D
2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案：B
3．函数f(x)＝的定义域是________________．
答案：
1．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________.
解析：若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；
若a<0，则＋1＝2，得a＝－1.
答案：±1
2．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.
解析：令t＝，∴x＝.∴f(t)＝＋.
∴f(x)＝(x≠0)．
答案：(x≠0)
1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪
B．
C．，则函数g(x)＝的定义域是( )
A． B．
C．(1,2 017] D．
解析：选B 令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为，可知1≤t≤2 017.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2 017，解得0≤x≤2 016，故函数f(x＋1)的定义域为．所以使函数g(x)有意义的条件是解得0≤x<1或1＜x≤2 016.故函数g(x)的定义域为．
4．函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的定义域为____________________．
解析：由⇒⇒0＜x≤2，
故所求函数的定义域为(0,2]．
答案：(0,2]
函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为，则f(x)的定义域为g(x)在x∈时的值域．
(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
解：(1)(配凑法)由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
(2)(换元法)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，
又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x>1.
(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
∴f(x)的解析式是f(x)＝.
求函数解析式的4种方法
1．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：法一：(换元法)设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
法二：(配凑法)∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1，＋1≥1，
即f(x)＝x2－1，x≥1.
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，解得c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．
常见的命题角度有：
(1)分段函数的函数求值问题；
(2)分段函数的自变量求值问题；
(3)分段函数与方程、不等式问题．
角度一：分段函数的函数求值问题
1．(2017·西安质检)已知函数f(x)＝则f的值是________．
解析：由题意可得f＝log2＝－2，
∴f＝f(－2)＝3－2＋1＝.
答案：
角度二：分段函数的自变量求值问题
2．已知f(x)＝，若f(a)＝，则a＝________.
解析：若a≥0，由f(a)＝得，a＝，
解得a＝；
若a<0，则|sin a|＝，a∈，
解得a＝－.综上可知，a＝或－.
答案：或－
角度三：分段函数与方程、不等式问题
3．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，
若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，
解得－1<a<3.
答案：(－1,3)
1．分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
1．(2017·唐山统考)已知函数f(x)＝且f(a)＝－2，则f(7－a)＝( )
A．－log37 B．－
C．－ D．－
解析：选D 当a≤0时，2a－2＝－2无解；当a>0时，由－log3a＝－2，解得a＝9，所以f(7－a)＝f(－2)＝2－2－2＝－.
2．(2015·山东高考)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．
C. D． B．(0,1]
C． D．．
∴原函数的定义域为(0,1]．
4．已知函数y＝f(x)的定义域是，则函数g(x)＝的定义域是( )
A.∪ B． D．
解析：选B 由可得0≤x<1，选B.
5．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①y＝x－；②y＝x＋；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
解析：选B 对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
6．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
解析：∵g(1)＝3，f(3)＝1，
∴f(g(1))＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．
当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．
答案：1 2
7．已知函数f(x)＝若f(1)＝，则f(3)＝________.
解析：由f(1)＝，可得a＝，
所以f(3)＝2＝.
答案：
8．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为，
∴x∈，x2－1∈，
∴y＝f(x)的定义域为．
答案：
9．已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g(x)的解析式为________．
解析：设点M(x，y)为函数y＝g(x)图象上的任意一点，点M′(x′，y′)是点M关于直线x＝2的对称点，则
又y′＝2x′＋1，
∴y＝2(4－x)＋1＝9－2x，
即g(x)＝9－2x.
答案：g(x)＝9－2x
10．如图，已知A(n，－2)，B(1,4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)求△AOC的面积．
解：(1)因为B(1,4)在反比例函数y＝上，所以m＝4，
又因为A(n，－2)在反比例函数y＝＝的图象上，所以n＝－2，
又因为A(－2，－2)，B(1,4)是一次函数y＝kx＋b上的点，联立方程组解得
所以y＝，y＝2x＋2.
(2)因为y＝2x＋2，令x＝0，得y＝2，所以C(0,2)，所以△AOC的面积为：S＝×2×2＝2.
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1．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为( )
A．－ B．－
C．－或－ D.或－
解析：选B 当a>0时，1－a<1,1＋a>1.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－，所以a的值为－，故选B.
2．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f＋f＝2成立，则f＋f＋…＋f＝________.
解析：由f＋f＝2，
得f＋f＝2，
f＋f＝2，
f＋f＝2，
又f＝＝×2＝1，
∴f＋f＋…＋f＝2×3＋1＝7.
答案：7
3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的
车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，
所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，
得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．
第二节函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为函数y＝f(x)的最大值
M为函数y＝f(x)的最小值
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
答案：B
2．y＝x2－6x＋5的单调减区间为________．
解析：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，表示开口向上，对称轴为x＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]．
答案：(－∞，3]
3．若函数f(x)＝在区间上的最大值与最小值的和为，则a＝________.
解析：由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵⊆(0，＋∞)，
∴f(x)＝在上也是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，
∴＋＝，∴a＝4.
答案：4
1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.
3．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
1．设定义在上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．
答案：，
2．函数f(x)＝在上的最大值与最小值之差为________．
解析：易知f(x)在上是减函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－－(－2)＝.
答案：
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：选C 当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解：法一(定义法)：
设－1<x1<x2<1，f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，
由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递增．
法二(导数法)：
f′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上递增．
3．判断函数y＝在(－1，＋∞)上的单调性．
解：法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，
则y1－y2＝－
＝.
∵x1>－1，x2>－1，
∴x1＋1>0，x2＋1>0，
又x1<x2，∴x2－x1>0，
∴>0，即y1－y2>0.
∴y1>y2，
∴函数y＝在(－1，＋∞)上单调递减．
法二：y＝＝1＋.
∵y＝x＋1在(－1，＋∞)上是增函数，
∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数，
∴y＝1＋在(－1，＋∞)上是减函数．
即函数y＝在(－1，＋∞)上单调递减．
判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤
(1)定义法，其基本步骤：
取值
(2)导数法，其基本步骤：
求下列函数的单调区间：
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；
(2)y＝log (x2－3x＋2)．
解：(1)由于y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和，单调递减区间为和
确定函数的单调区间的3种方法
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B.
C．
高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．
常见的命题角度有：
(1)求函数的值域或最值；
(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；
(3)解函数不等式；
(4)利用单调性求参数的取值范围或值．
角度一：求函数的值域或最值
1．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.
故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小
2．(2017·哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：选D 因f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.由x2>x1>1时，(x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<<e，∴f(2)>f>f(e)，
∴b>a>c.
角度三：解函数不等式
3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C 由f(x)为R上的减函数且f<f(1)，得即
∴－1<x<0或0<x<1.故选C.
角度四：利用单调性求参数的取值范围或值
4．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：要使函数f(x)在R上单调递增，
则有即
解得2<a≤3，
即实数a的取值范围是(2,3]．
答案：(2,3]
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)求函数最值(五种常用方法)
方法
步骤
单调性法
先确定函数的单调性，再由单调性求最值
图象法
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等式法
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
导数法
先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
(2)比较大小
比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(3)解不等式
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数
视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
①若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
1．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，－1]
C．
解析：选A 法一：由一次函数的图象可知选A.
法二：设∀x1，x2∈R且x1<x2，
∵f(x)＝kx＋b在R上是增函数，
∴(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，即k(x1－x2)2>0，
∵(x1－x2)2>0，∴k>0，故选A.
3．(2017·北京东城期中)已知函数y＝，那么( )
A．函数的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)
B．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．函数的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)
D．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析：选A 函数y＝可看作是由y＝向右平移1个单位长度得到的，∵y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y＝的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A.
4．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
解析：令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，结合图象知，当t＝，即x＝时，ymax＝.
答案：
5．函数f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间为________．
解析：由x2－4>0得x<－2或x>2.又u＝x2－4在(－∞，－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝logu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1] B． D．∪上单调递减，在 B.
C. D．(0,2]
解析：选C 因为loga＝－log2 a，且f(x)是偶函数，所以f(log2a)＋f(loga)＝2f(log2a)＝2f(|log2a|)≤2f(1)，即f(|log2a|)≤f(1)，又函数在的最大值等于( )
A．－1 B．1
C．6 D．12
解析：选C 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1<x≤2时，f(x)＝x3－2.
∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
4．已知函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B.
C．(0,2) D.
解析：选B 因为函数为递减函数，则
解得a≤，故选B.
5．(2017·安徽皖江名校联考)定义在上的函数f(x)满足(x1－x2)>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A．>0，x1≠x2，∴函数在上单调递增，∴
∴∴0≤a<1，故选C.
6．函数f(x)＝在区间上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
解析：易知f(x)在上为减函数，
∴即∴
∴a＋b＝6.
答案：6
7．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．
解析：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知，函数在(－∞，a]和上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪∪上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在上的最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m<矛盾；当0<a<1时，函数f(x)在上的最小值为a2＝m，最大值为a－1＝4，解得a＝，m＝.所以a＝.
答案：
9．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x1<x2<－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)任设1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.
综上所述知a的取值范围是(0,1]．
10．已知函数f(x)＝a－.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，
设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0，
f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝2x＋，
则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．
任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，
h(x1)－h(x2)＝(x1－x2).
因为1<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>1，所以2－>0，
所以h(x1)<h(x2)，
所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故a≤h(1)，即a≤3，
所以实数a的取值范围是(－∞，3]．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )
A．
C． D．
解析：选D 因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间上单调递减，故“缓增区间”I为．
2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)证明：f(x)为单调递减函数．
(2)若f(3)＝－1，求f(x)在上的最小值．
解：(1)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)<f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，
所以f(x)在上的最小值为f(9)．
由f＝f(x1)－f(x2)得，
f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，
所以f(9)＝－2.
所以f(x)在上的最小值为－2.
第三节函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ex D．y＝ln |x|
答案：D
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.
答案：－2
3．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.
答案：－1
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B ∵f(x)＝ax2＋bx是定义在上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
2．下列函数中，为奇函数的是( )
A．y＝3x＋ B．y＝x，x∈{0,1}
C．y＝x·sin x D．y＝
解析：选D 由函数奇偶性定义易知函数y＝3x＋和y＝x·sin x都是偶函数，排除A和C；函数y＝x，x∈{0,1}的定义域不关于坐标原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，排除B；由奇函数的定义知y＝是奇函数，故选D.
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)(易错题)f(x)＝
解：(1)∵由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，
不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，
则当x<0时，－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.
1．判断函数周期性的2个方法
(1)定义法．
(2)图象法．
2．周期性3个常用结论
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a，
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
1．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析：选A 由f(x)是R上周期为5的奇函数，知
f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(3)－f(4)＝－1，故选A.
2．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)的值为________．
解析：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝f(x)，
∴函数y＝f(x)的周期T＝4.
又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，
∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－＝－1，f(4)＝－＝－.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)
＝504＋f(504×4＋1)
＝504＋1
＝1 345.
答案：1 345
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．
常见的命题角度有：
(1)奇偶性的应用；
(2)单调性与奇偶性结合；
(3)周期性与奇偶性结合；
(4)单调性、奇偶性与周期性结合．
角度一：奇偶性的应用
1．(2017·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝( )
A．－2x B．2－x
C．－2－x D．2x
解析：选C x>0时，－x<0，∵x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.
角度二：单调性与奇偶性结合
2．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
解析：选C 因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞
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