资源描述
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时间：60分钟
基础组
1.在数列{an}中，an≠0，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分与不必要条件
答案 C
解析 ＝2，n∈{2,3,4，…}公比q＝2，反之亦成立，故选C.
2．等比数列{an}中，a1＝3，a4＝24，则a3＋a4＋a5＝( )
A．33 B．72
C．84 D．189
答案 C
解析 由题意可得q3＝8，∴q＝2.
∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝84.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 C
解析 由已知得，Sm－Sm－1＝am＝－16，Sm＋1－Sm＝am＋1＝32，故公比q＝＝－2，又Sm＝＝－11，故a1＝－1，又am＝a1·qm－1＝－16，故(－1)×(－2)m－1＝－16，求得m＝5.
4.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
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A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
答案 B
解析 由题意可知a5a6＝a4a7，
又a5a6＋a4a7＝18得a5a6＝a4a7＝9，
而log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝log3 95＝log3310＝10.
5．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
答案 C
解析 由等比数列的“等积性”可知，a5·a2n－5＝a1·a2n－1＝22n.∵log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1·a3·…·a2n－1)．
又a1·a3·…·a2n－1＝(a1·a2n－1) ＝(22n) ＝2n2，
∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝n2.
6．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )
A．80 B．30
C．26 D．16
答案 B
解析 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．
设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．
即(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴S2n＝6.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30，故选B.
7．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a9成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则＝________.
答案 3
解析 设公差为d，则(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴a1d＝d2，又d≠0，∴a1＝d，则＝＝3.
8．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Sn，则＝________.
答案 15
解析 由a1＝1，an＋1＝an知{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以S4＝＝，又a4＝a1q3＝，故＝15.
9．若等比数列{an}满足am－3＝4且amam－4＝a(m∈N*且m>4)，则a1a5的值为________．
答案 16
解析 设数列{an}的公比为q，由amam－4＝a，得
m＋(m－4)＝2×4，解得m＝6，
∵am－3＝4，即a3＝4，∴a1a5＝a＝16.
10．已知公比为2的等比数列{an}中，a2＋a5＋a8＋a11＋a14＋a17＋a20＝13，则该数列前21项的和S21＝________.
答案
解析 设等比数列的首项为a1，公比q＝2, 前n项和为Sn.由题知a2，a5，a8，a11，a14，a17，a20仍为等比数列，其首项为a2，公比为q3，故其前7项的和为T7＝＝＝·＝S21·＝13，解得S21＝.
11．已知正项等比数列{an}中，2a1＋a2＝a3,3a6＝8a1a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an－nlog23，求数列的前n项和Tn.
解 (1)设数列{an}的公比为q，由题意得a1>0，q>0，且，解得，
所以an＝3·2n－1(n∈N*)．
(2)因为log2an＝log23＋n－1，且log2a1＝log23，所以{log2an}是以log23为首项，1为公差的等差数列．
bn＝·n－nlog23＝.
于是Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2＝.
12．已知a<b，且满足a2－a－6＝0，b2－b－6＝0，数列{an}，{bn}满足a1＝1，a2＝－6a，an＋1＝6an－9an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an＋1－ban(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式an.
解 (1)证明：∵a<b，a2－a－6＝0，b2－b－6＝0，
∴a＝－2，b＝3，a2＝12.
∵an＋1＝6an－9an－1(n≥2，n∈N*)，
bn＝an＋1－ban(n∈N*)，
∴bn＋1＝an＋2－3an＋1＝6an＋1－9an－3an＋1＝3(an＋1－3an)＝3bn(n∈N*)．
又b1＝a2－3a1＝9，∴数列{bn}是公比为3，首项为9的等比数列．
(2)由(1)可得bn＝3n＋1(n∈N*)．
于是，有an＋1－3an＝3n＋1(n∈N*)，即－＝1(n∈N*)．
因此，数列{}是首项为＝，公差为1的等差数列，故＝＋(n－1)·1.
所以数列{an}的通项公式是
an＝(3n－2)·3n－1(n∈N*)．
能力组
13.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由an>0，a2a4＝aq4＝1，S3＝a1＋a1q＋a1q2＝7，解得q＝或－(舍去)，a1＝4，
所以S5＝＝＝.
14．数列{an}的首项为a1＝1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10b11＝2015，则a21＝______.
答案 2015
解析 由bn＝，且a1＝1，得b1＝＝a2；b2＝，a3＝a2b2＝b1b2；b3＝，a4＝a3b3＝b1b2b3；……；bn－1＝，an＝b1b2…bn－1，∴a21＝b1b2…b20.∵数列{bn}为等比数列，∴a21＝(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝(b10b11)10＝(2015)10＝2015.
15．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a4＋6，且a1，a4，a13成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋1，求数列{bn}的前n项和．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．因为S3＝a4＋6，所以3a1＋＝a1＋3d＋6.所以a1＝3.
因为a1，a4，a13成等比数列，
所以a1(a1＋12d)＝(a1＋3d)2，
即3(3＋12d)＝(3＋3d)2.解得d＝2.
所以an＝2n＋1.
(2)由题意bn＝22n＋1＋1，设数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝22n＋1，＝＝4(n∈N*)，所以数列{cn}为以8为首项，4为公比的等比数列．所以Tn＝＋n＝＋n.
16.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝22an.
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(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)设cn＝an＋1－2an，求数列{cn}的前n项和Sn.
解 (1)证明：an＋1＝2·an，＝2·，
∴bn＋1＝2bn，∴数列{bn}是公比为2的等比数列．
(2)由(1)知{bn}是公比为2的等比数列，
又b1＝＝a1＝1，∴bn＝b1·2n－1＝2n－1，
∴＝2n－1，∴an＝n2·2n－1.
(3)cn＝(n＋1)2·2n－2n2·2n－1＝(2n＋1)·2n，
∴Sn＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n＋1)·2n.①
2Sn＝3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1.②
①－②得，－Sn＝3·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n＋1)·2n＋1＝2＋－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1，
∴Sn＝(2n－1)·2n＋1＋2.
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