现代控制理论试卷答案与解析.doc

现代控制理论
现代控制理论试卷作业
一．图为R-L-C电路，设为控制量，电感上的支路电流和电容C上的电压为状态变量，电容C上的电压为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。

解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。
以电感上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：

从上述两式可解出，，即可得到状态空间表达式如下：

=+
二、考虑下列系统：

（a）给出这个系统状态变量的实现；
（b）可以选出参数（或）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。
解：（a）模拟结构图如下：

则可得系统的状态空间表达式：

（b） 因为

所以：当时，该系统不能控；当时，该系统能控。
又因为：

所以：当或时，该系统不能观；当且时，该系统能观。
综上可知：当时或且时，该系统既不能控也不能观。
三、已知系统的状态转移矩阵为：

（1）试确定矩阵，并验证确为上式。
（2）已知求，以下采用三种方法计算，并对计算结果进行讨论。
解：（1）利用书上P53状态转移矩阵的性质四：对于状态转移矩阵，有
即
当t=0时

验证：（利用P59的公式（2-24）来验证）

解得：，，有一对复根，重根部分按公式（2-24）处理，非重根部分的仍按公式（2-23）计算。

且
所以：

四、有两个能控能观的单输入—单输出系统：
：
：
（1）按图把、串联，针对推导状态方程。
（2）判断以上系统的能控性和能观性。
（3）把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。
（4）求、及串联系统的传递函数矩阵，并对（2）和（3）讨论。
解：（1）

所以

因而
得状态方程:
（2） A= b=

所以
所以该系统不能控。

所以
所以 该系统是能观的。
（3）

所以

所以
所以此时该系统能控。

而
所以此时该系统不能观。
（4）
=

当、按照（2）的连接方式串联时，
当、按照（2）的连接方式串联时，
由上边的传递函数结果可知，当子系统串联时，颠倒其先后次序，虽然传递函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。
五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解：

解：（a）能控性分解：
，

所以
，故该系统不能控。
构造非奇异矩阵
，所以

（b）能观性分解：

所以
所以该系统不能观。
构造非奇异矩阵：
，所以

六、试用李雅普诺夫第二法，判断下列系统的稳定性。
（1）
（2）系统结构图如下，对结果进行讨论，采取什么措施可使系统稳定？

解：

原点=0是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即

当，时， ；当，时，，因此为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。
另选一个李雅普诺夫函数，例如：

=
为正定，而

为负定的，且当，有。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。
（2） 闭
（3） 环系统的状态方程为

其齐次方程为

显然，原点为系统的唯一的平衡状态，选李雅普夫函数

可见，在任意的值均保持为0，而保持为常数

这表示系统运动的相轨迹是一系列以原点为圆心，为半径的圆。这时系统为李雅普诺夫的稳定，但在经典控制理论中，这种情况属于不稳定，这的自由解是一个等幅的正弦振荡，要想使这个系统不稳定，必须改变系统的结构。
七、图示的控制系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统输出超调量和峰值时间。

解：传递函数
又因为二阶系统单位阶跃响应中：

根据题意要求和
通过上式解答：

因此设计后的极点分别为：

因为传递函数没有零极点对消现象，所以原系统能控而且能观。可直接写出它的能控标准I型实现。

其闭环系统结构图如下：

加入状态反馈阵，其系统结构如下图：

而闭环系统特征多项式为

根据极点值，得期望特征多项式：

比较和各对应项系数，可得：

即

八、系统的状态方程如下：，，性能指标泛函分两种情况求最优控制：。
（1） 对没有约束
（2）
解：
（1） 原问题为自由终端状态，因而。
由哈密尔顿函数
又因为=0
所以
又沿最优轨迹线满足正则方程：

边界条件
通过上式联合解答：

（2） 由极小值原理，与符号有关，取
表示的符号，
取
在区间，，取。
下图表示求解结果。

九、试综述最有控制理论的内容及方法，分析比较二次型性能指标泛函与经典控制理论的性能指标。
1． 内容：
现代控制理论研究的对象不再局限于单变量的，线性的，常定的，
连续的系统，而扩展为多变量的，非线性的，时变的，离散的系统。现代控制理论以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统。所谓状态空间法，本质上是一种时域分析方法，它不仅描述了系统的外部特性，而且揭示了系统的内部状态和性能。现代控制理论分析和综合系统的目标是在揭示其内在规律的基础上，实现系统在某种意义上的最优化，同时使控制系统的结构不再限于单纯的闭环形式，现代控制理论的主要内容包括如下五个分支：线性系统理论、建模和系统辨识、最忧滤波理论、最优控制、自适应控制。
2．方法：
现代控制理论的方法本质是一种时域方法，它是建立在状态变量描述方法基
础上的，它着眼于系统的状态，能更完全的表达系统的动力学性质，在解决最优控制问题中，极大值原理和贝尔曼动态规划是最重要的两种方法。
3．分析比较指标泛函与经典控制理论的性能指标：
性能指标在数学上成为泛函，经典控制理论中的性能指标一般为最大超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度等。
现代控制理论的二次型指标泛函的意义：花费尽量少的控制能量，使系统的输出尽可能地跟随期望输出变化。常见的二次型性能指标分两类：线性调节器和线性伺服器。
假定状态方程：，
寻求最优控制，使性能指标达到极小值
（9-1）
这是二次型指标泛函，要求S，，是对称阵，且S和是非负定或正定的，应是正定的。
式（9-1）右端第一项是对终端状态提出一个符合需要的要求，表示在给定的控制终端时刻到来时，系统的状态接近预定终态的程度。
积分项的第一项表示对于一切的对状态的要求，积分第二项是对控制总能量的限制，二者相互制约，求两者之和极小值，实质上是求取在某种最有意义下的折衷，偏重哪一面，取决于加权矩阵和地选取。

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