一轮复习：坐标系与参数方程(文)含答案.doc

坐标系与参数方程导学案
一.坐标系
〖考纲要求〗
① 理解坐标系的作用
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况
③ 能在极坐标系中找出极坐标表示的点的位置，理解极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义
〖知识要点〗
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换的作用下, 点P(x,y)对应到点, 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点, 叫做极点, 自极点引一条射线, 叫做极轴; 再选定一个长度单位, 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点, 极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径, 记为; 以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角, 记为. 有序数对叫做点M的极坐标, 记作.
一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地, 当点在极点时, 它的极坐标为(. 和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外 ,平面内的点可用唯一的极坐标表示; 同时, 极坐标表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景: 把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示:
(2)互化公式: 设是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点
直角坐标
极坐标
互化公式

在一般情况下,由确定角时, 可根据点所在的象限最小正角.
4.回归教材
题组1 人教A版选修4-4 P12 课本习题编选：
题1 在极坐标系中，表示的点有什么关系？你是如何刻画这些点的位置的？

题2已知点的极坐标分别为，求它们的直角坐标

题3已知点的直角坐标分别为，求它们的极坐标
问题自主探索：极坐标与直角坐标之间的区别与联系是什么？

题组2人教A版选修4-4 P15 课本习题编选：

题1 说明下列极坐标方程表示什么曲线？
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
题2 将下列直角坐标方程化成极坐标方程
（1） （2） （3） （4）
5.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为的圆

圆心为,半径为的圆

圆心为,半径为的圆

过极点,倾斜角为的直线

(1)

(2)

过点,与极轴垂直的直线

过点,与极轴平行的直线

注: 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一, 即都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯一性明显不同. 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可. 例如 ：直角坐标系下的点P（1,1），如果原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，则P点的极坐标可以是，，但我们只需要写出即可。

题组一、求点的极坐标
1、在极坐标中，若等边的两个顶点是A,B，那么顶点C的坐标可能是（ A ）
（A） （B） （C） （ D）
2、）在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标
为　　　　　　
3、在极坐标中，圆的圆心的极坐标是（ B ）
（A） （B） （C） （ D）

探究二、极坐标与直角坐标互化
1、极坐标中，曲线和相交于点A,B，则A,B之间的距离=　　　
2、在极坐标系中，点到 圆的圆心的距离为（ D ）
（A）2 （B） （C） （ D）
3、已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线的点到曲线的最远距离为
题组三、直线和圆的极坐标方程
1、（1）过极点、极角为的直线方程：

（2）与极轴平行并与极轴距离等于的直线方程：

（3）与极轴所在直线垂直且与极点距离为的直线方程：

（4）圆心为，半径为的圆的极坐标方程：

（5）圆心为，半径为的圆的极坐标方程：

（6）圆心为，半径为的圆的极坐标方程：

（7）圆心为，半径为的圆的极坐标方程：

（8）圆心为极点，半径为的圆的极坐标方程：

2、（1）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程：

（2）过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程：

〖巩固与反馈〗
1、在平面直角坐标系中，点P的直角坐标为，若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标是　　　　　　　　
2、极坐标方程表示的曲线是（ A ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （ D）抛物线

二. 参数方程
〖考纲要求〗
①　了解参数方程，了解参数的意义
②　能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程
〖知识要点〗
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标M（x,y）都是某个变数t的函数 ①, 并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数, 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地, 可以通过消去参数, 而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t), 把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程
如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，
按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，
则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。
6．直线的参数方程
经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中t表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，＞0；当点在下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
一. 回归课本
题1把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线
（1）（为参数） （2） （为参数）

题2把下列普通方程化为参数方程，并说明它们各表示什么曲线
（1） （2）

题3 在椭圆上求一点,使点到的距离最小，并求出最小距离。

〖巩固与反馈〗
1、若直线 （为参数）与直线垂直，则=____-6______

2、已知直线与圆（为参数），它们公共点个数为　　　1　　　
3、若直线（为参数）与直线（为参数）平行，则=　　4　　　
4、已知两曲线参数方程为（）与（为），它们的交点坐标为　　　　　
5、在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线和的交点坐标为　　　　　
6、在平面直角坐标系中，以原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A,B分别在曲线（为参数）和曲线上，则最小值为　　3　　　
7、已知直线的参数方程是（为参数），以原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为所截得的弦长为　　　　
8.已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A、两点。
（1）求线段AB的长；
（2）求点M(-1,2)到A、B两点的距离之和；
（3）求点M(-1,2)到A、B两点的距离之积；

9.选修4-4第36页探究部分及37面例题2，39页习题2.31,2,3题。

三．坐标系与参数方程综合
【2011，23】在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）
M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程；(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.

【2012，23】已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是。正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）。
（1)求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围。

【2013，23】已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

【2014，23】已知曲线：，直线：（为参数）.
(Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.

【2015，23】在直角坐标系中，直线：=2，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求，的极坐标方程；
（II）若直线的极坐标方程为，设与的交点为,，求的面积.

【2016，23】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．
（Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．

【2017，22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到的距离的最大值为，求．

【2018，22】．在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
⑴求的直角坐标方程； ⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程．

参考答案
2011.解：（I）设，则由条件知，由于点在上，所以，即.
从而的参数方程为(为参数).
(II)曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为，
所以.

2012.解析】（1）曲线的参数方程化为
直角坐标方程为，
曲线的极坐标方程化为
直角坐标方程为，
因为点A的极坐标为（2，），
所以点B的极坐标为（2，），点C的极坐标为（2，），点D的极坐标为（2，），因此点A的直角坐标为（1，），点B的直角坐标为（，1），
点C的直角坐标为（－1，－），点D的直角坐标为（，－1）。
（2）设P（，），则

。
因此的取值范围为[32，52]。

2013.解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由 解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.

2014.【解析】：.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为： （为参数），
直线l的普通方程为：
（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为，
则+-，其中为锐角．且.
当时，取得最大值，最大值为；
当时，取得最小值，最小值为.

2015.解析：（I）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为.
（Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，因为的半径为1，则的面积=.

2016 .【解析】：⑴ （均为参数）,∴ ①
∴为以为圆心，为半径的圆．方程为
∵,∴ 即为的极坐标方程
⑵ ,两边同乘得
,即 ②,：化为普通方程为
由题意：和的公共方程所在直线即为,①—②得：，即为
∴,∴

2017. 【解析】（1）时，直线的方程为．曲线的标准方程是，
联立方程，解得：或，则与交点坐标是和
（2）直线一般式方程是．设曲线上点．
则到距离，其中．
依题意得：，解得或．
解：（1）由，得的直角坐标方程为
．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
.综上，所求的方程为．
（2019）解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为y2＝2ax，直线，(t为参数)化为普通方程为y＝x－2.
(2)将，代入y2＝2ax得
t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.
则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)，
因为|MN|2＝|PM|·|PN|，
所以(t1－t2)2＝t1·t2，
即(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，(t1＋t2)2－5t1t2＝0，
故8(4＋a)2－40(4＋a)＝0，
解得a＝1或a＝－4(舍去)．
故所求a的值为1.

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