常微分期末复习.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Company Logo,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常微分方程,期 末 复 习,授课教师：胡鹏彦,授课对象：,10,本科,第一章,一、基本概念,微分方程、常微分方程、微分方程的阶、微,分方程的解、通解、特解、隐式解、初值条件、,初值问题、雅可比行列式,二、基本结论,通解的判定,三、基本方法,利用几何的知识建立微分方程,第二章,一、基本概念,变量分离方程、线性方程、恰当方程、积分,因子,二、基本结论,恰当方程的判定、积分因子的判定,三、基本方法,变量分离方程的求解、化方程为变量分离方,程、恰当方程的求解、积分因子法求解微分方程、,线性方程的求解、常数变易法、几种一阶隐式方,程的求解,第三章,一、基本概念,利普希茨条件、局部利普希茨条件、逐步逼,近法、第,n,次近似解、饱和解,二、基本结论,解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解对,初值的连续性和可微性定理,三、基本方法,利用逐步逼近法求解初值问题、解对初值的,偏导数,第四章,一、基本概念,n,阶线性微分方程、函数组线性相关、函数组,线性无关、朗斯基行列式、基本解组特征方程、特,征值,二、基本结论,解的叠加原理、函数组线性相关性的判别定,理、解的结构定理,第四章,三、基本方法,判断函数组的线性相关性、齐次线性微分方,程的求解、非齐次线性微分方程的求解、高阶微,分方程的降阶、二阶微分方程的幂级数解法,第五章,一、基本概念,线性微分方程组、,(,非,),齐次线性微分方程组、,向量函数组线性相,(,无,),关、朗斯基行列式、基本解,组、解矩阵、基解矩阵、特征值、特征向量,二、基本结论,解的存在唯一性定理、解的叠加原理、向量函,数组线性相关性的判别定理、解的结构定理,第五章,三、基本方法,判断向量函数组的线性相关性、基解矩阵的,计算、齐次线性微分方程组的求解、非齐次线性,微分方程组的求解、常数变易法,5.1,存在唯一性定理,如果,b,ij,(,t,)(,i,j,1,2,n,),都在区间,a,b,上,连续,则称矩阵,B,(,t,),在区间,a,b,上,连续,;,若,u,i,(,t,)(,i,1,2,n,),都在区间,a,b,上连续,则,称向量,u,(,t,),在区间,a,b,上,连续,.,5.1,存在唯一性定理,如果,b,ij,(,t,)(,i,j,1,2,n,),都在区间,a,b,上,可微,则称矩阵,B,(,t,),在区间,a,b,上,可微,;,若,u,i,(,t,)(,i,1,2,n,),都在区间,a,b,上可微,则,称向量,u,(,t,),在区间,a,b,上,可微,.,且,5.1,存在唯一性定理,关于矩阵和向量的导数成立如下等式,:,设,n,n,矩阵,A,(,t,),B,(,t,),以及,n,维向量,u,(,t,),v,(,t,),都可微,则,5.1,存在唯一性定理,如果,b,ij,(,t,)(,i,j,1,2,n,),都在区间,a,b,上,可积,则称矩阵,B,(,t,),在区间,a,b,上,可积,;,若,u,i,(,t,)(,i,1,2,n,),都在区间,a,b,上可积,则,称向量,u,(,t,),在区间,a,b,上,可积,.,且,5.1,存在唯一性定理,5.1,存在唯一性定理,2.,一阶线性微分方程组,一阶线性微分方程组形如,由,n,个含有,n,个未知函数的微分方程组成,.,5.1,存在唯一性定理,令,5.1,存在唯一性定理,则,(5.1),可写成,定义,1,设,n,n,矩阵,A,(,t,),与,n,维向量,f,(,t,),都在区间,a,b,上连续,.,若定义在区间,a,b,上的,n,维,可微向量,u,(,t,),在,上,有,即,在,上,u,(,t,),满足方程组,(5.4),则称,u,(,t,),为,(5.4),的,解,.,5.1,存在唯一性定理,定义,2,求方程组,(5.4),满足初值条件,A,(,t,0,),的解称为求解方程组的,初值问题,.,一般记为,初值问题,(5.5),的解,是指,(5.4),的包含,t,0,的区间,上的解,u,(,t,),且满足,u,(,t,0,),.,5.1,存在唯一性定理,例,1,试列出图,(5.1),中经过,L,1,及,L,2,的电流,I,1,及,I,2,应满足的微分方程,.,5.1,存在唯一性定理,5.1,存在唯一性定理,例,2,验证向量,是初值问题,在区间,上的解,.,5.1,存在唯一性定理,3.,高阶线性方程与一阶线性微分方程组,n,阶线性微分方程的初值问题为,其中,a,1,(,t,),a,2,(,t,),a,n,(,t,),f,(,t,),是区间,a,b,上的已知,连续函数,t,0,a,b,1,2,n,是已知常数,.,若令,5.1,存在唯一性定理,5.1,存在唯一性定理,则,(5.6),可写成如下线性微分方程组的初值问题,容易验证初值问题,(5.6),与,(5.7),在如下意义下,是,等价的,:,给定其中一个初值问题的解,可以构造,另一个初值问题的解,.,注,任何一个,n,阶线性微分方程都可以化为,n,个,一阶线性微分方程构成的方程组,反之不真,.,5.1,存在唯一性定理,二、存在唯一性定理,1.,矩阵与向量的范数,对于,n,n,矩阵,A,a,ij,n,n,和,n,维向量,x,(,x,1,x,2,x,n,),T,其,范数,定义为,5.1,存在唯一性定理,矩阵与向量的范数具有如下性质,:,5.1,存在唯一性定理,2.,矩阵与向量的收敛性,向量序列,量,x,k,x,k,(,x,1,k,x,2,k,x,nk,),T,称为是,收敛的,如果对每个,i,(,i,1,2,n,),数列,x,ik,都是,收敛的,.,向量函数序列,量,x,k,(,t,),x,k,(,t,),(,x,1,k,(,t,),x,2,k,(,t,),x,nk,(,t,),),T,称为在区间,a,b,上是,收敛的,(,一致收敛的,),如果对每个,i,(,i,1,2,n,),函数序列,x,ik,(,t,),在区间,a,b,上都是收敛的,(,一致收敛的,).,5.1,存在唯一性定理,向量函数项级数,上是,收敛的,(,一致收敛的,),如果其部分和构成的,向量函数序列在,a,b,上是收敛的,(,一致收敛的,).,类似于函数项级数的一致收敛性的,M,判别法,可以给出向量函数项级数的,M,判别法,.,称为在区间,a,b,5.1,存在唯一性定理,如果,而级数,注,向量函数序列的极限函数与向量函数级数,的和的连续性与可积性与函数列的极限函数和函,数项级数的和函数的连续性与可积性相同,.,即具有,极限与极限、极限与积分的可交换性和极限与求,和、求和与积分的可交换性,.,收敛,则,在,a,b,上一致收敛,.,5.1,存在唯一性定理,注,将向量和向量函数换成矩阵和矩阵函数,上述定义和结论依然成立,.,5.1,存在唯一性定理,3.,存在唯一性定理,定理,1(,存在唯一性定理,),如果,A,(,t,),是,n,n,矩阵,f,(,t,),是,n,维列向量,它们都在区间,a,b,上连续,则,对于任意,t,0,a,b,及常数,n,维列向量,初值问题,在,a,b,上存在唯一解,(,t,).,5.1,存在唯一性定理,推论,如果,a,1,(,t,),a,2,(,t,),a,n,(,t,),f,(,t,),都是区间,a,b,上的连续函数,对任意,t,0,a,b,及,1,2,n,初值问题,在,a,b,上存在唯一解,w,(,t,).,5.1,存在唯一性定理,作业,P201,1,2(3),5.2,线性微分方程组的 一般理论,一、齐次线性微分方程组,二、非齐次线性微分方程组,5.2,线性微分方程组的一般理论,这节主要讨论线性微分方程组,的解的结构,.,如果,f,(,t,),0,则称,(5.14),为,非齐次的,.,如果,f,(,t,),0,则,(5.14),的变为,称之,齐次的,.,通常称,(5.15),为,对应于,(5.14),的齐次,线性微分方程组,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,一、齐次线性微分方程组,1.,解的叠加原理,定理,2(,叠加原理,),如果,u,(,t,),和,v,(,t,),是,(5.15),的解,则它们的线性组合,u,(,t,),v,(,t,),也是,(5.15),的解,这,里,是任意常数,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,2.,向量函数组的线性相关性,定义,设,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,n,(,t,),为定义在,a,b,上,的向量函数,如,果存在不全为零的常数,c,1,c,2,c,n,使得等式,在,a,b,上恒成立,则称,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,n,(,t,),在,a,b,线性相关,否则,称它们的,线性无关,.,注,证明向量函数组线性无关一般用反证法,.,而线性相关的证明则是构造性的,也就是要给出,所需的常数,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,在任何区间上都是线性无关的,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,在任何区间上都是线性相关的,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,定义,设有,n,个定义在,a,b,上的向量函数,5.2,线性微分方程组的一般理论,为向量函数,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,n,(,t,),的,朗斯基行列式,.,称,5.2,线性微分方程组的一般理论,定理,3,如果向量函数,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,n,(,t,),在,a,b,上线性相关,则对任意,t,a,b,有,5.2,线性微分方程组的一般理论,定理,4,如果,(5.15),的解,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,n,(,t,),线性无关,那么,对任意,t,a,b,有,注,由定理,3,和定理,4,可知,由,(5.15),的,n,个解构,成的朗斯基行列式要么恒等于,0,要么恒不等于,0.,5.2,线性微分方程组的一般理论,定理,5,齐次线性微分方程组,(5.15),一定存在,n,个线性无关的解,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,n,(,t,).,5.2,线性微分方程组的一般理论,3.,齐次线性微分方程组的解的结构,定理,6,如果,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,n,(,t,),是,(5.15),的,n,个线性无关解,则,(5.15),的任一解,x,(,t,),均可表为,其中,c,1,c,2,c,n,是相应的确定常数,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,推论,1,(5.15),的线性无关解的最大数等于,n,.,推论,2,如果已知,(5.15),的,k,个线性无关解,则,(5.15),可以降低为含,n,k,个未知函数的线性微分,方程组,.,特别地,如果已知,(5.15),的,n,1,个线性无,关解,则,(5.15),的通解即可得到,.,注,称,(5.15),的,n,个线性无关的解,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,n,(,t,),为,(5.15),的一个,基本解组,.,基本解组不唯一,.,注,(5.15),所有解的集合构成一个,n,维线性空间,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,4.,基解矩阵,定义,如果一个,n,n,矩阵的每一个列向量都是,(5.15),的解,则称此矩阵为,(5.15),的,解矩阵,.,列向量在区间,a,b,上线性无关的解矩阵称为,(5.15),的,基解矩阵,.,用,(,t,),表示由,(5.15),的,n,个线性,无关的解,1,(,t,),2,(,t,),n,(,t,),作为列向量构成的基,解矩阵,当,(,t,0,),E,时,称其为,标准基解矩阵,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,定理,1,*,(5.15),一定存在一个基解矩阵,(,t,).,如果,(,t,),是,(5.15),的解,则,其中,c,是确定的,n,维常数列向量,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,定理,2,*,(5.15),的一个解矩阵,(,t,),是基解矩,阵的充要条件是,det,(,t,),0(,a,t,b,).,而且,如果对,某个,t,0,a,b,det,(,t,0,),0,则,det,(,t,),0(,a,t,b,).,5.2,线性微分方程组的一般理论,例,1,验证,是方程组,的基解矩阵,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,推论,1,*,如果,(,t,),是,(5.15),在区间,a,b,上的,基解矩阵,C,是非奇异,n,n,常数矩阵,那么,(,t,),C,也是,(5.15),在区间,a,b,上的基解矩阵,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,推论,2,*,如果,(,t,),(,t,),是,(5.15),在区间,a,b,上的两个基解矩阵,那么,存在非奇异,n,n,常数矩,阵,C,使得在区间,a,b,上有,(,t,),(,t,),C,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,二、非齐次线性微分方程组,这节讨论非齐次线性微分方程组,的解的结构,.,其对应的齐次线性微分方程组为,5.2,线性微分方程组的一般理论,1.,解的结构,性质,1,如果,(,t,),是,(5.14),的解,(,t,),是,(5.14),对,应的齐次线性微分方程组,(5.15),的解,则,(,t,),(,t,),是,(5.14),的解,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,性质,2,如果,(,t,),和,(,t,),是,(5.14),的两个解,则,(,t,),(,t,),是,(5.15),的解,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,定理,7,设,(,t,),是,(5.15),的基解矩阵,这里,c,是确定的常数列向量,.,(5.14),的某一解,则,(5.14),的任一解都可表为,是,5.2,线性微分方程组的一般理论,2.,常数变易法,若,(5.14),对应的齐次线性微分方程组,(5.15),的,基解矩阵,(,t,),已知,为了求,(5.14),的通解,将,(5.15),的通解中的常数列向量用列向量函数代替,然后,利用,(5.14),确定该列向量函数,进而得到,(5.14),的,通解,这种求解非齐次线性微分方程组,(5.14),的方,法称为,常数变易法,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,定理,8,如果,(,t,),是,(5.15),的基解矩阵,则向,量函数,是,(5.14),的解,且满足初值条件,(,t,0,),0.,注,由定理,7,和定理,8,可知,:(5.14),满足初值条件,(,t,0,),的解为,(5.26),或,(5.27),称为非齐次线性微分方程组,(5.14),的,常数变易公式,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,例,2,试求初值问题,的解,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,推论,3,如果,a,i,(,t,)(,i,1,2,n,),及,f,(,t,),是,a,b,上的连续函数,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,n,(,t,),是,a,b,齐次线性,方程,的基本解组,那么,非齐次线性微分方程,的满足初值条件,的解为,5.2,线性微分方程组的一般理论,这里,W,x,1,(,s,),x,2,(,s,),x,n,(,s,),是,x,1,(,s,),x,2,(,s,),x,n,(,s,),的朗斯基行列式,W,k,x,1,(,s,),x,2,(,s,),x,n,(,s,),是将行,列式,W,x,1,(,s,),x,2,(,s,),x,n,(,s,),的第,k,列用,(0,0,0,1),替换后的行列式,且,(5.28),的任一解都具有形式,注,公式,(5.29),称为,(5.28),的常数变易公式,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,作业,P216,1,5,8,11,13,5.2,线性微分方程组的一般理论,1.,齐次线性微分方程组,(1),解的叠加性,解构成线性空间,;,(2),解向量函数组线性相关,其朗斯基行列式恒等于,0,其朗斯基行列式在某点等于,0;,(3),存在,n,个线性无关解,且任一解可由,n,个线,性无关解线性表出,;,(4),由,(3),知解构成,n,维线性空间,;,(5),解解矩阵基解矩阵,(,基解矩阵不唯一,),(6),任一解等于基解矩阵乘以一常数列向量,.,5.2,线性微分方程组的一般理论,2.,非齐次线性微分方程组,(1),齐次解加非齐次解为非齐次解,任意两个,非齐次的解只差为齐次解,;,(2),非齐次的通解等于齐次的通解加上非齐次,的一个特解,;,(3),非齐次线性微分方程组的常数变易法,.,5.3,常系数线性微分方程组,一、矩阵指数,exp,A,的定义,和性质,二、基解矩阵的计算公式,三、拉普拉斯变换的应用,5.3,常系数线性微分方程组,这节讨论常系数齐次线性微分方程组,的基解矩阵的结构,给出用代数方法求基解矩阵,的方法,最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微,分方程组中的应用,.,一、矩阵指数,exp,A,的定义和性质,1.exp,A,的定义,设,A,是一个,n,n,常数矩阵,定义,5.3,常系数线性微分方程组,其中,E,为,n,阶单位矩阵,A,k,为矩阵的,k,次幂,.,易知,由于,5.3,常系数线性微分方程组,则,(5.34),式中的矩阵级数对任何,n,n,常数矩阵,A,都,是收敛的,因此,上述定义有意义,.,而对于级数,易知,它在任何有限区间上是一致收敛的,.,2.exp,A,的性质,(1),如果矩阵,A,B,是可交换的,即,AB,BA,则,5.3,常系数线性微分方程组,(2),对于任何矩阵,A,(exp,A,),1,存在,且,5.3,常系数线性微分方程组,(3),如果,T,是非奇异,(,可逆,),矩阵,则,5.3,常系数线性微分方程组,3.,齐次线性微分方程组的基解矩阵,定理,9,矩阵,5.3,常系数线性微分方程组,是,(5.33),的基解矩阵,且,注,由定理,9,可知,(5.33),的任何解都具有形式,其中,c,是任意常数列向量,.,例,1,如果,A,是一个对角矩阵,即,5.3,常系数线性微分方程组,其中未写出的元均为,0.,试找出,x,Ax,的基解矩阵,.,例,2,试求,5.3,常系数线性微分方程组,的基解矩阵,.,二、基解矩阵的计算公式,1.,矩阵的特征值与特征向量,设,A,是一个,n,n,常数矩阵,使得关于,u,的线性,代数方程组,5.3,常系数线性微分方程组,具有非零解的常数,称为,A,的一个,特征值,.,(5.45),的对应于任一特征值,的非零解,u,称为,A,的,对应于特征值,的特征向量,.,n,次多项式,5.3,常系数线性微分方程组,称为,A,的,特征多项式,n,次代数方程,称为,A,的,特征方程,.,也称为,(5.33),的特征方程,.,方程,(5.46),的单根称为,简单特征根,而,k,重根,则称为,k,重特征根,.,例,3,试求矩阵,5.3,常系数线性微分方程组,的特征根和对应的特征向量,.,例,4,试求矩阵,5.3,常系数线性微分方程组,的特征根和对应的特征向量,.,2.,基解矩阵的计算,由特征值与特征向量的定义可知,e,t,c,是齐次,线性微分方程组,(5.33),的解的充要条件是,:,是,A,的,特征值,而,c,是,A,的对应于特征值,的特征向量,.,由于矩阵对应于不同特征值的特征向量是线,性无关的,因此,对应于不同的特征值我们可以得,到齐次线性微分方程组的线性无关的解,.,5.3,常系数线性微分方程组,定理,10,如果矩阵,A,具有,n,个线性无关的特,征向量,v,1,v,2,v,n,它们对应的特征分别是,1,2,n,(,不必各不相同,),那么,矩阵,5.3,常系数线性微分方程组,是常系数线性微分方程组,的一个基解矩阵,.,5.3,常系数线性微分方程组,的一个基解矩阵,.,例,5,试求方程组,x,Ax,其中,5.3,常系数线性微分方程组,因此,注,存在非奇异常数矩阵,C,使得,上式给出了一种我们计算,exp,A,的方法,同时,也给出了我们一种构造实基解矩阵的方法,.,例,6,试求例,5,中的实基解矩阵,(,或计算,exp,A,t,).,上面讨论的是矩阵,A,具有,n,个线性无关特,征向量时对应线性微分方程组基解矩阵的计算,.,下面讨论一般情形下基解矩阵的计算问题,.,5.3,常系数线性微分方程组,线性代数知识回顾,设,A,是,n,n,矩阵,1,2,k,是,A,的不同特征,值,其重数分别为,n,1,n,2,n,k,n,1,n,2,n,k,n,则,对,j,(,j,1,2,k,),方程组,5.3,常系数线性微分方程组,的解构成,n,维欧氏空间,U,的,n,j,维子空间,U,j,且,n,维欧,氏空间可表示为,U,1,U,2,U,k,的直和,即对任意的,u,U,存在唯一的,u,j,U,j,(,j,1,2,k,),使得,u,u,1,u,2,u,k,.,下面给出计算基解矩阵,exp,A,t,的方法,.,我们,从计算,(5.33),满足初值条件,(0),的解,(,t,),开始,.,由上述讨论可知,存在唯一的,v,j,U,j,使得,v,1,v,2,v,k,(5.50),而对任意,i,n,j,(,j,1,2,k,),5.3,常系数线性微分方程组,由于,5.3,常系数线性微分方程组,则,5.3,常系数线性微分方程组,所以,(,t,),可以表示为,5.3,常系数线性微分方程组,(5.33),满足初值条件,(0),的解,(,t,),为,5.3,常系数线性微分方程组,有了以上的讨论我们就可以计算,exp,A,t,了,.,若,A,只有一个特征值,则对任意,u,有,5.3,常系数线性微分方程组,即,从而有,对一般的,A,由于,5.3,常系数线性微分方程组,其中,因此,依次令,e,1,e,2,e,n,由,(5.52),可,得到,n,个解,以这,n,个解为列向量的矩阵就是,exp,A,t,.,5.3,常系数线性微分方程组,5.3,常系数线性微分方程组,例,7,如果,A,是例,4,中的矩阵,试求解初值条件,x,Ax,(0),并求,exp,A,t,.,5.3,常系数线性微分方程组,3,是二重特征值,.,5.3,常系数线性微分方程组,5.3,常系数线性微分方程组,5.3,常系数线性微分方程组,例,8,如果,求,exp,A,t,.,5.3,常系数线性微分方程组,5.3,常系数线性微分方程组,例,9,考虑方程组,这里系数矩阵,试求满足初值条件,(0),的解,并求,exp,A,t,.,3.,当,t,趋于无穷时解的性态,公式,(5.52),不仅可以帮助我们计算,exp,A,t,同,时还可以帮助我们讨论方程组的解当,t,时的,性态,.,5.3,常系数线性微分方程组,定理,11,给定常系数线性微分方程组,5.3,常系数线性微分方程组,那么,(1),如果,A,的特征值的实部都是负的,则,(5.33),的任一解当,t,时都趋于零,;,(2),如果,A,的特征值的实部都是非正的,且实,部为零的特征值都是简单特征值,则,(5.33),的任一,解当,t,时都保持有界,;,(3),如果,A,的特征值至少有一个具有正实部,则,(5.33),至少有一个解当,t,时趋于无穷,.,4.,基解矩阵的其它计算方法,(1),利用若尔当标准型,对于任意矩阵,A,必存在非奇异矩阵,T,使得,T,1,AT,J,(5.55),其中,J,具有标准形,即,5.3,常系数线性微分方程组,这里,5.3,常系数线性微分方程组,为,n,j,阶矩阵,.,由于,5.3,常系数线性微分方程组,其中,5.3,常系数线性微分方程组,由此可得,5.3,常系数线性微分方程组,也是基解矩阵,.,由基解矩阵的性质可知矩阵,(2),利用哈密尔顿,-,凯莱定理,矩阵,A,的特征多项式是其零化多项式,.,利用哈密尔顿,-,凯莱定理容易验证,5.3,常系数线性微分方程组,其中,1,(,t,),2,(,t,),n,(,t,),是初值问题,5.3,常系数线性微分方程组,的解,1,2,n,是矩阵,A,的特征值,(,不必相异,).,注,由于,exp,A,t,是齐次线性微分方程组,5.3,常系数线性微分方程组,的基解矩阵,则非齐次线性微分方程组,的常数变易公式为,三、拉普拉斯变换的应用,5.3,常系数线性微分方程组,作业,P244,3(3),4(3),5(1),6(2).,5.3,常系数线性微分方程组,