理论力学 7.点的合成运动.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 点的合成运动,理论力学,41,点的合成运动的概念,42,点的速度合成定理,43,点的加速度合成定理,习题课,第四章 点的合成运动,前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。,为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？,运动学,概 述,我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。,4-1,点的合成运动的概念,一坐标系：,1.,静坐标系,：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。,运动学,二动点,：所研究的点（运动着的点）。,2.,动坐标系,：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的小车。,三三种运动及三种速度与三种加速度。,绝对运动中,动点的速度与加速度称为,绝对速度,与,绝对加速度,相对运动中,动点的速度和加速度称为,相对速度,与,相对加速度,牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为,牵连速度,与,牵连加速度,牵连点,：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是,设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时,该点叫牵连点。,点的运动,刚体的运动,运动学,绝对运动,：动点对静系的运动。,相对运动,：动点对动系的运动。,例如：重物相对小车的运动；人在行驶的汽车里走动。,牵连运动,：动系相对于静系的运动,例如：行驶的小车相对于地面的运动。,下面举例说明以上各概念：,运动学,动点：,动系：,静系：,AB,杆上,A,点,固结于凸轮,上,固结在地面上,运动学,相对运动,：,曲线（圆弧）,牵连运动,：,直线平动,绝对运动,：,直线,运动学,绝对速度：,相对速度：,牵连速度,：,绝对加速度：,运动学,相对加速度：,牵连加速度：,四动点的选择原则：,一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。,五动系的选择原则,：,动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。,运动学,动点：,A,（,在圆盘上,),动系：,OA,摆杆,静系：机架,绝对运动：曲线（圆周）,相对运动：直线,牵连运动：定轴转动,运动学,动点：,A,1,（在,OA,1,摆杆上,),动系：圆盘,静系：机架,绝对运动：曲线（圆弧）,相对运动：曲线,牵连运动：定轴转动,若动点,A,在偏心轮上时,动点：,A,(,在,AB,杆上,),A,（,在偏心轮上）,动系：偏心轮,AB,杆,静系：地面地面,绝对运动：直线,圆周（红色虚线）,相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）,牵连运动：定轴转动,平动,注,要指明动点应在哪个,物体上，但不能选在,动系上。,运动学,4-,点的速度合成定理,速度合成定理建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。,运动学,当,t,t,+,t,AB,AB,M,M,也可看成,M,M,M,MM,为绝对轨迹,MM,为绝对位移,M,1,M,为相对轨迹,M,1,M,为相对位移,一,证明,运动学,将上式两边同除以,后，,时的极限，得,取,说明：,v,a,动点的绝对速度；,v,r,动点的相对速度；,v,e,动点的牵连速度，是动系上一点,(,牵连点,),的速度,I),动系作平动时，动系上各点速度都相等。,II),动系作转动时，,v,e,必须是该瞬时动系上与,动点相重合点的速度。,即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。,运动学,点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小,方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。,速度合成定理：矢量求导法,运动学,在图示瞬时，,r,M,表示牵连点的矢径。,动点的绝对速度,动点的相对速度,根据牵连点的概念，其在动系中的坐标,x,、,y,、,z,是不变的，,故,动点的牵连速度,为,v,a,=,v,e,+,v,r,所以,例,1,曲柄滑道机构如图，曲柄长,OA=a,，以等角速度绕,O,轴转动，其端点用铰链与滑道中滑块,A,相连，并带动连杆作往复运动。试求当曲柄与连杆成角时连杆的速度。,二应用举例,解：,选滑块,A,为动点，选连杆为动系；地面为定参考系。,显然,方向如图。,由速度合成定理,v,a,=,v,e,+,v,r,由几何关系,连杆的速度大小,v,a,v,e,v,r,运动学,例,2,曲柄摆杆机构。,已知,：,OA=r,OO,1,=l,，图示瞬时,OA,OO,1,，,求,：摆杆,O,1,B,角速度,1,解,：,取,OA,杆上,A,点为动点，摆杆,O,1,B,为动系，基座为静系。,绝对速度,v,a,=,r,方向,OA,相对速度,v,r,=?,方向,/,O,1,B,绝对速度,v,a,=,r,方向,OA,相对速度,v,r,=?,方向,/,O,1,B,牵连速度,v,e,=?,方向,O,1,B,（）,运动学,由速度合成定理,v,a,=v,r,+,v,e,作出,速度平行四边形,如图示。,由速度合成定理,v,a,=v,r,+,v,e,，,作出速度平行四边形 如图示。,解：,动点,取直杆上,A,点，,动系,固结于圆盘，,静系,固结于基座。,绝对速度,v,a,=?,待求，,方向/,AB,相对速度,v,r,=?,未知，,方向,CA,牵连速度,v,e,=,OA,=,2e,方向,OA,（翻页请看动画）,运动学,例,3,圆盘凸轮机构。,已知：,OC,e,（,匀角速度）。图示瞬时,OC,CA,且,O,A,B,三点共线。,求：,从动杆,AB,的速度。,运动学,例,4,汽车,A,以,km/h,的速度沿直线道路行驶，汽车,B,以,km/h,的速度沿另一叉道行驶。试求在汽车,B,上观察到的汽车,A,的速度。,解：,取汽车,A,为动点，将动系连于汽车,B,，静系连于地面,。,（,km/h,）,运动学,由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的,一般步骤,为：,选取动点，动系和静系。,三种运动的分析。,三种速度的分析。,根据速度合成定理作出速度平行四边形。,根据速度平行四边形，求出未知量。,恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。,动点、动系和静系的选择原则,运动学,动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体,，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动,动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断,（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。,课堂练习,1,如图所示，曲柄,OA,长,0.40m,，以匀角速度,=0.5rad/s,绕轴,O,逆时针方向转动，通过曲柄的,A,端推动滑杆,BC,沿铅直方向运动。试求当曲柄,OA,与水平线的夹角,=30,时，滑杆,BC,的速度。,课堂练习,2,滑块,A,由一绕定轴,O,转动的摇杆,OB,带动沿直线导轨运动，如图所示，设摇杆的瞬时角速度,，轴,O,至直线导轨的距离为,h,。试求滑块,A,的速度的大小（表示为摇杆的转角,的函数）。,分析,：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。,运动学,例,5,已知,:,凸轮半径,r,图示时 杆,OA,靠在凸轮上。,求：杆,OA,的角速度。,解,:,取凸轮上,C,点为,动点,动系,固结于,OA,杆上,静系,固结于基座。,绝对运动,:,直线运动,绝对速度,:,相对运动,:,直线运动,相对速度,:,牵连运动,:,定轴转动,牵连速度,:,如图示,。,根据速度合成定理,做出速度平行四边形,（）,运动学,4-3,加速度合成定理,由速度合成定理,运动学,设有一动点,M,按一定规律沿着固连于动系,Oxyz,的曲线,AB,运动,而曲线,AB,同时又随同动系,Oxyz,相对静系,Oxyz,平动。,一、牵连运动为平动时,由于,牵连运动为平动,，故,对,t,求导：,运动学,(,其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以）,运动学,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度,与相对加速度的矢量和。,一般式可写为,：,解,：取杆上的,A,点为,动点,，,动系,与凸轮固连。,运动学,例,6,已知：凸轮半径,求：,=60,o,时,顶杆,AB,的加速度。,请看动画,绝对速度,v,a,=?,方向,AB,；,绝对加速度,a,a,=?,方向,AB,，,待求。,相对速度,v,r,=?,方向,CA,;,相对加速度,a,r,t,=?,方向,CA,方向沿,CA,指向,C,牵连速度,v,e,=v,0,方向 ;,牵连加速度,a,e,=a,0,方向,运动学,由速度合成定理,做出速度平行四边形,如图示,。,运动学,因,牵连运动为平动,，故有,作,加速度矢量图,如图示，,将上式投影到法线上，得,整理得,n,运动学,课堂练习,1,曲柄滑杆机构，曲柄,OA,=0.1m,，,=4,t,(,rad/s,),，滑杆上有圆心在套杆,BC,上、半径,R,=0.1m,的圆弧形滑道。当,t,=1s,时，曲柄与水平线夹角,=30,。求此时滑杆,BC,的速度,v,和加速度,a,。,运动学,解,：选取滑块,A,为动点，动系连于滑杆,BC,上，定系连于机架。,m/s,m/s,m/s,由题意，曲柄的角加速度为,rad/s,2,牵连运动为平动,将上式向,A,点的法线方向投影,m/s,2,例,7,平底顶杆凸轮机构。偏心凸轮以等角速度,绕,O,轴转动，,O,轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。设凸轮半径为,R,，偏心距,OC,=,e,，,OC,与水平线的夹角为,，试求当 时，顶杆,AB,的速度和加速度。,解,：取凸轮的中心,C,点为动点，动系连于顶杆,AB,，静系连于地面。,由点的速度合成定理,由加速度合成定理，注意到牵连运动为平动，有,运动学,设一圆盘以匀角速度,绕定轴,顺,时针转动，盘上圆槽内有一点,M,以大,小不变的速度,v,r,沿槽作圆周运动，那,么,M,点相对于静系的绝对加速度应是,多少呢？,二、牵连运动为转动时,选点,M,为动点，动系固结与圆盘上,，,则,M,点的,牵连运动,为匀速转动,相对运动,为匀速圆周运动，,（,方向如图）,由速度合成定理可得出,运动学,（方向如图）,即,绝对运动,也为匀速圆周运动，所以,方向指向圆心,点,运动学,分析上式：还多出一项,2,v,r,。,可见，,当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。,那么他们之间的关系是什么呢？,2,v,r,又是怎样出现的呢？它是什么呢？,下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。,根据点的速度合成定理：,v,a,=,v,e,+,v,r,v,e,=,e,r,v,r,=,i,+,j,k,而,a,r,=,i,+,j,k,公式推导分析,两边同对时间求导，得：,设动系以角速度矢,e,绕定轴转动,定轴为定系的,z,轴，定点,O,到动系原点及,k,的矢端,A,的矢径分别为,r,O,和,r,A,。,k,=,r,A,r,O,v,A,v,O,v,A,=,e,r,A,，,v,O,=,e,r,O,e,r,A,e,r,O,=,e,(,r,A,r,O,),=,k,公式推导第一步,e,i,e,j,e,k,公式推导第一步,泊松公式,根据点的速度合成定理,：,v,a,=,v,e,+,v,r,两边同对时间求导，得：,a,a,第一项,(,e,r,)=,r,+,e,e,r,+,e,(,v,e,+,v,r,)=,e,r,+,e,v,e,+,e,v,r,=,a,e,+,e,v,r,公式推导,其中,，,v,a,=,v,e,+,v,r,，代入上式得,上式中附加项,e,v,r,是因为相对运动引起牵连速度改变而产生的。,第二项,i,+,j,i,+,j,k,=,a,r,（,e,i,）（,e,j,）（,e,k,）,=,a,r,i,j,k,）,=,a,r,+,e,v,r,上式中附加项,e,v,r,是由于牵连运动转动引起相对速度方向改变而产生的。,a,a,=,a,e,+,a,r,+2,e,v,r,于是,令,a,C,=2,e,v,r,a,C,称为,科氏加速度,，它等于动系角速度矢与动点相对,速度矢的矢积的两倍,，是由于牵连运动与相对运动相互影,响而产生的。,故,a,a,=,a,e,+,a,r,+,a,C,运动学,所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为,当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。,一般式,运动学,方向：按右手法则确定。,一般情况下,科氏加速度 的计算可以用矢积表示,关于科氏加速度,在自然界中可以观察到科氏加速度所表现出的现象。由于地球绕地轴转动，因此只要地球上物体相对地球运动的方向不与地轴平行，对于其它恒星而言，该物体就有科氏加速度。,在北半球，河水向北流动时，有向左的加速度，河水必然受右岸对水的向左作用力。根据作用与反作用定律，河水必对右岸有反作用力。北半球向北流动的江河，其右岸均受到较明显的冲刷，这也是,地理学中的一项规律。,由于地球自转角速度很小，所以一般工程问题都忽略其自转的影响，只有在某些特殊情形下才加以考虑。,D,A,B,C,解,：点,M,1,的科氏加速度,运动学,例,8,矩形板,ABCD,以匀角速度,绕固定轴,z,转动，点,M,1,和点,M,2,分别沿板的对角线,BD,和边线,CD,运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，计算点,M,1,、,M,2,的科氏加速度大小,并图示方向。,点,M,2,的科氏加速度,垂直板面向里,。,例,9,直角形曲柄,OBC,绕垂直于图面的轴,O,在一定范围内以匀角速度转动，带动套在固定直杆,OA,上的小环,M,沿直杆滑动。已知：,OB,=0.1m,，,rad/s,。试求当 时，小环,M,的速度和加速度。,解,：取小环,M,为动点，动系连于直角形杆,OBC,，静系连于固定直杆,OA,。,1,求小环,M,的速度,（,m/s,）,（,m/s,）,（,m/s,）,2,求小环,M,的加速度,牵连运动为绕定轴转动，,加速度合成定理,将各加速度矢量投影到轴上,（,m/s,2,）,（,m/s,2,）,（,m/s,2,）,解,:,动点,:,顶杆上,A,点；,动系,:,凸轮,;,静系,:,地面。,绝对运动,:,直线,;,绝对速度,:,v,a,=?,待求,方向,/,AB,;,相对运动,:,曲线,;,相对速度,:,v,r,=?,方向,n,;,牵连运动,:,定轴转动,;,牵连速度,:,v,e,=,r,，,方向,OA,，,。,运动学,例,10,已知：凸轮机构以匀,绕,O,轴转动，图示瞬时,OA,=,r,，,A,点曲率半径,已知。,求：该瞬时顶杆,AB,的速度和加速度。,运动学,根据速度合成定理,做出速度平行四边形,运动学,由,加速度合成定理,作出,加速度矢量图,如图示,向,n,轴投影,：,解,：,根据,做速度平行四边形,方向：与 相同,。,运动学,例,11,曲柄摆杆机构。已知：,O,1,A,r,1,;,取,O,1,A,杆上,A,点为动点，动系固结,O,2,B,上，试计算动点,A,的科氏加速度。,课堂练习,杆,CD,以匀角速度,=2rad/s,绕垂直图面的轴,C,转动，并通过其上的销钉,A,带动槽杆,OBE,绕轴,O,转动，如图所示。试求在图示瞬时槽杆,OBE,的角速度和角加速度（图中尺寸单位为,mm,）。,运动学,例,12,已知,:,凸轮半径,r,图示时 杆,OA,靠在凸轮上。,求：杆,OA,的角速度、角加速度。,a,解,:,取凸轮上,C,点为,动点,动系,固结于,OA,杆上,静系,固结于基座。,绝对运动,:,直线运动,绝对速度,:,相对运动,:,直线运动,相对速度,:,牵连运动,:,定轴转动,牵连速度,:,如图示,。,根据速度合成定理,做出速度平行四边形,（）,运动学,运动学,点的合成运动,习题课,一概念及公式,1.,一点、二系、三运动,点的绝对运动为点的相对运动与牵连,运动的合成,2.,速度合成定理,3.,加速度合成定理,牵连运动为平动时,牵连运动为转动时,运动学,1.,选择动点、动系、静系。,2.,分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。,3.,作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量,(,速度,角速度）。,4.,作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、,角加速度未知量。,二解题步骤,运动学,二解题技巧,1.,恰当地选择动点,.,动系和静系,应满足选择原则,.,，具体地有：,a.,两个不相关的动点，求二者的相对速度。,根据题意,选择其中之一为动点,动系为固结于另一点的平动,坐标系。,b.,运动刚体上有一动点，点作复杂运动。,该点取为动点，动系固结于运动刚体上。,c.,机构传动,传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,相对于另一个刚体运动。,导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。,凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮 接触点为动点。,运动学,d.,特殊问题,特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而,变化,.,此时,这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满,足前述的选择原则的非接触点为动点。,2.,速度问题：,一般采用几何法求解简便,即作出速度平行四边形；,加速度问题,：,往往超过三个矢量,一般采用解析（投影）法求,解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。,四注意问题,1.,牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。,2.,牵连转动时作加速度分析不要丢掉，正确分析和计算。,3.,加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程,的投影式不同。,4.,圆周运动时，,非圆周运动时，,(,为曲率半径,),运动学,r,已知,:,OA,l,=45,o,时，,w,e,;,求,：小车的速度与加速度,解,：,动点：,OA,杆上,A,点,;,动系：固结在滑杆上,;,静系：固结在机架上。,绝对运动：圆周运动，,相对运动：直线运动，,牵连运动：平动；,一、曲柄滑杆机构,请看动画,运动学,小车的速度,：,根据速度合成定理 做出速度平行四边形,如图示,投至,x,轴,：,，,方向如图示,小车的加速度,：,根据牵连平动的加速度合成定理,做出速度矢量图如图示,。,运动学,二、摇杆滑道机构,解,：,动点,:,销子,D,(,BC,上,);,动系,:,固结于,OA,；,静系,:,固结于机架。,绝对运动：直线运动，,相对运动：直线运动，,，沿,OA,线,牵连运动：定轴转动，,（）,已知,求,:,OA,杆的,。,根据,速度合成定理,做出速度平行四边形,如图示,。,请看动画,运动学,投至,轴,：,（）,根据,加速度合成定理,运动学,请看动画,三、曲柄滑块机构,解,：,动点,:,O,1,A,上,A,点,;,动系,:,固结于,BCD,上,静系固结于机架上。,绝对运动：圆周运动,;,相对运动：直线运动,;,牵连运动：平动,;,，水平方向,运动学,已知：,h,;,图示瞬时,;,求,:,该瞬时 杆的,w,2,。,根据,做出速度平行四边形,再选动点：,BCD,上,F,点,动系：固结于,O,2,E,上，,静系固结于机架上,绝对运动：直线运动，,相对运动：直线运动，,牵连运动：定轴转动,，,根据做出速度平行四边形,）,（,运动学,解,:,取凸轮上,C,点为动点，,动系固结于,OA,杆上，,静系固结于地面上,绝对运动,:,直线运动，,相对运动,:,直线运动，,牵连运动,:,定轴转动，,已知,：凸轮半径为,R,，,图示瞬时,O,、,C,在一条铅直线上;已知;,求,:该瞬时,OA,杆的角速度和角加速度。,分析,:,由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。,四、凸轮机构,方向,请看动画,运动学,）,(,做出速度平行四边形,知,根据,根据,做出加速度矢量图,投至,轴,：,转向由上式符号决定，,0,则，,0,则,运动学,（请看动画）,五、刨床机构,已知,:,主动轮,O,转速,n,=30 r/min,OA,=150mm,图示瞬时,OA,OO,1,求,:,O,1,D,杆的,1,、,1,和滑块,B,的,。,运动学,运动学,其中,）,(,解：,动点：轮,O,上,A,点,动系：,O,1,D,静系：机架,根据,做出速度平行四边形,。,根据,做出加速度矢量图,投至方向,：,）,(,运动学,再选动点,:,滑块,B,;,动系,:,O,1,D,;,静系,:,机架。,根据,做出速度矢量图,。,投至,x,轴,：,根据,做出加速度矢量图,运动学,其中,六、套筒滑道机构,图示瞬时,h,已知,求,:,套筒,O,的,，,。,解：,方法,1,：,A,点作直线运动,代入图示瞬时的已知量，得,（）,（）,请看动画,运动学,对比两种方法,（）,投至 方向,：,（）,方法,2,：,动点,:,CD,上,A,点，,动系,:,套筒,O,，,静系,:,机架,运动学,其中,七、,已知圆盘和导杆的角速度分别为,1,=9,rad,s,，,2,=3,rad,s,，试求图示位置销钉,M,的加速度大小。,分别选圆盘和导杆为动系，销,钉,M,为动点，速度如图所示。由,其中,cm/s,cm/s,将式在图示,x,轴上,投影得,代入数据得,cm/s,将式在,OM,方向投影，得,cm/s,动点,M,的加速度,其中,cm/s,2,cm/s,2,cm/s,2,cm/s,2,将式向,x,轴投影，得,代入已知数据得,cm/s,2,cm/s,2,故,课堂练习,2,谷物联合收获机的拔禾轮传动机构在铅垂面的投影为平行四连杆机构，如图所示。曲柄,OA=O,1,B,=570mm,，,OA,转速,n,=36r/min,，收获机前进速度,v,=2km/h,。试求,=60,时，,AB,杆端点,M,的水平速度和铅垂速度。,运动学,第四章结束,