第5章窄带随机过程(修订).ppt

随机信号分析,第五章 窄带随机过程,5.1,预备知识,5.2,窄带随机过程的表示方法,5.3,窄带高斯随机过程包络与相位的概率密度,5.4,窄带高斯过程包络平方的概率密度,第五章 窄带随机过程,一个平稳随机过程，若它的功率谱密度在频率轴的某个区域之外为零，或者说，它的功率谱带宽为有限值，那么，便称它为限带随机过程，简称限带过程。,在限带过程中，根据其功率谱分布区域的不同，分为低通过程和带通过程。若平稳随机过程,X(t,),其功率谱密度 具有以下特点,则称,X(t,),为低通过程。,若,X(t,),的功率谱密度满足,则称,X(t,),为带通过程。,图,5.1,低通过程的功率谱密度,若在上式中，则称,X(t,),为高频窄,带随机过程，简称窄带随机过程,。,图,5.2,带通过程的功率谱密度,5.1,预备知识,5.1.1,复信号,一、正弦型信号的复数表示方法,简单的正弦型信号可以表示为,很明显，,s(t,),是,t,的实值函数，称,s(t,),为实信号。,对于式 的正弦信号来说，一种最常用的复数表示形式是复指数函数。定义复指数函数 为,或,式中 称之为复包络。,比较以上两式可得，,将复指数函数 展开，可得,式中，,s(t,),是原来的实信号，是另一个实信号。,设,s(t,),是任意实信号，具有频谱 ，根据前面的讨,论，任何实信号都具有双边带的频谱。为了简化分析，,我们想寻找一种复信号 ，它同时满足,式中，是该复信号 的频谱。,二、任意信号的复数表示方法,利用,令,则,现在假定我们已经找到一个复信号 ，它的频谱 满足,又,从而,解析信号,进一步得出,上式给出了解析信号 的虚部 和它的实部部（即原来的实信号）,s(t,),之间的关系式，把它称为希尔伯特（,Hilbert,）变换，记作,归纳以上的讨论，可以得出几点结论：,（,1,）对应于任何实信号,s(t,),，都可以找到一个同时,两个条件的复信号 。,（,2,）可将此复信号表示成解析表达式,其虚部 是,s(t,),的希尔伯特变换，即,（,3,）式 给出的是一种非常重要的复信号的表示形式。通常把它称为,s(t,),的解析信号或,s(t,),的预包络。,三、高频窄带信号的复数表示方法,所谓高频窄带信号（或简称窄带信号）是指信号的频谱限制在载波频率 附近的一个频率范围内，而且此频带范围远小于载波频率。,常将窄带信号表示为,展开可以得到,其中,由于 、都是低频限带信号。可见，和 也都是,低频限带信号，且 与 彼此正交。,1.,窄带信号的复解析表示,若,s(t,),为窄带信号，其振幅频谱 如图,5.3,所示，定义窄带信号的解析信号 为,式中，。从而 的振幅频谱 如图,5.4,所示。,图,5.3,窄带信号频谱举例,图,5.4,解析信号 的振幅频谱,2.,窄带信号的复指数表示,定义,s(t,),的复指数函数为,式中,通常，将 称为的复包络；将 称为复载频。,可见，复包络 也是低频限带信号。,即，复指数函数的实部就是窄,带信号,s(t,),。,下面再来求 的频谱 。,对下式两端作傅里叶变换，,并利用傅里叶变换的相乘性质及,可得,可见，具有单边带频谱。,下面我们再来求复指数函数 的频谱 与原来实信号,s(t,),的频谱 之间的关系,:,或,上式说明，用复指数信号 表示实窄带信号,s(t,),时，虽然它的实部仍为原来的实信号,s(t,),，但是，它的频谱 不满足,即 。这是复指数信号与解析信号的差别。,图,5.5,画出了窄带信号条件下，、和 之间的关系。,5,1,2,希尔伯特变换,定义：在区间 内给定实值函数,x(t,),，它的希尔伯特变换记作 （或者记作 ）,用 代入上式，进行变量置换，可得到上式的等效形式为,下面给出希尔伯特变换的两个重要性质：,（,1,）希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。,图,5.6,希尔伯特变换等效为,90,移相的线性滤波器,（,2,）希尔伯特逆变换为,5,1,3,解析过程及其性质,一、随机过程的一种复数表示,解析过程,定义：给定任一实随机过程，定义一复随机过程为,上式中，是,X(t,),的希尔伯特变换，它也是一实随机过程。,我们称为实随机过程复解析表达式，或称为解析过程。,下面列出解析过程的若干性质及简要证明：,1,若,X(t,),为广义平稳（实）过程，则 也是广义平稳（实）过程，且,X(t,),、联合平稳。,2.,根据图,5.7,，不难得出,图,5.7,希尔伯特变换的等效方框图,由希尔伯特变换的性质,1,可知，,于是可得,对上式作傅里叶逆变换，可得,以上说明，实随机过程,X(t,),和它的希尔伯特变换 具有相同的自相关函数和功率谱密度。,3,从互相关函数的定义出发进行证明,4.,5.,6.,7.,8.,9,图,5.8,实过程和解析过程的功率谱密度图形,5.2,窄带随机过程的表示方法,一个实平稳随机过程,X(t,),，若它的功率谱密度,具有下述性质,且带宽 满足,则称此随机过程为窄带平稳随机过程。,图,5.9,典型窄带随机过程的功率谱密度图,在通信、雷达等许多电子系统中，都常常用一个宽带平稳随机过程来激励一个窄带滤波器，这时，在滤波器的输出端得到的便是一个窄带随机过程。,图,5.9,窄带随机过程的的一个样本函数,5.2.1,窄带随机过程的莱斯,(Rice),表示式,任何一个实平稳窄带随机过程都可以表示为下式,上式又称之为莱斯表达式。,式中，是固定值，对于窄带随机过程来说，一般取窄带滤波器的中心频率。,其中,a(t,),和,b(t,),是另外两个随机过程。,在后面的讨论中，将假设具有零均值。,一、,a(t,),、,b(t,),的性质及简要证明,1.,a(t,),、,b(t,),都是实随机过程,2.,3.,a(t,),、,b(t,),各自广义平稳，且联合平稳，以及,4.,5.,6.,7.,8.,9.,其中,LPA,表示取,A,的低频部分。,5.2.2,窄带随机过程表示为准正弦振荡,仿照对高频窄带信号的表示方法，将窄带随机过程表示为,式中，是窄带随机过程的中心频率或称载波频率。并将这种形式称为准正弦振荡。,5.3,窄带高斯随机过程包络与相位的概率密度,在许多实际电子系统或电路中，我们经常遇到这样的情况，用一个宽带随机过程激励一个高频窄带线性系统（或简称窄带滤波器）。如图,5.15,所示。,图,5.15,窄带高斯过程的的产生,5.3.1,包络和相位的一维概率密度,假设 是一窄带平稳高斯实随机过程，具有零均值和方差 ，,其莱斯表达式为,则有以下关系,在任一给定的时刻 ，对,A(t,),和 采样，便可得到随机变量 和 。,将由式,所表示的 之间的函数关系记为,相应的反变换关系为,一、求,为求得 ，先来研究 的某些统计特性。,1.,都是高斯随机变量。,2.,的均值皆为零，即,3.,具有相同的方差，且都等于,X(t,),的方差 。,4.,相互独立。应用 的性质可得,即 正交。,二、求,利用,式中,J,为雅可比因子,可得,三、求,通过对 求边沿概率密度，便可得到,上式给出了包络,A(t,),的一维概率密度函数表达式，通常将它称为瑞利分布，其图形如图,5.16,所示。,图,5.22,瑞利概率密度函数,同理，的一维概率密度函数为,可见，随机相位在 区间呈均匀分布。,比较以上三式，还可以得到,上式告诉我们，在同一时刻,t,，随机变量 相互独立，但也应注意，这并不意味着随机过程,相互独立。,5,3,2,包络和相位的二维概率密度（,P322,）,一、求,二、求 各自的二维联合概率密度,5.3.3,正弦型信号与窄带高斯噪声之和的包络,及相位的概率密度,假设,X(t,)=,S(t)+N(t,),其中，,S(t,),为具有相位的正弦型信号，即,式中，为已知常数，区间均匀分布的随机变量。,N(t,),为平稳窄带实高斯随机过程，具有零均值和方差。,称,N(t,),为噪声。并设它的功率谱密度对称与 。,很明显，,X(t,),也是一个窄带随机过程。,将,N(t,),表示为莱斯表达式,其中，,我们还可将,X(t,),表示为准正弦振荡形式,与式 比较可得,一、求条件二维概率密度 （,P327,）,二、求 （,P328,）,三、求 （,P328,）,5.4,窄带高斯过程包络平方的概率密度,在许多实际应用中，常常在高频窄带滤波器的输出端接入一平方律检波器，如图,5.19,所示。在平方律检波器输出端便得到包络的平方 。,图,5.19,高频窄带滤波器加平方检波器,5.4.1,窄带高斯噪声包络平方的概率密度,当窄带随机过程为一具有零均值、方差为 的平稳高斯噪声时，其包络,A(t,),的一维年概率密度为瑞利密度函数,令,由此得到雅可比因子为,于是,上式表明，的概率密度为指数密度函数。,5.4.2,正弦型信号加窄带高斯噪声包络平方的概率密度,当窄带随机过程为正弦型信号加窄带高斯噪声时，即,经过推导可得包络平方 的一维概率密度为,令 ，可得归一化随机变量 的概率密度函数为,5.4.3,分布和非中心 分布,一、分布,图,5.20,视频信号积累原理图,为了避免混淆，用 来代替 。,求得 的概率密度为,此式称为自由度为,n,的 分布。,式中，为 的函数。即,图,5.21,画出了几个不同自由度下 的图形。,图,5.21,变量的概率密度函数,分布的性质：,（,1,）两个独立的 变量之和仍为 变量。,（,2,）由特征函数与矩的关系，可求得,n,个自由度的 变量的均值 和方差,二、非中心 分布,自由度为,n,的非中心 分布，的概率密度为,式中，非中心参量 表示视频积累后的功率信噪比。,在图,5.22,中画出了不同信噪比 和样本数,n,情况下的非中心 函数。,图,5.22,非中心 变量的概率密度函数,非中心 分布的性质：,（,1,）两个统计独立的非中心 变量之和仍为非中心 变量。若它们的自由度分别为 ；非中心参量分别为,，则和变量的自由度为 ；非中心参量为,（,2,）非中心 变量的均值和方差分别为,例,5.1,设图,5.20,中加至平方律检波器输入端的窄带随机过程,X(t,),为,其中 为有用信号；为非随机变量。,N(t,),是平稳窄带高斯噪声，均值为,0,，方差为 。起功率谱对称与 。,X(t,),经检波并作归一化处理以后，独立取样,m,次，求加法器输出端随机变量的概率密度及其参数。,（,P340,）,图,5.20,视频信号积累原理图,