一,正(负)定二次型的概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5-4,正定二次型,本节中讨论实数域上,(,正惯性指数等于二次型阶数,),占有特殊地位的二次型正定二次型。,一、,正,(,负,),定二次型的概念,为,正定二次型,为,负定二次型,例如,实二次型,是正定的当且仅当,证明,二、正,(,负,),定二次型的判别,Definition 5,.,称实对称矩阵,A,为正定矩阵,若,A,确定的二次型,X,AX,是正定二次型,.,一个实对称矩阵,A,是,正定的充分必要条件是矩阵,A,与单位矩阵合同,.,推论,:,正定矩阵的行列式大于零,.,这个定理称为霍尔维茨定理,定理,6,对称矩阵 为正定的充分必要条件是：,的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主,子式为负，而偶数阶主子式为正，即,证明：必要性：设,二次型,是正定的。对于每个,k,1kn,，,令,对任意一组不全为零的实数,有,因此 是正定的。,由推论，的矩阵行列式,0,k=1,n.,这说明矩阵,A,的顺序主子式全大于零,。,充分性：用数学归纳法证明,.,正定矩阵具有以下一些简单性质,3.,非退化的线性替换保持正定性不变,例,1,判别二次型,是否正定,.,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的,.,例,3,判别二次型,的正定性,.,解,2.,正定二次型,（,正定矩阵,）的判别方法：,(1),定义法,；,(2),顺次主子式判别法,；,(3),特征值判别法,.,四、小结,1.,正定二次型的概念，正定二次型与正定,矩阵的区别与联系,3.,根据正定二次型的判别方法，可以得到,负定二次型,（,负定矩阵,）相应的判别方法，请大,家自己推导,思考题,作业：,P,238,7,11,思考题解答,