训练5：圆周运动中的临界问题.doc

物理必修（2）训练5——圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题求解策略
圆周运动是一种特殊的也是较为简单的曲线运动，它可分为匀速圆周运动和变速圆周运动．它们服从相同的力学规律，但又有着不同的运动特征，其临界问题也是错综复杂的．
一、圆周运动的特征与解题基本思路
1.匀速圆周运动的动力学特征
(1)始终受合外力作用，合外力提供向心力，其大小不变，始终指向圆心。（，）
(2)匀速圆周运动的动力学方程：
根据题意，可以选择相关的运动学量如v，ω，T，f列出如下动力学方程：
，， ， .
熟练掌握这些方程，会给解题带来方便．
2．变速圆周运动的动力学特征
(1)受合外力作用，但合力并不总是指向圆心，且合力的大小也是可以变化的（合外力的法向分量提供向心力，切向分量改变速度的大小）。
(2)合外力的分力(在某些位置上也可以是合外力)提供向心力．
3．解答圆周运动问题时的注意事项
(1)明确圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径；
(2)确定是匀速圆周运动还是变速圆周运动，以确定运用相应的物理规律；
(3)正确进行受力分析，并进行相应的分解(一般是沿法向和切向进行正交分解)，再根据牛顿第二定律沿半径方向列出动力学方程；
(4)注意圆周运动问题中的临界状态及临界条件的确定．
二、圆周运动中的临界问题
在变速圆周运动中的某些特殊位置上，常存在着最小(或最大)的速度，小于(或大于)这个速度，物体就不能再继续作圆周运动了，此速度即为临界速度．在这个位置，物体的受力必满足特定的条件，这就是临界条件．当物体的受力发生变化时，其运动状态随之变化．当某力突然变为零时，对应物体出现相应的临界状态．常见的如绳子突然断裂、支持物的作用力突然变化、静摩擦力充当向心力时突然消失或达最大值等．通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法．
1．竖直平面内圆周运动临界问题
竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型：
（1）绳模型 （注意：绳对小球只能产生拉力）

绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力T（圆轨道问题可归结为轻绳类，圆轨道问题中只能产生沿半径方向的支持力N），如下图
N
mg

T
mg
O

①. 在最高点时： (或：)
小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用

②. 当时，质点可通过最高点；
③. 当时，质点不能运动到最高点，实际上质点还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动.

【例题1】 如右图，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s2,求：

(1) 在最高点时，绳的拉力？
(2) 在最高点时水对小杯底的压力？
(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?

（2）杆模型（杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力）
有物体支撑的小球在竖直平面内作圆周运动的情况. 小球在圆管道内作圆周运动的情况类似杆模型。 如下图所示，
O
杆

b
a

临界条件：由于杆（或管壁）的支撑作用，小球恰能过最高点的临界速度.
小球过最高点时，轻杆对小球的弹力N情况：
①. 当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于重力，即N=mg.
②. 当时，，即，轻杆对小球有向上的支持力，其大小随速度的增大而减小.取值范围：.
③.当时，向心力完全由重力提供，N=0.（杆对球作用力为推力还是拉力的临界速度）
④. 当，则，即，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.

【例题2】 如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求：
（1）小球在最高点A时速度为多大时，才能使杆对小球m 的作用力为零？
（2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？

（3）如m = 0.5kg，L = 0.5m，= 0.4m/s，则在最高点A时，杆对小球m的作用力是多大? 是推力还是拉力?

总结：竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题，其关键是分清属于“轻绳”类还是“轻杆”类.“轻绳”类只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力，在最高点时对物体拉力为零是临界条件，即；而对于“轻杆”类，在最高点时，“轻杆”对物体既可产生拉力，也可产生支持力，还可对物体的作用力为零，杆与物体之间的作用力为零是临界条件，即：N=0

物理情景
图示
在最高点的临界特点
做圆周运动条件
细绳拉着小球在竖直平面内运动

T=0

在最高点时速度应不小于
小球在竖直放置的光滑圆环内侧运动

N=0

在最高点时速度应不小于
小球固定在轻杆上在竖直面内运动

在最高点速度应大于0
小球在竖直放置的光滑管中运动

在最高点速度应大于0

（3）小球在凸、凹弧上运动

如图，小球在凸半球最高点运动
①. 当，小球不会脱离球面，且能通过球面最高点

②. 当，因轨道不对小球产生弹力，故此时小球将刚好脱离球面做平抛运动。
③. 当小球已经脱离球面最高点做平抛运动。
如图，小球若通过凹半球的最低点时，速度只要v>0即可.

【例题3】 汽车质量为，以不变速率通过凸形路面，路面半径为15m，若汽车安全行驶。则汽车不脱离最高点的临界速度是多少？若汽车达到临界速度时将做何种运动？水平位移为多少？

（4）水平面内作圆周运动的临界问题
①. 物体在水平转台上作圆周运动
静摩擦力f提供向心力．当转台的转速逐渐增大时，静摩擦力随之增大，f达到最大值时，对应有临界角速度和临界速度．
【例题4】 在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO/旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A，设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L。将物块置于离圆心R处，R＞L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A相对圆盘始终未滑动。当ω增大到时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。
O/
R
O’
A

②．火车转弯

若内外轨等高，外轨对轮缘的侧压力提供向心力，铁轨和车轮极易受损；
若外轨高于内轨，支持力与重力的合力提供部分向心力：

当时，轮缘不受侧向压力
当时，轮缘受到外轨向内的挤压力
当时，轮缘受到内轨向外的挤压力

（5）求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围
【例题5】 如图，直杆上0102两点间距为L，细线O1A长为，O2A长为L，A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？

【例题6】 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）
A
B
O
O
r
ω

三、反馈练习
1. 如图所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为，圆筒的半径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为：
A. B. C. D.
A
L
O
m

2. 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，
小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m／s，
g取10m／s2，则此时细杆OA受到 （ ）
A. 6.0N的拉力 B. 6.0N的压力
C. 24N的拉力 D. 24N的压力
3. 长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ）
A.小球过最高点时速度为零 B.小球开始运动时绳对小球的拉力为mv2/r
C.小球过最高点时绳对小的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为
4. 如图所示，长为L的轻杆一端固定一个小球，另一端固定在光滑水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在过最高点的速度,下列叙述中正确的是：（ ）
A.的极小值为
B. 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C.当由值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D.当由值逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐增大
5. 如图所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L1；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列答案中正确的是(　　)
A．L1＝L2 B．L1>L2
C．L1<L2 D．前三种情况均有可能

6. 半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图示。
今给小物体一个水平初速度，则小物体将（ ）
A.沿球面下滑至 M 点
B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动
Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动
D.立即离开半圆球做平抛运动

7. 汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m／s时，车对桥的压力为车重的。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （　　　）
A、15 m／s B、20 m／s C、25 m／s D、30m／s

8. 用一根细绳，一端系住一个质量为m的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h处，绳长l大于h，使小球在桌面上做匀速圆周运动．求若使小球不离开桌面，其转速最大值是(　　)
A． B． C． D．

9. 火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是( )
A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损
　　　B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损
　　　C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损
　　　D.以上三种说法都是错误的
10. 在水平铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了（ ）
A. 减轻火车对外轨的挤压 B. 减轻火车对内轨的挤压
C. 火车倾斜是使车身重力和支持力的合力提供向心力 D. 限制火车脱轨

11. 如图所示，水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中（ ）
A．B对A的支持力越来越大 B．B对A的支持力越来越小
C．B对A的摩擦力越来越大 D．B对A的摩擦力越来越小

12. 如图，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，
小球半径为r，则下列正确是(　　)

A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

13. m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A为终端皮带轮，如图所示，已知皮带轮半径为 r，传送带与皮带轮间不会打滑，当m可被水平抛出时，A轮每秒的转数最少是(　　)
A. B. C. D.

14. 质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时杆子停止转动，则(　　)

A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳被烧断瞬间，a绳中张力突然增大
C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动

15. 如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角2θ。当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面，此时绳的拉力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？

16. 如图所示，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为,，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，g取.
（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；
A
B
（2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角速度应满足的条件。

17. 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是压力的μ倍。求：
r
o
ω

⑴当转盘角速度ω1＝时，细绳的拉力T1。
⑵当转盘角速度ω2＝时，细绳的拉力T2。

18. 沿半径为R的半球型碗底的光滑内表面，质量为m的小球正以角速度ω，在一水平面内作匀速圆周运动，试求此时小球离碗底的高度。
R
h

19. 杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=1/2mg，求这时小球的即时速度大小。

20. 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为mA，B球的质量为mB。它们沿环形圆管顺时针运动，当A球运动到最低点时的速度为vA，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，B球的速度vB为多大？

21. 某实验中学的学习小组在进行科学探测时，一位同学利用绳索顺利跨越了一道山涧，他先用绳索做了一个单摆，通过摆动，使自身获得足够速度后再平抛到山涧对面，如图所示，若他的质量是M，所用绳长为L，在摆到最低点B处时的速度为v，离地高度为h，当地重力加速度为g，则：
(1)他用的绳子能承受的最大拉力不小于多少？(2)这道山涧的宽度不超过多大？

22. 如图所示，被长L的轻杆连接的小球A能绕固定点O在竖直平面内作圆周运动，O点竖直高度为h，如杆受到的拉力等于小球所受重力的5倍时就会断裂，则当小球运动的角速度为多大时，杆恰好断裂? 小球飞出后，落地点与O点的水平距离是多少?

23. 小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为3d/4，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。求：
（1）绳断时球的速度大小；
（2）绳能承受的最大拉力；
（3）改变绳长（绳承受的最大拉力不变），保持手的位置不动，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

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