函数模型和其应用.doc

函数模型及其应用
典型例题
(1)一次函数模型的应用
例1 某市一家报刊摊点，从报社进一种报纸的价格是每份0.20元，零售价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退给报社.在一个月(以30天计算)中，有20天每天可以售出400份报纸，其余10天每天只能售出250份 ，但每天从报社买进的份数必须相同.若摊主每天从报社买进x(250≤x≤400)份，写出这个摊主这个月所获利润y(元)关于x的函数表达式；这个摊主每天从报社进多少份该报纸，才能使每月所获利润最大？
分析：由于一个月内有10天售出的份数与另外20天售出的份数不同，因而所获利润要分两段计算，而每天进多少份使利润最大则需结合函数的单调性分析．
解：设每天从报社买进x()份，则每月共可销售份，每份可获利润0.10元；退回报社份，每份亏损0.15元，则依题意，得
，
函数在上单调递增，时，(元)．
答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．
点评：解决实际问题的关键是仔细审题，弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题加以解决．
(2)二次函数模型的应用
例2 某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，现在决定从中分流x万人去加强第三产业，分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加﹪(0<x <100),而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a万元，在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？
分析：保证第二产业的产值不减少是约束条件，使该市第二、三产业的总产值增加最多是追求目标．
解：分流出x万人，为保证第二产业的产值不减少，必须满足
，因为a>0，x>0，可解得．设该市第二、三产业的总产值增加万万元，则＝，且在上单调递增，当x=50时，．
答：在保证第二产值不减少的情况下，分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总
产值增加最多.
点评：二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是一定要注意自变量的取值范围，利用二次函数配方法，通过对称轴与单调性求解是这一类函数的基本方法．
(3)指数函数模型的应用
例3 按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数式．如果存入本金元，每期利率为，试计算期后的本利和是多少？
分析：按复利计算利息的储蓄，本质上是增长率问题．可以一期一期地推求．
解：已知本金为元，期后的本利和为：．期后的本利和为：．
期后的本利和为：．由此推导，得期后的本利和为：．将，，代入上式，由计算器算得元．
答：复利计算下本利和随存期变化的函数式为，期后的本利和是元．
点评：复利计息问题的实质是指数函数模型应用，单利计息问题为定义在整数集上的一次函数模型，解题时要加以区分．
(4)幂函数模型的应用
例4 1999年10月12日为“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增加的紧迫任务摆在我们的面前．
(1) 世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
(2) 我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？
以下数据供计算时使用：
数N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
对数lgN
0.0043
0.0065
0.0073
0.1173
0.3010
数N
3.000
5.000
12.48
13.11
13.78
对数lgN
0.4771
0.6990
1.0962
1.1176
1.1392
分析：增长率是指数函数与幂函数问题，利用已知条件，列出函数模型．
解：(1) 设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则．由题意，当n=40时，y=30，即，，两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，则，,的x=1.7%．
(2) 依题意，，得 ，，故人口至多有13.78亿．
答：每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.
点评：此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型(其中为基础数，为增长率，为时间)和幂函数模型(其中为基础数， 为增长率，为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意已知表格中给定的值对应求解．
(5)对数函数模型
例5 测量地震级别的里氏是地震强度(即地震释放的能量)的常用对数值，显然级别越高，地震强度也越高．如日本1923年地震是级，旧金山1906年地震是级，1989年地震是级，试计算一下日本1923年地震强度是级的几倍？是级的几倍？(参考数据)
分析：根据题意知，地震级别的里氏与地震强度之间满足对数关系，可以根据地震级别求出地震强度，也可将地震强度的比转化为对数进行运算．
解：用、、分别表示级、级、级地震的地震强度，则题意知，，，．由于，∴．由于，∴．
答：日本1923年地震强度是级的倍，是级的倍．
点评：地震级别每提高一点时，其强度就可能提高好多倍，其带来的灾害影响就会特别严重．
(6)“”型函数模型
例6 已知按A设计方案，建造一栋房子的造价是由地面部分和基础部分两部分造价组成，若建造一栋面积为M的房子，地面部分的造价，基础部分的造价(其中为正实数)，又知按A设计方案建造一栋面积为1600的住房，共造价是176.8万元，且地面部分的造价是基础部分的36％．现要按A设计方案，建造总面积为40000的住房若干栋，试问：建造多少栋可使其总造价最少？
分析：根据题设条件，要先求出、，再建立总造价与栋数间的函数模型．
解：由题意，面积为的一栋房子造价为，
由，解得，．设建造栋房子，可使总造价最低，则．
∴面积为的一栋房子造价为
，
总造价．考察函数的单调性可得，
在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取得最小值．∴当，即时最小．
答：建造栋可使其总造价最少．
点评：对于形如型的函数模型问题的解决常利用函数的单调性解决(在后续的学习中，也会采用基本不等式处理)，但要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
(7)分段函数模型的应用
例7 医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(OA为线段，AB为某二次函数图象(抛物线)的一部分，O为原点，B为抛物线的顶点)．
(1) 写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2) 据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病的有效时间是多少？
分析：图中的两段曲线分别是一次函数和二次函数的图象的一部分，可以用待定系数法分别求出．
解：(1) ∵线段为经过，，∴段函数关系式，．
∵段为二次函数图象(抛物线)的一部分，且为抛物线的顶点．∴可设对应的二次函数为，又抛物线过，∴．∴段的函数关系式为，．
∴服药后与的函数关系式为．
(2) 当时，，得，当时，，
得，有，，.
答：服药一次治疗疾病有效的时间为小时．
点评：分段函数是实际应用问题中经常遇到的一种函数，不同范围的自变量所遵循的规律不同，对应的函数解析式也就不一样，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律(函数解析式)分别找出来，再将其合到一起．求解时要注意各段自变量的范围，特别是端点值.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不漏不重．
简单数据拟合
如何合理的选择函数模型是将实际问题转化为数学问题的关键所在，下面我们在看两例，加深感悟和理解．
例1 南方某地市场信息中心为了分析本地区家种野菜“芦蒿”的供求关系，通过调查得到市场需求量和供应量数据(见下表)．
芦蒿的市场需求量信息表⑴
需求量吨
40
38
37.1
36
32.8
30
价值千元/吨
2
2.4
2.6
2.8
3.4
4
芦蒿的市场供应量信息表⑵
价值千元/吨
2
2.5
3.2
4.46
5
5.3
供应量吨
29
32
36.3
40.9
44.6
47
(1) 试写出描述芦蒿市场需求量关于价格的近似函数关系式；
(2) 试根据这些信息，探求市场对芦蒿的供求平衡量(需求量与供应量相等时，又称为供求平衡量)(近似到吨)．
分析:通过图表给出信息，分别作出散点图即可获得函数模型，从而求解．
解：(1) 在直角坐标系中，由表⑴描出数对对应的点，由图1(见下图)可知这些点近似地构成一条直线(其中四个点在一直线上)，所以
芦蒿市场需求量关于价格的近似函数关系式可
设为，选择点和代入，
可解得，，∴ ①

(2) 同理如图2(见上图)，可知芦蒿市场供应量关于价格的近似函数关系式可设为 ② 解①②联立的方程组，得，．∴市场对芦蒿的供求平衡量为吨．
答：(1) 芦蒿市场需求量关于价格的近似函数关系式为；(1) 市场对芦蒿的供求平衡量为吨．
点评：此类题目为开放型的探究题，函数模型是不确定的，需要我们去探索、尝试，找到最合适的模型，解题过程一般为：(1) 根据散点图找出合适的函数模型；(2) 求出函数解析式；(3) 利用所求的函数解析式解决问题．
例2 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10kg)与上市时间t(单位：元)的数据情况如下表：

时间/t
50
110
250
种植成本/Q
150
108
150
(1) 根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系： Q=at+b，Q=,Q=，Q=；
(2) 利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数及最低种植成本.
分析：要选择最能反映芦荟种植成本与上市时间之间的变化关系的函数式，应该分析各函数的发展情况，通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的数据是否相符来判断哪个函数最优.
解：(1)由所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，故用函数Q=at+b，Q=，Q=中的任意一个来反映时都应有，而上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q=进行描述.
将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=，可得
，解得
所以，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=.
(2) 由第(1)问，当天时，芦荟种植成本价格最低为Q=(元/10kg)
点评：合理的选择函数模型，应从实际出发，分析数据的发展情况，以寻求最优函数模型.