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发表于《新高考》
深入探究变力做功的求法
（南京市第九中学 李小满）
功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程。基于功和能之间的紧密联系，能否正确求解各种力做功往往成为能否运用功和能关系解题的关键。因此，功尤其是变力做功一直是高考的热点，亦是考生应考的难点，很多学生对此感到无所适从，关键在于没有系统地研究功的求法。本文在简单阐述功的一般求解方法的基础上，着重讨论变力做功的解法。
一般来说，功的计算攻势只适用于求恒力做的功，这类问题通常比较简单，本文不做讨论。对于变力做功一般不能依定义式直接求解，但可依据物理规律通过技巧的转化间接求解，主要有微元法、图像法、平均力法、能量法等，各种方法都有优点和缺陷，应该综合运用这些方法。本文以例题讨论各种具体的方法，并指出各种方法适用的条件。
【案例分析】
一．微元法
微元法的基本思路是将物体的运动过程无限分割成若干等份，这时可以认为在每一个极短的时间或过程内，物体所受的力是一个恒力，从而可以运用求解每一个阶段上力所做的功，最后再求这些功的代数和，就是整个过程中该变力所做的功。
s1
s2
s3
图1
例题1、用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知滑块与轨道间动摩擦因数为μ，滑块质量为m，求此过程中摩擦力做的功。
【解析】由题意知，物体受的摩擦力在整个过程中大小F=μmg不变、方向时刻变化，是变力。如果我们把整个圆周分割为无数个小微元段，每一小段可近似看成小直线段，在每一小段上摩擦力方向不变，于是在每一小段上摩擦力做的功都可以用恒力做功的公式计算，然后将各微元段上力所做的功累加起来，便可求得最终的结果。如图，把圆轨道分成s1、s2、s3、……、sn微小段，摩擦力在每一段上为恒力则在每一段上做的功W1= —μmg s1，W2= —μmg s2，W3= —μmg s3，……，Wn= —μmg sn，
那么摩擦力在物体运动一周的过程中对物体所做的功为
W=W1+W2+W3+……+Wn= —μmg（s1+s2+s3+……+sn）= —μmg·2πR
所以滑块运动一周摩擦力做功为—2μmgπR。
【总结】从理论上说，微元法适用于求一切力做的功，但是在中学阶段，由于数学知识有限，这种方法只适合于求大小不变，方向变化的变力所做的功，这是因为只有当力的大小不变时，求功的代数和，才可以提取公共项，从而求出最终的结果。
二．F-S图像法
如图，F-S图像中，图线与坐标轴围成的面积代表力F在相应的位移上对物体做的功。
S
F
0
S
F
0

图2 图3
如果图像比较复杂，例如图2，可以用求积分的方法求面积（功）；如果F-S图像是比较简单的一次函数图像，例如图3，可以用求梯形或三角形面积的方法求功，非常简单。
例题2、如图4所示，长度为L的矩形板，以一定的初速度沿光滑的水平面平动时，垂直滑向宽度为l的粗糙地带，板从开始受阻到停下来，所经过路程为s，而l<s<L，设板面与粗糙地带之间的动摩擦因数μ，求此过程中摩擦力对木板做的功。
木板
v
L
木板
s
地
地
l
图4

【解析】首先分析运动过程：
0→l过程：木块所受的摩擦力逐渐变大，是一个变力，设位移为x时，摩擦力为f，则：

作出图像，是正比例图像

图5

可以用求三角形“面积”的方法求功，

l→s过程：这个过程中，摩擦力f是一个恒力，所以：

所以，此过程中摩擦力对木板做的功为：

三．平均力法
如果参与做功的变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可求出平均力等效代入公式W=scosθ求解。
仍以上面的例题为例，采用平均力法求功如下：
0→l过程：，摩擦力随位移均匀增大，可以用平均力代替这个变力求功，
平均力大小为：

l→s过程
由动能定理
四．动能定理法
能是物体做功的本领，功是能量转化的量度.由此，对于大小、方向都随时变化的变力F所做的功，可以通过对物理过程的分析，由其做功的结果——动能的变化来求变力的功：.
例题3、一个质量为m的小球拴在细绳的一端，另一端用大小为F1的拉力作用，在水平面上做半径为R1的匀速圆周运动，如图所示。今将力的大小改为F2，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径为R2。小球运动的半径由R1变成R2的过程中拉力对小球做的功多大？

m
F
o
图6

【解析】本题由于绳的拉力是物体在两个轨道圆周运动的向心力，是变力。在轨道变化过程中该力做功属于变力做功，但不能直接求其功，而是先由向心力公式求出初、末状态动能，再由动能定理求出该力的功。
设半径为R1、R2时小球做圆周运动的速度分别为v1、v2，
由向心力公式得：
根据动能定理：
解得：
一般来说，如果力的变化情况比较复杂，没有什么变化规律，用动能定理往往能比较简便地求解变力做的功。
五．变力做功几种方法的综合运用
以上探讨的几种变力做功的解法，每种方法都有优点和缺点，在实际解题时，应该综合运用这些方法，下面以一道例题为例，谈谈如何综合运用这几种方法求解变力做功。
例题4、面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块。木块边长为a，密度为水的1/2，质量为m。开始时，木块静止，有一半没入水中，如图5所示。现用力F将木块缓慢地压到池底。不计摩擦。求:从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F所做的功。

图7
【解析】本题的研究过程是：从开始到木块刚好完全没入水中。显然，这个过程中，要保持木块缓慢运动，F是一个变力，那么该怎样求这个变力所做的功呢？
方法1：F-s图像法：我们可以研究F随位移S变化的函数图像，用求面积的方法求功。
为此，我们任意选取木块被压入过程中的一个状态，研究力F随位移S的变化关系，如图6

x

图8
设物体的位移为，压力的大小为，方向竖直向下，则：
----------------------(1)
又因为------------------(2)
所以：
可见，随位移成正比例关系，作出的图像如图所示
x
0
f

图9
所以：----------------------(4)
考虑到初始位置时，有一半没入水中，所以：
----------------------------------------(5)
综合(4)(5)得：
方法2：平均力法：因为，压力大小随位移均匀增大，可以用平均力代替这个变力求功，平均力大小为：

考虑到初始位置时，有一半没入水中，所以：
----------------------------------------(5)
所以：

方法3：功能关系法：因为水池面积很大，所以木块完全没入水中的过程中相当于紧靠木块正下方有木块体积一半的水上升至水面
∴水的重力势能增加
木块的重力势能减少
∴
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