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和式的恒等变换
一.知识归纳
在不等式的证明过程中，我们时常要对和式进行处理，对和式作一些恒等变形.因此，有必要了解一下一些重要的恒等变换式以及变换法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）.
Abel分部求和公式：

Abel不等式：
设.则有：

二.赛题精讲
例1. 证明Lagrange恒等式：
.

例2. 实数集满足以下条件：
（1）； （2）对. 求证：.

例3.已知，满足.
求证：（1989年全国高中数学联赛）

例4.设.求证：，这里表示不超过的最大整数.（第10届美国数学奥林匹克）

例5.设，且，求的最大值和最小值.

例6.实数满足，令.求的最大可能值.（2001年上海市高中数学竞赛）

例7.已知和是实数.证明：使得对任何满足的实数，不等式恒成立的充要条件是，且.（第27届IMO国家集训队选拔考试）

例8.证明：对每个正整数，有.不等式两边等号成立当且仅当.

三.赛题训练
1.设是给定的正整数，，对于个给定的实数，记为的最小值.求在的条件下的最大值.

2.已知为任意两两各不相同的正整数.求证：对任意正整数，下列不等式成立：
（第20届IMO）（提示：由阿贝尔变换得，其中.）

3.（钟开莱不等式）设，对，恒有.则必有.（提示：先用阿贝尔变换证明，再用柯西）

4.已知是实数列，满足.证明：
（1）；
（2）（2002年全国高中数学联赛四川省、重庆市初赛）
（提示：（1）复制条件并倒序相加；（2）仿（1）得，再对求证式左边用阿贝尔变换）

5.设.求证：
（提示：令，结论转化为，用阿贝尔变换及均值不等式可得）
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