迭代法解线性方程组数值分析实验报告.doc

数学与计算科学学院

《数值分析 》课程设计

题 目： 迭代法解线性方程组
专 业： 信息与计算科学
学 号： 1309302-24
姓 名： 谭 孜
指导教师： 郭 兵
成 绩：
二零一六年 六月 二十日

一 、前言：（目的和意义）
1.实验目的 
①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。
②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。 
2.实验意义 
   迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。

二、数学原理：
设有方程组
…①
将其转化为等价的，便于迭代的形式
…②
(这种转化总能实现，如令),
并由此构造迭代公式
…③
式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。对任意的初始向量，由式③可求得向量序列，若，则就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性
1.雅可比迭代法基本原理
设有方程组
…①
矩阵形式为,设系数矩阵A为非奇异矩阵，且
从式①中第i个方程中解出x，得其等价形式
…②
取初始向量，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：
…③
也可记为矩阵形式：
…④
若将系数矩阵A分解为A=D-L-U，

式中
，

，

。

则方程Ax=b变为
得
于是

于是式中④中的 。
式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代法的收敛性。

2.高斯—赛德尔迭代法
高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式为
（i=1,2,…,n）
也可以写成矩阵形式

仍将系数矩阵A分解为
则方程组变为
得
将最新分量代替为旧分量，得

即
于是有
所以

3.超松弛迭代法
设已知第k次迭代向量，及第k+1次迭代向量的前i-1个分量，（j=1,2,…i-1）,现在研究如何求向量的第i个分量。
首先，有高斯—赛德尔迭代法求出一个值，记为
（i=1,2,…n）
再将第k次迭代向量的第i个分量与进行加权平均，
得，即：

于是的SOR迭代公式
(i=1,2,…n) …①
或
（i=1,2,…n） …②
当=1时，式①即为高斯—赛德尔迭代法；
当0<<1时，式①称为低松弛方法，当某些方程组用高斯—赛德尔迭代法不收敛时，可以用低松弛方法获得收敛；
当>1时，式①称为超松弛方法，可以用来提高收敛速度。
将式②写成矩阵的形式，得：

即
于是得SOR迭代的矩阵表示

式中

三、 举例说明及代码
例1：解下面方程组.（雅克比迭代方法、高斯-赛德尔和松弛法的比较）

解：先计算迭代矩阵：

BJ与BG的特征值跟收敛半径为

所以，用雅可比迭代法求解，迭代过程收敛，而用高斯-塞德尔迭代法求解，迭代过程发散。
取x0=(0;0;0),为达到精度10-5，取w=0.1。
雅可比迭代法
松弛法
3
184
代码：
1. 雅可比迭代法
function [x,k]=jacobi(A,b,x0,esp) %k为迭
A=input('Input A=');
b=input('Input b=');
x0=input('Input x0=');
esp=1.0e-5;
k=0;
n=length(b);
x=x0;
while max(abs(b-A*x0))>esp&k<=500; for i=1:n
sum=0;
for j=1:n
if j~=i
sum=sum+A(i,j)*x0(j); end
end
x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end
x0=x;
k=k+1;
if k>500
fprintf('迭代达到上限')
return
end
end
k
Input A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1];
Input b=[1 1 1]';
Input x0=[0 0 0]'
运行结果：
k =
3
ans =
-3
3
1
2.高斯-赛德尔迭代法
clear;clc;
A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1];
b=[1 1 1]';
N=length(b);%解向量的维数
fprintf('库函数计算结果：');
x=inv(A)*b%库函数计算结果
x=zeros(N,1);%迭代初始值
%-----(A=D-E-F)------
D=diag(diag(A));
E=-tril(A,-1);%下三角
F=-triu(A,1);%上三角
B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;
eps=0.0001;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代
%--------开始迭代-------
for k=1:1000%最大迭代次数为100
fprintf('第%d次迭代：',k);
y=B*x+g;
fprintf('\n与上次计算结果的距离(2范数):%f?\n',norm(x-y)^2); if norm(x-y)<eps
break;
end
x=y
end
x

运行结果：（因为发散结果不能确定）

3.松弛迭代法
w=0.1;dalt=1.0e-5;
A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1];
b=[1 1 1]';
r=size(b);a=b;
x0=zeros(3,1);
x=x0;
r=r(1);m=0;e=1;
for t=1:r
a(t)=A(t,t);
A(t,t)=0;
A(t,:)=A(t,:)/a(t);
end
b=b./a;
root=[0 x']
while e>dalt
root=m;
e=0;
for i=1:r
t=x(i);
x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);
root=[root x(i)];
t=abs(x(i)-t);
if t>e
e=t;
end
end
root
m=m+1;
end

运行结果：
root =

184.0000 -3.0001 3.0000 1.0000

例2：（超松弛法）达到同样的精度10-5，松弛因子的不同，会使得收敛速度大大不同（w取1.0—1.9）

代码：
w=1;dalt=1.0e-5;
A=[4 1 1 1;1 -4 1 1;1 1 -4 1;1 1 1 -4];
b=[1;1;1;1];
r=size(b);a=b;
x0=zeros(4,1);
x=x0;
r=r(1);m=0;e=1;
for t=1:r
a(t)=A(t,t);
A(t,t)=0;
A(t,:)=A(t,:)/a(t);
end
b=b./a;
root=[0 x']
while e>dalt
root=m;
e=0;
for i=1:r
t=x(i);
x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);
root=[root x(i)];
t=abs(x(i)-t);
if t>e
e=t;
end
end
root
m=m+1;
end

运行结果整理：

松弛因子
迭代次数
松弛因子
迭代次数
1.0
7
1.6
32
1.1
8
1.7
3368（不收敛）
1.2
10
1.8
1946（不收敛）
1.3
13
1.9
1372（不收敛）
1.4
17

1.5
23

例3：用三种方法分别计算下列方程组并进行比较：

解： 雅克比迭代法
1） 改写成等价形式

2） 构造迭代公式，即为雅可比迭代公式

3） 取初始向量，即代入上式，求出

依次迭代，计算结果如下表：
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
7
（1.0994,1.1994,1.2993）
0.001
9
（1.0999，1.1999,1.2999）
0.0001
13
（1.1000,1.2000,1.3000）

‚ 高斯-赛德尔迭代法
1） 原方程组改为等价方程组

2） 构造迭代公式，即为高斯-赛德尔迭代公式

3） 取初始向量，即代入上式，求出

迭代计算下去，得下表.
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
4
（1.0931，1.1957,1.2978）
0.001
5
（1.0991,1.1995,1.2997）
0.0001
7
（1.1000,1.2000,1.3000）

ƒ超松驰迭代法(取松驰因子).
利用SOR方法，构造迭代公式

与高斯-赛德尔方法相同，初值为.迭代计算结果列于下表.
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
5
（1.0986,1.1998,1.0331）
0.001
7
（1.0999,1.2000,1.2999）
0.0001
8
（1.1000,1.2000,1.3000）

代码：
1.雅可比迭代法
function [x,k]=jacobi(A,b,x0,esp) %k为迭
A=input('Input A=');
b=input('Input b=');
x0=input('Input x0=');
esp=1.0e-5;
k=0;
n=length(b);
x=x0;
while max(abs(b-A*x0))>esp&k<=500; for i=1:n
sum=0;
for j=1:n
if j~=i
sum=sum+A(i,j)*x0(j); end
end
x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end
x0=x;
k=k+1;
if k>500
fprintf('迭代达到上限')
return
end
end
k
Input A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];
Input b=[7.2 8.3 4.2]';
Input x0=[0 0 0]'

运行结果：
k =
13
ans =
1.1000
1.2000
1.3000
2.高斯-赛德尔迭代法
clear;clc;
A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];
b=[14 -5 14]';
N=length(b);%解向量的维数
fprintf('库函数计算结果：');
x=inv(A)*b%库函数计算结果
x=zeros(N,1);%迭代初始值
%-----(A=D-E-F)------
D=diag(diag(A));
E=-tril(A,-1);%下三角
F=-triu(A,1);%上三角
B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;
eps=0.0001;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代
%--------开始迭代-------
for k=1:100%最大迭代次数为100
fprintf('第%d次迭代：',k);
y=B*x+g;
fprintf('\n与上次计算结果的距离(2范数):%f?\n',norm(x-y)^2); if norm(x-y)<eps
break;
end
x=y
end
x

运行结果：

k=
7
x =

1.0000
1.0000
1.0000

3.松弛迭代法
w=1.3;dalt=1.0e-2;
A=[10,-1,-2;-1,10,-2;-1,-1,5];
b=[7.2,8.3,4.2]';
r=size(b);a=b;
x0=zeros(3,1);
x=x0;
r=r(1);m=0;e=1;
for t=1:r
a(t)=A(t,t);
A(t,t)=0;
A(t,:)=A(t,:)/a(t);
end
b=b./a;
root=[0 x']
while e>dalt
root=m;
e=0;
for i=1:r
t=x(i);
x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);
root=[root x(i)];
t=abs(x(i)-t);
if t>e
e=t;
end
end
root
m=m+1;
end

运行结果：
root =

0 0 0 0
root =

0 0.9360 1.2007 1.6475
root =

1.0000 1.2396 1.3083 1.2602
root =

2.0000 1.0618 1.1522 1.2896
root =

3.0000 1.1025 1.2120 1.3069
root =

4.0000 1.1026 1.1985 1.2982
root =

5.0000 1.0986 1.1998 1.3001

例4：用三种方法分别计算下列方程组并进行比较：

解： 雅克比迭代法
2） 改写成等价形式

2） 构造迭代公式，即为雅可比迭代公式

3） 取初始向量，即代入上式，求出

依次迭代，计算结果如下表：
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
21
(1.1986,1.3939,1.5977,0.7962)
0.001
32
(1.1996,1.3998,1.5994,0.7999)
0.0001
53
(1.2000,1.4000,1.6000,0.8000)

‚ 高斯-赛德尔迭代法
1） 原方程组改为等价方程组

2） 构造迭代公式，即为高斯-赛德尔迭代公式

3） 取初始向量，即代入上式，求出

迭代计算下去，得下表.
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
8
(1.1880,1.3843,1.5873,0.7936)
0.001
14
(1.1991,1.3988,1.5990,0.7995)
0.0001
19
(1.1999,1.3999,1.5999,0.7999)

ƒ超松驰迭代法(取松驰因子).
利用SOR方法，构造迭代公式

与高斯-赛德尔方法相同，初值为.迭代计算结果列于下表.
要求精度
迭代次数
方程组的近似解
0.01
6
(1.1961,1.3984,1.5987,0.7994)
0.001
8
(1.1998,1.4000,1.6002,0.8000)
0.0001
12
(1.2000,1.4000,1.6000,0.8000)

代码：
1.雅可比迭代法
function [x,k]=jacobi(A,b,x0,esp) %k为迭
A=input('Input A=');
b=input('Input b=');
x0=input('Input x0=');
esp=1.0e-2;
k=0;
n=length(b);
x=x0;
while max(abs(b-A*x0))>esp&k<=500; for i=1:n
sum=0;
for j=1:n
if j~=i
sum=sum+A(i,j)*x0(j); end
end
x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end
x0=x;
k=k+1;
if k>500
fprintf('迭代达到上限')
return
end
end
k
Input A=[2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2];
Input b=[1 0 1 0]';
Input x0=[1 1 1 1]'

运行结果：
k =
21
ans =
1.1986
1.3939
1.5977
0.7962
2.高斯-赛德尔迭代法
clear;clc;
A=[2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2];
b=[1 0 1 0]';
N=length(b);%解向量的维数
fprintf('库函数计算结果：');
x=inv(A)*b%库函数计算结果
x=ones(N,1);%迭代初始值
%-----(A=D-E-F)------
D=diag(diag(A));
E=-tril(A,-1);%下三角
F=-triu(A,1);%上三角
B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;
eps=0.01;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代
%--------开始迭代-------
for k=1:100%最大迭代次数为100
fprintf('第%d次迭代：',k);
y=B*x+g;
fprintf('\n与上次计算结果的距离(2范数):%f?\n',norm(x-y)^2); if norm(x-y)<eps
break;
end
x=y
end
x

运行结果：
k=
8
x =

1.1880
1.3843
1.5873
0.7936

3.松弛迭代法
w=1.4;dalt=1.0e-2;
A=[2 -1 0 0;-1 2 -1 0;0 -1 2 -1;0 0 -1 2];
b=[1 0 1 0]';
r=size(b);a=b;
x0=ones(4,1);
x=x0;
r=r(1);m=0;e=1;
for t=1:r
a(t)=A(t,t);
A(t,t)=0;
A(t,:)=A(t,:)/a(t);
end
b=b./a;
root=[0 x']
while e>dalt
root=m;
e=0;
for i=1:r
t=x(i);
x(i)=(1-w)*x(i)+w*(b(i)-A(i,:)*x);
root=[root x(i)];
t=abs(x(i)-t);
if t>e
e=t;
end
end
root
m=m+1;
end

运行结果：
root =
0 1.0000 1.0000 1.7000 0.7900
root =
1.0000 1.0000 1.4900 1.6160 0.8152
root =
2.0000 1.3430 1.4753 1.6569 0.8338
root =
3.0000 1.1955 1.4066 1.6055 0.7903
root =
4.0000 1.2064 1.4057 1.5950 0.8004
root =
5.0000 1.2014 1.3952 1.5989 0.7991
root =
6.0000 1.1961 1.3984 1.5987 0.7994
四、 实验结果比较和分析
由例1可得，如果高斯-塞德尔迭代法不收敛，雅可比迭代法收敛，松弛法的迭代因子没取好，雅可比迭代法收敛更快。由例2可得对于松弛法，不同的收敛因子，会得到不同的收敛结果。由例3可得，如果雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法同时收敛，松弛法的松弛因子选定较差，高斯-塞德尔迭代法的收敛速度比较快。由例4可得，当松弛法的松弛因子取得比较好时，在三种方法同时收敛的情况下，松弛法收敛比较快。

五、成员分工：
组长：谭孜 任务：查找资料，完善整个设计文档
成员：李德辉 任务：上机操作，输出结果及调试
成员：叶青青 任务：整篇文档的设计及部分代码的修改
成员：琚超人 任务：整理完成结果分析

六、 参考文献
[1]李庆扬、王能超、易大义《数值分析第5版》 清华大学出版社
[2]宋岱才 SOR迭代法的一个收敛性定理
[3] 王沫然 《MATLAB 与科学计算（第二版）》[M] 北京：电子工业出版社
[4]赵丹 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法的研究