例说正方形性质的应用.doc

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例说正方形性质的应用
江苏 韩丽
图1
正方形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质：①边方面：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；②角方面：四个角都是直角；③对角线方面：两条对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.历年中考题总会出现有关利用正方形的性质探索线段的数量关系及角之间的关系的问题，求解时只要我们能充分利用正方形的性质，结合图形大胆探索、归纳、验证即可使问题获解.
例1 如图1，在正方形ABCD中，∠CBF=25°，BF交对角线AC于点E，则∠AED＝ .
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠ACB=∠ACD=45°.
又∵EC=EC，
∴△CBE≌△CDE.
∴∠CBE=∠CDE=25°.
∴∠AED=∠ECD+∠CDE=45°+25°=70°.
图2
例2 如图2，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）
A. 1 B. C. 4-2 D. 3-4
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°.
∵∠BAE=22.5°，
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=67.5°.
在△AED中，∠ADE=45°，
∴∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=67.5°.
∴∠EAD=∠AED.
∴ED=AD=4.
由勾股定理，得BD=4，
∴BE=BD-ED=4-4.
∵EF⊥AB，∠FBE=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形.
由勾股定理，得EF2+BF2=BE2，即2EF2=（4-4）2，
图3
解得EF=4-2.故选C.
例3 如图3，边长为3的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F，则图中阴影部分的面积是 ．
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠EAO=∠FCO.
在△∠AOE和△∠COF中，
∴△AOE≌△COF.
∴S△AOE=S△COF.
∴S阴影=S△AOE+S△DOF=S△AOD.
∵S正方形ABCD=9，
∴S△AOD=.
∴图中阴影部分的面积是.