线性卷积与圆周卷积演示程序的设计.doc

实验一 线性卷积与圆周卷积演示程序的设计

实验报告

姓名

学号

专业班级

指导老师

分数

《数字信号处理课程设计》任务书
题目1
线性卷积演示程序的设计（线性移不变离散时间系统的求解）
主要
内容
1、动态演示线性卷积和圆周卷积的完整过程；
2、对比分析线性卷积与圆周卷积的结果。
设计
要求
1、动态演示线性卷积和圆周卷积的过程（即翻转、移位、乘积、求和的过程）；
2、圆周卷积默认使用2序列中的最大长度，且卷积前可设定用以进行混叠分析；
3、根据实验结果分析2类卷积的关系；
4、利用FFT实现快速卷积，验证时域卷积定理，并与直接卷积进行效率对比。
主要
仪器
设备
1、计算机1台，安装MATLAB软件
主要
参考
文献
[美]维纳.K.恩格尔，约翰.G.普罗科斯著，刘树棠译.数字信号处理——使用MATLAB[M].西安：西安交通大学出版社，2002.
飞思科技产品研发中心编著.MATLAB7辅助信号处理技术与应用[M].北京：电子工业出版社，2005.
课程设计进度安排（起止时间、工作内容）
课程设计共设16个设计题目，每班3至4人为1组，1人1套设备，每组选作不同的题目，4个班共分4批。完整课程设计共20学时，为期1周，具体进度如下：
5学时 学习题目相关知识，掌握实现原理；
5学时 用MATLAB语言实现题目要求；
5学时 进一步完善功能，现场检查、答辩；
5学时 完成并提交课程设计报告。
课程设计开始日期
2013.12.30
课程设计完成日期
2014.1.5
课程设计实验室名称
健翔桥校区计算中心
地 点
计算中心
资料下载地址
各班公共邮箱
实验一 线性卷积与圆周卷积演示程序的设计
一、 实验目的
目的：① 熟练掌握MATLAB工具软件在工程设计中的使用；
② 熟练掌握线性卷积与圆周卷积的关系及LSI离散时间系统系统响应的求解方法。
要求：① 动态演示线性卷积的完整过程；
② 动态演示圆周卷积的完整过程；
③ 对比分析线性卷积与圆周卷积的结果。
步骤：① 可输入任意2待卷积序列x1(n)、x2(n)，长度不做限定。测试数据为：
x1(n)={1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0}，x2(n)={0,1,2,1,0,0,0,1,2,1,0,0}；
② 分别动态演示两序列进行线性卷积x1(n)﹡x2(n)和圆周卷积x1(n)⊙x2 (n)的
过程；要求分别动态演示翻转、移位、乘积、求和的过程；
③ 圆周卷积默认使用2序列中的最大长度，但卷积前可以指定卷积长度N
用以进行混叠分析；
④ 根据实验结果分析两类卷积的关系。
⑤ 假定时域序列x1(n)、x2(n)的长度不小于10000，序列内容自定义。利用
FFT实现快速卷积，验证时域卷积定理，并与直接卷积进行效率对比。
二、实验原理
1、线性卷积：
线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为，系统的单位脉冲响应为，输出序列为，则系统输出为：

或
上式称为离散卷积或线性卷积。

图1.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。
0

L. T. I
h(n)

→ L. T. I —→ —→ —→

图1.1 线性时不变系统的输入、输出关系
2、圆周卷积
D F T
设两个有限长序列和，均为点长
D F T

如果
则

N
上式称为圆周卷积。
注：为序列的周期化序列；为的主值序列。
上机编程计算时，可表示如下：

3、两个有限长序列的线性卷积
序列为点长，序列为点长，为这两个序列的线性卷积，则为

且线性卷积的最大长，也就是说当和时。
4、圆周卷积与线性卷积的关系
序列为点长，序列为点长，若序列和进行N点的圆周卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于圆周卷积的长度：
当时圆周卷积等于线性卷积，即
N
当时，圆周卷积等于两个序列的线性卷积加上相当于下式的时间混叠，即

三、实验步骤
已知两个有限长序列

1、实验前，预先笔算好这两个序列的线性卷积及下列几种情况的圆周卷积 ⑤ ⑥ ⑨ ⑩
2、编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列与的圆周卷积。
3、上机调试并打印或记录实验结果。
4、将实验结果与预先笔算的结果比较，验证其正确性。

五、实验报告
1、列出计算两种卷积的公式，列出实验程序清单（包括必要的程序说明）。

2、记录调试运行情况及所遇问题的解决方法。
3、给出实验结果，并对结果作出分析。验证圆周卷积两者之间的关系
实验结果
（1） 程序
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0];%生成x(n)
hn=[0,1,2,1,0,0,0,1,2,1,0,0];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,5);%用函数circonv计算N1点圆周卷积
ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);%画图
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');

题目：已知两个有限长序列
x(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+4δ(n-3)+5δ(n-4)
h(n)=δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2)+2δ(n-3)
计算以下两个序列的线性卷积和圆周卷积
（1）x(n)⑤y(n) (2)x(n)⑥y(n) (3)x(n)⑨y(n) (4)x(n)⑩y(n)
● 调用函数circonv
function yc=circonv(x1,x2,N)
%用直接法实现圆周卷积
%y=circonv(x1,x2,N)
%y:输出序列
%x1,x2:输入序列
%N:圆周卷积的长度
if length(x1)>N
error;
end
if length(x2)>N
error;
end
%以上语句判断两个序列的长度是否小于N
x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];%填充序列x1(n)使其长度为N，序列h(n)的长度为N1,序列x(n)的长度为N2
x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];
%填充序列x2(n)使其长度为N
n=[0:1:N-1];
x2=x2(mod(-n,N)+1);
%生成序列x2((-n))N，镜像，可实现对x(n)以N为周期的周期延拓，加1是因为MATLAB向量下标只能从1开始。
H=zeros(N,N);%生成N行N列的零矩阵
for n=1:1:N
H(n,:)=cirshifted(x2,n-1,N);%该矩阵的k行为x2((k-1-n))N
end
yc=x1*H';%计算圆周卷积

● 调用函数cirshiftd
function y=cirshiftd(x,m,N)
%直接实现序列x的圆周移位
%y=cirshiftd(x,m,N)
%x:输入序列，且它的长度小于N
%m:移位位数
%N：圆周卷积的长度
%y:输出的移位序列
if length(x)>N
error('x的长度必须小于N');
end
x=[x,zeros(1,N-length(x))];
n=[0:1:N-1];
y=x(mod(n-m,N)+1);

• 函数（1）x(n)⑤y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,5);%用函数circonv计算N1点圆周卷积
ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);%画图
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');

• 函数（2）x(n)⑥y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,6);%用函数circonv计算N1点圆周卷积
ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');

• 函数（3）x(n)⑨y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,9);%用函数circonv计算N1点圆周卷积
ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');

• 函数（4）x(n)⑩y(n)
clear all;
N1=5;
N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n)
hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,10);%用函数circonv计算N1点圆周卷积
ny1=[0:1:length(yln)-1];
ny2=[0:1:length(ycn)-1];
subplot(2,1,1);
stem(ny1,yln);
ylabel('线性卷积');
subplot(2,1,2);
stem(ny2,ycn);
ylabel('圆周卷积');

六、思考题：
①圆周卷积与线性卷积的关系：
若有x1(n)与x2（n）两个分别为N1与N2的有限长序列，则它们的线性卷积y1（n）为N1+N2-1的有限长序列，而它们的N点圆周卷积y2（n）则有以下两种情况：1，当N<N1+N2-1时，y2（n）是由y1（n）的前N点和后（N1+N2-1-N）点圆周移位后的叠加而成；N> N1+N2-1时，y2（n）的前N1+N2-1的点刚好是y1（n）的全部非零序列，而剩下的N-(N1+N2-1)个点上的序列则是补充的零。
②线性卷积运算步骤：
求x1(n)与x2（n） 的线性卷积：对x1(m)或x2（m）先进行镜像移位x1（-m），对移位后的序列再进行从左至右的依次平移x(n-m),当n=0,1,2.…N-1时，分别将x(n-m)与x2（m）相乘，并在m=0,1,2.…N-1的区间求和，便得到y（n）
③圆周卷积运算步骤：
圆周卷积过程中，求和变量为m，n为参变量，先将x2(m)周期化，形成x2((m))N,再反转形成x2((-m))N,取主值序列则得到x2((-m))NRN(m),通常称之为x2(m)的圆周反转。对x2(m)圆周反转序列圆周右移n,形成x2((n-m))NRN(m),当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到圆周卷积y(n)。
④用圆周移位代替线性移位的好处：
时域圆周卷积在频域上相当于两序列的DFT的相乘，而计算DFT可以采用它的快速算法——快速傅立叶变换（FFT），因此圆周卷积和线性卷积相比，计算速度可以大大加快。

七、实验总结：
通过本次实验，我掌握了线性卷积与圆周卷积软件实现的方法，并验证了两者之间的关系，同时，通过上机调试程序，进一步增强了我使用计算机解决问题的能力。使我对MATLAB有了一定的了解，也理解了线性卷积的概念；同时通过在网上的查阅相关资料使我增强了收集资料的能力