机械优化设计试题及答案.doc

计算题

1．试用牛顿法求的最优解，设。

初始点为，则初始点处的函数值和梯度分别为
，沿梯度方向进行一维搜索，有

为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件

，
从而算出一维搜索最佳步长
则第一次迭代设计点位置和函数值
，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。
2、试用黄金分割法求函数的极小点和极小值，设搜索区间
（迭代一次即可）
解：显然此时，搜索区间，首先插入两点，由式

　　　　计算相应插入点的函数值。
　　　因为。所以消去区间，得到新的搜索区间，
　即。
　　第一次迭代：
　　　　插入点，　
相应插入点的函数值，
　　由于，故消去所以消去区间，得到新的搜索区间，则形成新的搜索区间。至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。

3．用牛顿法求目标函数+5的极小点，设。
解：由 ，则
，其逆矩阵为
因此可得：
，从而经过一次迭代即求得极小点，
4.下表是用黄金分割法求目标函数 的极小值的计算过程，请完成下表。
迭代序号
a

b

比较

0
0.2

1

1

迭代序号
a

b

比较

0
0.2
0.5056
0.6944
1
40.0626
〉
29.4962
1
0.5056
0.6944
0.8111
1
29.4962
〉
25.4690

5、 求二元函数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在x0=[0 0]T处函数变化率最大的方向和数值？
解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P表示函数变化率最大和数值是梯度的模IIII 。求f(x1,x2)在点处的梯度方向和数值，计算如下：
===
IIII ==
P=
在平面上画出函数等值线和（0,0）点处的梯度方向P，如图2-1所示。从图中可以看出，在点函数变化率最大的方向P即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方向。

6、 用共轭梯度法求二次函数f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2 x1x2 的极小点及极小值？
解： 取初始点 x0
则 g0=
取 d0=-g0=
沿d0方向进行一维搜索，得
x1=x0+d0=
其中的为最佳步长，可通过f（x1）=
求得 =
则 x1 = =
为建立第二个共轭方向d1，需计算 x1 点处的梯度及系数值，得
g1=f（x1）=

从而求得第二个共轭方向
d1=-g1+d0=
再沿d1进行一维搜索，得
x2=x1+d1=
其中的为最佳步长，通过f（x2）=
求得 =1
则 x2= =
计算 x2点处的梯度
g2=f（x2）=
说明x2点满足极值必要条件，再根据x2点的海赛矩阵
G(x2)=
是正定的，可知x2满足极值充分必要条件。故x2为极小点，即

而函数极小值为。
7、求约束优化问题
Minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)2
s.t. h(x)=x1+2x2-2=0
的最优解？
解： 该问题的约束最优解为。
由图4-1a可知，约束最优点为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。
用间接解法求解时，可取=0.8，转换后的新目标函数为

可以用解析法求min，即令，得到方程组

解此方程组，求得的无约束最优解为：其结果和原约束最优解相同。图4-1b表示出最优点为新目标函数等值线族的中心。

图4-1
a）目标函数等值线和约束函数关系 b）新目标函数等值线