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计数原理

排列组合
标纲解读：1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
2.会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
3.理解排列、组合的概念，区分它们的异同。
4.能利用计数原理推到排列数公式、组合数公式，能解决简单实际问题。
命题规律与趋势：排列组合是高考每年必考内容之一，一般有1~2道小题，且多为选择题、填空题。虽然在高考之中所占比重不大，但试题都具有一定得灵活性和综合性。高考对排列、组合内容的考查一般以实际应用题形式出现，这是因为排列、组合的应用性比较强，并充满思辨性，解决具有多样性，符合高考选择题的特点，易于考查学生理解问题的能力、分析和解决问题的能力及分类讨论的思想。
突破方法：
1. 使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理。怎样确定是分类还是分步呢？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事情，而分“步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于明确分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间的交集为空寂，并集为全集，不论哪一类办法中的那一种方法都能单独完成事件。分步计数原理强调各步骤之间缺一不可，需要一次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法。
2. 排列与组合定义相近，它们的却别在于是否与顺序有关。
3. 复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验。
4. 按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义。
5. 处理排列、组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法结合原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能。
6. 运用分类计数原理时，要恰当选择分类标准，做到不重不漏。
7. 运用分步计数原理时，要确定好次序，并且每一步都是独立、互不干扰的，还要注意元素是否可以重复选取。
8. 对于复杂问题，可同时御用两个基本原理或借助列表、画图的方法来帮助分析。
9. 在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质。容易产生错误的是重复和遗漏计数
解题技巧：
1．解决排列与组合综合问题的方法和规律．
（1）排列与组合的应用题是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题．解决这类问题通常有三条途径：
① 以元素为主考虑，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
② 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③ 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．
前两种方法叫直接解法，后一种方法叫间接解法．
（2）在求解排列与组合应用问题时，应注意：
① 把具体问题转化或归结为排列或组合问题；
② 通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
③ 分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
④ 列出式子计算并作答．
2．常见的解题策略有以下几种：
（1） 特殊元素优先安排的策略
（2） 合理分类与准确分步的策略
（3） 排列、组合混合问题先选后排的策略
（4） 正难则反、等价转化的策略
（5） 相邻问题捆绑处理的策略
（6） 不相邻问题插空处理的策略
（7） 定序问题除法处理的策略
（8） 分派问题直排处理的策略
（9） “小集团”排列问题中先整体后局部的策略
（10） 构造模型的策略
3．解排列组合的应用题要注意以下几点：
（1） 仔细审题，判断是排列问题还是组合问题。要按元素性质分类，按事件发生的过程进行分步。
（2） 深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑。
（3） 对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。
（4） 由于排列组合问题答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一。
知识导学：
1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有种不同的方法，在第2类办法中，有种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝＋＋……＋种不同的方法.
2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有种不同的方法，做第2步，有种不同的方法，……做第ｎ步，有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝××…×种不同的方法.
排列数公式：

（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）

　（2）组合数公式

（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）

组合数的两个性质
　　　　　　　　　规定：

 例l、分类加法计数原理的应用
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
分析：该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类．
解法一：按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成 8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，l个．
由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l ＝ 36 个．
解法二：按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9 分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是l个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，
所以按分类加法计数原理共有 l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36个．
点评：分类加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法，每一类的各种方法都是相互独立的，每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事。解决该类问题应从简单分类讨论入手，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度考虑问题．
例2、分步乘法计数原理的应用
书架上的一格内有6本不同的书，现在再放上3本不同的书，但要保持原有书的相对顺序不变，那么所有不同的放法共有多少种？
解析：把3本不同的书放入书架，需保持书架上原有书的相对位置不变．
完成这件事分为三个步骤，每一步各放1本．
第一步有 m1 = 7 种放法，第二步有 m2 = 8 种放法，第三步有 m3 = 9 种放法，
由分步乘法计数原理可知，共有 N = m1×m2×m3 = 7×8×9= 504种放法．
 例3、两个计数原理的综合应用
有一项活动，需在 3 名老师，8 名男同学和 5 名女同学中选人参加．
（l）若只需一人参加，有多少种不同方法？
（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
（3）若需一名老师和一名同学有多少种不同选法？
解析：（l）有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有 5 种方法。
由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16 种选法．
（2）分三步选人：第一步选老师，有 3 种方法；第二步选男同学，有 8 种方法；第三步选女同学，有 5 种方法．由分步乘法计数原理，共有 3×8×5 = 120 种选法．
（3）可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名老师再选一名男同学，有 3×8 = 24 种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有 3×5＝15 种选法．
由分类加法计数原理，共有 24＋15＝39 种选法．
    点评：在用两个计数原理处理具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时要遵循“不重、不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．

例4、排列的应用问题
    六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（l）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端．
分析：本题主要考查有限制条件的排列应用题的解法及分类讨论的思想和分析问题、解决问题的能力．
解析：（l）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有种站法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有种站法，
根据分步乘法计数原理，共有站法480 （种）
方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站，有种站法，然后中间 4 人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法480 （种）
方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有480（种）
（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有240 （种）站法．
方法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种站法，再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有240 （种）
（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队，有种；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中，有种，故共有站法为= 480 （种）.
也可用“间接法”，6 个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有240 种站法，所以不相邻的站法有－720－240＝480（种）．
（4）方法一：先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有种站法．
方法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有144 种站法．
（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有种站法．
方法二：首先考虑两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有种站法．
（6）方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有种，共有种站法．
方法二：以元素甲分类可分为两类：① 甲站右端有种，② 甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有种，故共有=504 种站法．
例5、组合的应用问题
课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
（1）只有一名女生；2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；
（5）既要有队长，又要有女生当选．
解析：（l）一名女生，四名男生．故共有350 （种）
（2）将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 =165 （种）
（3）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：（种）．
或采用间接法：825 （种）
（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．
故选法为：（种）
（5）分两类：第一类女队长当选：；第二类女队长不当选：
。
故选法共有：（种）
例6、排列、组合的综合应用问题
从1，3，5，7，9五个数字中选2个，0，2，4，6，8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？
分析：从 5 个奇数中选出 2 个， 5 个偶数中选 3 个，按有 0 与无 0 分成两类，含 0 时，从其余 4 个偶数中再选出 2 个；不含0 时，从其余 4 个偶数中再选出 3 个，然后再排成五位数．
解析：从 5 个奇数中选出 2 个，再从 2、4、6、8 四个偶数中选出 3 个，排成五位数，有4800个．从 5 个奇数中选出 2 个，再从 2，4，6，8 四个偶数中再选出 2 个，将选出的 4 个数再选一个做万位数．余下的 3 个数加上 0 排在后 4 个数位上，有=5760 个．由分类加法计数原理可知这样的五位数共有=10560 个．
（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
【答案】B
【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.

（2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
【解析】B：本题考查了排列组合的知识
∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有

（2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有
（A）30种 （B）36种
（C）42种 （D）48种
解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法
即=42
法二：分两类
甲、乙同组，则只能排在15日，有=6种排法
甲、乙不同组，有=36种排法，故共有42种方法
（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有种方法
甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法
故共有1008种不同的排法
（2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A） （B） （C） （D）
答案：A
（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144
解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3＝24个
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3＝12个
算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个
答案：C
（2010天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种
【答案】D
【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。
（1） B,D,E,F用四种颜色，则有种涂色方法；
（2） B,D,E,F用三种颜色，则有种涂色方法；
（3） B,D,E,F用两种颜色，则有种涂色方法；
所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。
【温馨提示】近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练。
（2010全国卷1理数）(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

（2010四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
（A）36 （B）32 （C）28 （D）24
解析：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×＝24种
如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×＝12种
共计12＋24＝36种
答案：A
（2010湖北文数）6．现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是
A． B. C. D.

（2010湖南理数）7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10 B.11 C.12 D.15

（2010湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B.126 C.90 D.54
8．【答案】B
【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确
（2010浙江理数）（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.
解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题
（2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。
【答案】 1080
【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有2个是平均分组，得，再全排列得：

（2010全国卷1文数）(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.
【解析2】:
二项式定理
一、知识导学
1.二项式定理：
上列公式所表示的定理叫做二项式定理.
右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有ｎ＋1项.
其中各项的系数叫做二项式系数.
式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即＝.
2.二项式系数的性质：
　（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式得到.　
　（2）增减性与最大值. 二项式系数，当ｒ＜时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.
（3）各二项式系数的和.的展开式的各个二项式系数的和等于.
二、疑难知识导析
1．二项式定理是代数公式
　和的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的.同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解.
2．对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式.通项公式＝在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项.
3．二项式定理的特殊表示形式
（1）.
　　这时通项是＝.
（2）.
　　这时通项是＝.
（3）.　　　即各二项式系数的和为.
4．二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即

例7、求二项展开式中的指定项
已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（l）证明展开式中没有常数项；
（2）求展开式中所有有理项．
分析：此类问题一般由通项公式入手分析，要注意系数和二项式系数、常数项和有理项的概念区别．
解析：依题意，前三项系数的绝对值是1，，
       且，即
       （n=1舍去）

       （1）若为常数项，当且仅当，即3r=16，
，∴这不可能，∴展开式中没有常数项。
（2）若为有理项，当且仅当为整数。
，4，8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是

例8、求二项展开式中系数最大的项
在的展开式中，求：（l）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；
（3）系数最大的项．
分析：求二项式系数最大的项，利用性质考虑，展开式中的中间项（或中间两项），系数最大的项，必须将x、y 前的系数均考虑进去，包括“＋、－”号．
    解析：
       （1）二项式系数最大的项是第11项。
       。
       （2）设系数绝对值最大的项是第r+1项，于是
       ，
       化简得，解之得
       所以r=8，即是系数绝对值最大的项。
       （3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r－1项系数最大，于是
       ，
       化简得
       解之得r=5，得2×5－1=9项系数最大。

    点评：二项式系数、系数是两个不同的概念，二项式系数最大的项一定是展开式中的中间项（或中间两项）；而系数最大的项通过解不等式组的方法解决，且一定要考虑到系数前的符号．

例9、求展开式中各项系数的和
若，求：
    （1）（2）（3）
解析：（1）令x = 0，则令则

       （2）令x=－1，则
                  ②
       由得：

       （3）由得：

例10、整除或求余问题
（1）求证：能被25整除；
（2）求证：能被26整除（n为大于1的偶数）
       分析：（1），而，将此二项式展开后就会出现；
       （2）先利用等比数列求和，然后应用类似（1）的方法。
       解析：（1）原式

以上各项均为25的整数倍，故得证。
（2）因为

而

因为n为大于1的偶数，所以能被26整除。
所以能被26整除。
 （2010江西理数）6. 展开式中不含项的系数的和为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，答案为0.
（2010重庆文数）（1）的展开式中的系数为
（A）4 （B）6
（C）10 （D）20
解析：由通项公式得
（2010全国卷1文数）(5)的展开式 的系数是
(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.
【解析】
的系数是 -12+6=-6
（2010全国卷1理数）(5)的展开式中x的系数是
(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

（2010全国卷2理数）（14）若的展开式中的系数是，则 ．
【答案】1
【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.
【解析】展开式中的系数是.
（2010辽宁理数）（13）的展开式中的常数项为_________.
【答案】-5
【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法
【解析】的展开式的通项为，当r=3时，，当r=4时，，因此常数项为-20+15=-5
（2010全国卷2文数）(14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________
【解析】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识
∵ ，∴ ，∴
（2010四川理数）（13）的展开式中的第四项是 .
解析：T4＝
答案：－
（2010四川文数）(13)(x－)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)
解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝
取r＝2得常数项为C42(－2)2＝24
答案：24
（2010湖北文数）11.在的展开中， 的系数为______。
【答案】45
【解析】展开式即是10个（1-x2）相乘，要得到x4，则取2个1-x2中的（-x2）相乘，其余选1，则系数为，故系数为45.
（2010湖北理数）11、在（x+ ）的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。
【答案】6
【解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.

【模拟试题】
一、选择题（每小题5分，满分60分）
1、9种产品中有3种是名牌，要从这9种产品中选出5种参加博览会，而且名牌产品要求全部参加，那么不同的选法种数是（    ）
       A、36            B、30            C、15            D、12
  2、由数字1、2、3、4、5可以组成没有重复数字且比15000大的正整数（    ）
       A、102个             B、96个        C、126个             D、78个
  3、A、B、C、D、E五个学生排成一列，甲必须排在乙的前面（可以不相邻）的排法共有（    ）
       A、          B、               C、             D、
  4、以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有多少个（    ）
       A、6              B、8              C、12            D、30
  5、某班上午要上语文、数学、计算机、体育四门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是（    ）
       A、6              B、          C、8              D、
  6、若，且x<55，则等于（    ）
       A、             B、             C、             D、
  7、已知集合M={1，2，3，…，10}，A是集合M含有3个元素的子集，且其中至少有2个偶数元素，这样的子集有多少个（    ）
       A、60                   B、120                 C、160                 D、720
  8、把18个人分成3排，每排6人，则不同排法的总数是（    ）
       A、                        B、             C、               D、
  9、的展开式中，有理项的个数是（    ）
       A、16            B、17            C、12            D、13
  10、二项式的展开式中系数最大的项为（    ）
       A、第2n+1项                     B、第2n+2项
C、第2n项                        D、第2n+1项或第2n+2项
  11、已知集合M={1，2，3，4，5，6}，N={6，7，8，9}，从M中选3个元素，N中选2个元素组成一个含5个元素的新集合C，则这样的集合C共有（    ）
       A、126个             B、120个             C、90个               D、26个
  12、A、B、C、D四个人排一个四天的值日表，每人可以值多天或不值，但相邻两天不能由同一个人值，那么值日表的总排法为（    ）
       A、100                 B、108                 C、106                 D、110
 二、填空题（每小题4分，满分16分）
  13、有50件产品，其中有25件一等品、15件二等品和10件次品，从中任取10件，则恰有两件一等品和两件二等品的取法是__________。
  14、要买台式电脑和笔记本电脑各一台，5家商场均有出售，则到不同商场购买的方法总数为__________。
  15、由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有_______个。
  16、展开式中不含b的项系数之和是__________。
三、解答题（共6个小题，共74分）
  17、（12分）用1、2、3、4、5五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数是多少？
  18、（12分）平面内有12个点，其中有4点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点可得到多少个不同的三角形？
  19、（12分）在的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等。
       （1）求r的值；（2）写出展开式中的第4r项和第r+2项。
  20、（13分）一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球。
       （1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取五个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
  21、（13分）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语。现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游，则不同的选择方法有多少种？
  22、（12分）从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一科竞赛，且任2名同学不能参加同一科竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？
23.的展开式的第3项小于第4项，则求的取值范围
24.已知的展开式中有连续三项的系数之比为，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为，求的值．

【试题答案】
  1、C          2、A       3、D      4、C       5、D
  6、B          7、A       8、B       9、B       10、A
  11、C         12、B
  13、 14、25 15、36 16、－32
  17、解：满足要求的五位数分为三类：
       偶奇偶奇奇：； 奇偶奇偶奇：；
       奇奇偶奇偶：。 共有（个）。
  18、解：该问题可看做一个组合问题，可考虑用直接法求解。
       把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准。
       第一类：共线的4点中有两点为三角形的顶点，共有：（个）；
       第二类：共线的4点中有一点为三角形的顶点，共有（个）；
       第三类：共线的4点中没有点作为三角形的顶点，共有：（个）。
       由分类计数原理知，共有三角形：（个）。
       答：可得到216个不同的三角形。
  19、解：（1）展开式第4r项的二项式系数为，第r+2项的二项式系数为，根据二项式系数的性质，当且仅当或时它们的二项式系数相等，解得（舍），。
（2）当r=4时第4r项是
；
第r+2项是
。
  20、解：（1）红球的个数要大于或等于白球的个数，当红球取4个时取法是，当红球取3个、白球取一个时取法是，当红球取2个、白球取2个时取法是，∴取法共有
       （种）
（2）可设取红球x个，取白球y个，满足以下关系

得x≥2。
因此可分三类：第一类红球取2个、白球取3个共有种；第二类红球取3个、白球取2个共有种；第三类红球取4个、白球取1个共有种。因此所有取法有
（种）。
  21、解：只会日语的2人都出场，有种；只会日语的2人有1人出场，有种；只会日语的2人都不出场，有种。

       ∴共有种选择方法。
  22、解：设共有n名同学，首先从这n名同学中选出4人。
       然后再分别参加竞赛，按同学甲进行分类：
       第一类，不选甲，则从剩下的n－1名同学中选出4人分别参加4种竞赛，有种参赛方式；
       第二类：选甲，首先安排甲，有种方法，再从剩下的n－1名同学中选出3人参加剩下的3科竞赛，有种方法，共有种参赛方式。
       所以根据分类计数原理，一共有种方法，根据题意，得，解得n=5
23. 解：使有意义，必须；
依题意，有，即．
∴（∵）．
解得．
∴的取值范围是．
∴应填：．

24. 解：设连续三项是第、、项（且），则有，
即．
∴．
∴
，所求连续三项为第、、三项．
又由已知，．即．
两边取以为底的对数，，，
∴，或．

随机事件与概率

新课标要求
1、理解事件，必然事件、不可能事件，随机事件、互斥事件、对立事件等概念。
2、会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
3、理解n次独立重复试