资源描述
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量及其分布
习题1设(X,Y)的分布律为
求a.解答：由分布律性质,可知解得a=
习题2(1)2.
(1)P{a<X≤b,Y≤c};
解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).
(2)P{0<Y≤b};解答P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).
(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).
习题3(1)设二维离散型随机变量的联合分布如下表：
试求：(1)P{1/2<X<3/2,0<Y<4}
解答：P{1/2<X<2/3,0<Y<4}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=1/4+0+0=1/4.
(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};
解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}
=0+1/16+0+1/4=5/16.
(3)F(2,3).
解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=1/4+0+0+1/16+1/4+0=9/16.
习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=3/7,P{X≥0}=P{Y≥0}=4/7,
求P{max{X,Y}≥0},P{min{X,Y}<0}
解答：
=4/7+4/7-3/7=5/7.
习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12,请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.
解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有1/6+1/3+1/12+5/12=1,故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布.因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：
{X= -1,Y=0},{X=0,Y=1/3},{X=0,Y=1},{X=2,Y=1/3},{X=2,Y=1}
均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：(见课后答案)
(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}=0+1/6+5/12=7/12,
同样可求得P{Y=1/3}=1/12,P{Y=1}=1/3,
关于的Y边缘分布见下表：(见课后答案)
习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布其概率密度为
求P{X≤Y}.
解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},
故P{X≤Y}=1/2.
习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为
(1)确定常数k;(2)求P{X<1,Y<3};(3)求P{X<1.5};(4)求P{X+Y≤4}.
解答(1)由,确定常数k.所以k=1/8.
(2)
(3)
(4)
习题8已知X和Y的联合密度为
试求：(1)常数c;(2)X和Y的联合分布函数F(x,y).
解答：(1)由于
(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;
设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=
设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4
最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4
函数F(x,y)在平面各区域的表达式(见课后答案)
习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求边缘概率密度
解答：
=
习题10
设(X,Y)在曲线,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.
解答：
区域G的面积,由题设知(X,Y)的联合分布密度为
从而
即
即
3.2 条件分布与随机变量的独立性
习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为
(1)求Y的边缘分布律；(2)求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};(3)判定X与Y是否独立？
解答：(1)由(X,Y)的分布律知，Y只取0及1两个值
.P{Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}=7/15+7/30=0.7
P{Y=1}= (2)P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,P{y=1∣x=0}=13.
(3)已知P{x=0,y=0}=715, 由(1)知P{y=0}=0.7, 类似可得P{x=0}=0.7.
因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}⋅P{y=0}, 所以x与y不独立.
习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y. 据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为
(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.
解答：(1)边缘分布律为
X
5152535455
pk
0.180.150.350.120.20
对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.
对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}.
Y
5152535455
pk
0.280.280.220.090.13
(2)当Y=51时,X的条件分布律为P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28,k=51,52,53,54,55.
列表如下:
k
5152535455
P{X=k∣Y=51}
6/287/285/285/285/28
习题3已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求：
(1)在Y=1的条件下,X的条件分布律;(2)在X=2的条件下,Y的条件分布律.
X\Y
012
012
1/41/8001/301/601/8
解答：由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为
X
012
pk
3/81/37/24
Y
012
pk
5/1211/241/8
故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为
X∣(Y=1)
012
pk
3/118/110
(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为
Y∣(X=2)
012
pk
4/703/7
习题4已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={3x,0<x<1,0<y<x0,其它,求：
(1)边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数.
解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={3x2,0<x<10,其它,
fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={32(1-y2),0<y<10,其它.
(2)对∀y∈(0,1),fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2x1-y2,y<x<1,0,其它,
对∀x∈(0,1),fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x)={1x,0<y<x0,其它.
习题5X与Y相互独立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的联合概率分布，P{X+Y=1}, P{X+Y≠0}.
X
-2-101/2
pi
1/41/31/121/3
表(a)
Y
-1/213
pi
1/21/41/4
表(b)
解答：由X与Y相互独立知P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),
从而(X,Y)的联合概率分布为
X\Y
-1/2
1
3
-2-101/2
P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{X=1/2}P{Y=-1/2}
P{X=-2}P{Y=1}P{X=-1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1}
P{X=-2}P{Y=3}P{X=-1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3}
亦即表
X\Y
-1/213
-2-101/2
1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12
P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,
P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12=1-112-16=34.
习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55∼8:00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及时上火车站的概率.
解答：由题意知X的密度函数为fX(x)={15,0≤x≤50,其它,
因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,
故此人能及时上火车的概率为P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.
习题7
设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.
解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12πe-x22， fY(y)=12πe-y22
因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12πe-12(x+y)2.
习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),问：X与∣X∣是否相互独立？
解答：若X与∣X∣相互独立，则∀a>0,各有P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},
而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a}, 故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},
⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)
但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.
习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为
fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度；
(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.
解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,
又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;
(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},
故如图所示得到：P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy
=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx]=1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]
=1-2π[Φ(1)-Φ(0),
又Φ(1)=0.8413, Φ(0)=0.5, 于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413, 所以
P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.
3.3 二维随机变量函数的分布
习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.
解答：由于U≥V, 可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有
P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),
于是，随机变量U和V的联合概率分布为
V\概率\U
1
2
3
1
1/9
2/9
2/9
2
0
1/9
2/9
3
0
0
1/9
习题2设(X,Y)的分布律为
X\Y
-112
-12
1/101/53/101/51/101/10
试求：(1)Z=X+Y;(2)Z=XY;(3)Z=X/Y;(4)Z=max{X,Y}的分布律.
解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.
概率
1/101/53/101/51/101/10
(X,Y)X+YXYX/Ymax{x,Y}
(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222
于是(1)
X+Y
-20134
pi
1/101/51/21/101/10
(2)
XY
-20134
pi
1/21/51/101/101/10
(3)
X/Y
-2-1-1/212
pi
1/51/53/101/51/10
(4)
max{X,Y}
-112
pi
1/101/57/10
习题3设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域D={(x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均匀分布，且
U={0,X≤Y1,X>Y, V={0,X≤2Y1,X>2Y,求U与V的联合概率分布.
解答：依题(U,V)的概率分布为P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}=∫01dx∫x112dy=14,
P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0,
P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y<X≤2Y}=∫01dy∫y2y12dx=14,
P{U=1,V=1}
=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,
即
U\V
01
01
1/401/41/2
习题4设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.
解答：FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.
当z<0时，FZ(z)=P(∅)=0;
当z≥0时，FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ
=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.
故Z的分布函数为FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0.
Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.
习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,
(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.
解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0
\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,
由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,
所以X与Y不独立.
(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.
当{x>0z-x>0 即 {x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以
当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.
于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.
习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.
解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,
由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy=∫0+∞fX(z-y)e-ydy.
由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：
当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;
当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,
即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.
习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.
（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.
解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b.∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，
所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.
（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，
fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它
（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故
FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，
其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.
同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.
习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y, 其概率密度分别为ϕ1(x)={αe-αx,x>00,x≤0, ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,
其中α>0,β>0,α≠β, 试求系统L的寿命Z的概率密度.
解答：设Z=min{X,Y},则F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z}
=1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]
由于F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,
故F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,
从而ϕ(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.
习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：
P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.
解答：设min{X,Y}=Z,则P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),
FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}
=1-[P{X>z}]2,
代入得P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.
复习总结与总习题解答
习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：
X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.
解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：
P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536; P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,
P{X=0,Y=1}=10×212×12=536, P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,
(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：
P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566, P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,
P{X=1,Y=0}=2×1012×11=1066, P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,
Y\ X
01
01
45/6610/6610/661/66
习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量Xk={0,若Y≤k1,若Y>k(k=1,2),
求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.
解答：因为Y服从参数为1的指数分布，X1={0,若Y≤11,若Y>1, 所以有
P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1, P{X1=0}=1-e-1,
同理P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2,P{X2=0}=1-e-2,
因为P{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2，
P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2,
P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1,P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0,
故(X1,X2)联合分布率与边缘分布率如下表所示：
X1\slashX2
0
1
P{X1=i}
0
1-e-1
0
1-e-1
1
e-1-e-2
e-2
e-1
P{X2=j}
1-e-2
e-2
习题3在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香蕉. 今从袋中随机抽出4只，以X记橘子数，Y记苹果数，求(X,Y)的联合分布.
解答：X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2.
P{X=0,Y=0}=P{∅}=0,P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70,
P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70,
P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70,
P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70,
P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70,
P{X=3,Y=2}=P{∅}=0,所以，(X,Y)的联合分布如下：
X\Y
0123
012
03/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700
习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：
X\Y
y1
y2
y3
pi⋅
x1
1/8
x2
1/8
p⋅j
1/6
1
解答：由题设X与Y相互独立，即有pij=pi⋅p⋅j(i=1,2;j=1,2,3), p⋅1-p21=p11=16-18=124,
又由独立性，有p11=p1⋅p⋅1=p1⋅16
故p1⋅=14.从而p13=14-124-18, 又由p12=p1⋅p⋅2, 即18=14⋅p⋅2.
从而p⋅2=12. 类似的有p⋅3=13,p13=14,p2⋅=34.
将上述数值填入表中有
X\Y
y1
y2
y3
pi⋅
x1
1/24
1/8
1/12
1/4
x2
1/8
3/8
1/4
3/4
p⋅j
1/6
1/2
1/3
1
习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表：
求：(1)a值； (2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)； (3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).
解答：(1)\because由分布律的性质可知∑i⋅jPij=1, 故14+14+16+a=1,∴a=13.
(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
①当x<1或y<-1时，F(x,y)=0;
②当1≤x<2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4;
③当x≥2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;
④当1≤x<2,y>0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;
⑤当x≥2,y≥0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=1;
综上所述，得(X,Y)联合分布函数为
F(x,y)={0,x<1或y<-11/4,1≤x<2,-1≤y<05/12,x≥2,-1≤y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0.
(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：
FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,
同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为
FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.
习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2≥R,
求：(1)常数c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r<R).
解答：(1)因为
1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2<Rc(R-x2+y)dxdy=∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρdθ=cπR33,
所以有c=3πR3.
(2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02π∫0r3πR3(R-ρ)ρdρdθ=3r2R2(1-2r3R).
习题7设f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它,
求fX(x)和fY(y).
解答：max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1,
所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为{0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},
即f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它 所以
fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,
fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.
习题8若(X,Y)的分布律为则α,β应满足的条件是¯, 若X与Y独立，则α=¯,β=¯.
解答：应填α+β=13;29;19.
由分布律的性质可知∑i⋅jpij=1, 故16+19+118+13+α+β=1,
即α+β=13.又因X与Y相互独立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而
α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29,
β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13)，∴ β=19.
习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为
f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,
(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求P{Y≤X};
(5)求条件概率密度函数fX∣Y(x∣y); (6)求P{X<2∣Y<1}.
解答：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1求常数c.
∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c⋅(-12e-2x)\vline0+∞⋅(-e-y)∣0+∞=c2=1,所以c=2.
(2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,
fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.
(3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它
={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它.
(4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13.
(5)当y>0时，fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.
(6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}=F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.
习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立.
解答：因为X的分布函数为F(x)={0,当x<0时1,当x≥0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x<0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}
=P{∅∩(Y≤y)}=P{∅}=0=FX(x)FY(y);
当x≥0时，对任意y, 有
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y),
依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立.
习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证P{X≤Y}=1/2.
解答：因为X,Y独立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y).P{X≤Y}=∫∫x≤yf(x,y)dxdy=∫∫x≤yfX(x)fY(y)dxdy
=∫-∞+∞[fY(y)∫-∞yfX(x)dx]dy=∫-∞+∞[fY(y)FY(y)]dy=∫-∞+∞FY(y)dFY(y)=F2(y)2∣-∞+∞=12,
也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有P{X≤Y}=P{Y≤X},
而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1, 故P{X≤Y}=1/12.
习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.
解答：关于X的边缘分布为
X
x1x2x3
pk
a+1/9b+1/9c+1/3
关于Y的边缘分布为
Y
y1y2
pk
1/9+a+c4/9+b
由于X与Y独立，则有
p22=p2⋅p⋅2 得 b=(b+19)(b+49) ①
p12=p1⋅p⋅2 得 19=(a+19)(b+49) ②
由式①得b=29, 代入式②得a=118. 由分布律的性质，有
a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29, 得c=16.
易验证，所求a,b,c的值，对任意的i和j均满足pij=pi⋅×p⋅j.
因此，所求a,b,c的值为a=118,b=29,c=16.
习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为且P{X1X2=0}=1.
(1)求X1和X2的联合分布律； (2)问X1和X2是否独立？
解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件P{X1X2=0}=1, 求出联合分布. 列表如下：
X2\X1
-101
P{X2=j}
01
1/401/401/20
1/21/2
P{X1=i}
1/41/21/4
1
由已知P{X1X2=0}=1, 即等价于P{X1X2≠0}=0, 可知P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0.
再由p⋅1=p-11+p11+p01, 得p01=12, p-10=p-1⋅=p-11=14,p10=p1⋅-p11=14,从而得p00=0.
(2)由于p-10=14≠p-1⋅⋅p⋅0=14⋅12=18, 所以知X1与X2不独立.
习题14设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)={1πR2,x2+y2≤R20,其它,
(1)求X与Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问X与Y是否独立？
解答：
(1)当x<-R或x>R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫-∞+∞0dy=0;当-R≤x≤R时，
fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=1πR2∫-R2-x2R2-x2dy=2πR2R2-x2.
于是fX(x)={2R2-x2πR2,-R≤x≤R0,其它.
由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是：
fY(y)={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它.
(2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)
注意在y处x值位于∣x∣≤R2-y2这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有
fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2⋅R2-y2=12R2-y2,
即Y=y时X的条件概率密度为fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它.
同法可得X=x时Y的条件概率密度为fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它.
由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立.
习题15设(X,Y)的分布律如下表所示
求：(1)Z=X+Y; (2)Z=max{X,Y}的分布律.
解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意，Z的相同值的概率要合并.
概率(X,Y)X+YXYX/Ymax{X,Y}
1/102/103/102/101/101/10 (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222
于是(1)
X+Y
-20134
pi
1/102/105/101/101/10
(2)
max{X,Y}
-112
pi
1/102/107/10
习题16设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={1,0<x<1,0<y<2(1-x)0,其他，求Z=X+Y的概率密度.
解答：
先求Z的分布函数Fz(z)，再求概率密度 fz(z)=dFz(z)dz.
如右图所示.当z<0时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=0;
当0≤z<1时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0z-x1dy=∫0z(z-x)dx=z2-12x2∣0z=12z2；
当1≤z<2时，Fz(z)=∫02-zdx∫0z-xdy+∫2-z1dx∫02(1-x)dy=z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2；
当z≥2时，∫∫Df(x,y)dxdy=∫01dx∫02(1-x)dy=1.
综上所述Fz(z)={0,z<012z2,0≤z<1z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2,1≤z<21,z≥2，
故fz(z)={z,0≤z<12-z,1≤z<20,其它.
习题17设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={2e-(x+2y),x>0,y>00,其它,求随机变量Z=X+2Y的分布函数
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