坐标系与参数方程联系题(真题)(含答案).doc

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1、在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：
ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为即为所求．

2、已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，
所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.

3、(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.

4、(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，
所以△C2MN的面积为.

5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.
6．(2018·洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝5，射 线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋(y－2)2＝4，
得圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(2)设P(ρ1，θ1)，则由
解得ρ1＝2，θ1＝.
设Q(ρ2，θ2)，则由
解得ρ2＝5，θ2＝.
所以|PQ|＝ρ2－ρ1＝3.
7．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1.
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
8．(2018·福建质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：θ＝(ρ>0)，A(2,0)．
(1)把C1的普通方程化为极坐标方程；
(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积．
解：(1)因为C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，
即x2＋y2－4x＝0，
所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.
(2)依题意，设点P，Q的极坐标分别为，.
将θ＝代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝2，
将θ＝代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，
所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2－1.
依题意，点A(2,0)到曲线θ＝(ρ>0)的距离
d＝|OA|sin ＝1，
所以S△APQ＝|PQ|·d＝×(2－1)×1＝－.
9．(2018·贵州适应性考试)在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)过原点且倾斜角为α的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围．
解：(1)由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ，
两边同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，
故曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.
(2)射线l的极坐标方程为θ＝α，＜α≤，
把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|＝ρ＝4cos α，

把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|＝ρ＝，
∴|OA|·|OB|＝4cos α·＝4tan α.
∵＜α≤，
∴|OA|·|OB|的取值范围是.

(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为 (φ为参数)．
(4)双曲线－＝1(a>0，b>0)的参数方程为 (θ为参数)．

10、(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，
由解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0)，.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，
故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为
d＝.
当a≥－4时，d的最大值为 .
由题设得＝，解得a＝8；
当a＜－4时，d的最大值为.
由题设得＝，解得a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.

2．结论要记
根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.
(1)弦长l＝|t1－t2|；
(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.

11．(2018·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C： (θ为参数)相交于不同的两点A，B.
(1)若α＝，求线段AB的中点的直角坐标；
(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)由曲线C： (θ为参数)，可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.

当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，
代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，
得t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝＝3，
故线段AB的中点的直角坐标为.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α－sin2α)t2＋6cos αt＋8＝0，
则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝＝，
由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝.
12．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．
解：(1)由消去参数t，
得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，
所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.
由ρcos＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，
化为极坐标为A(2，π)，B，
设点P的坐标为(－5＋cos t,3＋sin t)，
则点P到直线l的距离为
d＝＝.
所以dmin＝＝2，又|AB|＝2.
所以△PAB面积的最小值是S＝×2×2＝4.

13、在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；
(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0距离的最小值．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
可得点P的直角坐标为(3，)，
由得x2＋(y＋)2＝4，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋(y＋)2＝4.
(2)直线l的普通方程为x＋2y＋1＝0，
曲线C的参数方程为(α为参数)，
设Q(2cos α，－＋2sin α)，
则M，
故点M到直线l的距离
d＝＝≥＝－1，
∴点M到直线l的距离的最小值为－1.

14、．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
解：(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)，
消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)．
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．
联立
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
所以交点M的极径为.
15．(2018·武昌调研)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数，a>0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos＝－2.
(1)设P是曲线C上的一个动点，当a＝2时，求点P到直线l的距离的最小值；
(2)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．
解：(1)由ρcos＝－2，
得(ρcos θ－ρsin θ)＝－2，
化成直角坐标方程，得(x－y)＝－2，
即直线l的方程为x－y＋4＝0.
依题意，设P(2cos t,2sin t)，
则点P到直线l的距离
d＝＝
＝2＋2cos.
当cos＝－1时，dmin＝2－2.
故点P到直线l的距离的最小值为2－2.
(2)∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，
∴对∀t∈R，有acos t－2sin t＋4>0恒成立，
即cos(t＋φ)>－4恒成立，
∴<4，
又a>0，∴0<a<2.
故a的取值范围为(0,2)．
16．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解：(1)由已知，点M的极角为，
且点M的极径等于，
故点M的极坐标为.
(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)．
故直线AM的参数方程为(t为参数)．
17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．
解：(1)∵曲线C1的参数方程为
∴其普通方程为x－y－a＋1＝0.
∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，
∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，
∴x2＋4x－x2－y2＝0，
即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.
(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，
将曲线C1的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，化简得2t2－2t＋1－4a＝0.
∴Δ＝(－2)2－4×2(1－4a)>0，即a>0，
t1＋t2＝，t1·t2＝.
根据参数方程的几何意义可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|，
又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|，
即t1＝2t2或t1＝－2t2.
∴当t1＝2t2时，有
解得a＝，符合题意．
当t1＝－2t2时，有
解得a＝，符合题意．
综上，实数a＝或a＝.
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18．(2018·贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．
解：(1)由(t为参数)得C1的普通方程为
(x－4)2＋(y－5)2＝9，
由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入上式，
得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.

(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1C2上时，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，
则kC1C2＝＝1，
∴直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，
∴点O到直线C1C2的距离d＝＝，
又|AB|＝|C1C2|－1－3＝－4
＝4－4，
∴S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－.
19．(2018·广州综合测试)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
解：(1)由(t为参数)消去t得x＋y－4＝0，
所以直线l的普通方程为x＋y－4＝0.
由ρ＝2cos＝2＝2cos θ＋2sin θ，
得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式，
得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)法一：设曲线C上的点P(1＋cos α，1＋sin α)，
则点P到直线l的距离d＝＝＝.
当sin＝－1时，dmax＝2.
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.
法二：设与直线l平行的直线l′：x＋y＋b＝0，
当直线l′与圆C相切时，＝，
解得b＝0或b＝－4(舍去)，
所以直线l′的方程为x＋y＝0.
因为直线l与直线l′的距离d＝＝2.
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.
20．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
21．已知直线L的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.
(1)求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．
解：(1)由(t为参数)，得L的普通方程为2x＋y－6＝0，
令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得直线L的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，
由曲线C的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1.
(2)由(1)，知直线L的普通方程为2x＋y－6＝0，
设曲线C上任意一点P(cos α，2sin α)，
则点P到直线L的距离d＝.
由题意得|PA|＝＝，
所以当sin＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
22．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2.
(1)求曲线C2的参数方程；
(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．
解：(1)由ρ＝2，得ρ2＝4，
所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
故由题意可得曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1.
所以曲线C2的参数方程为(θ为参数)．
(2)设四边形ABCD的周长为l，点A(2cos θ，sin θ)，
则l＝8cos θ＋4sin θ＝4sin(θ＋φ)，
所以当θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)时，l取得最大值，最大值为4，此时θ＝2kπ＋－φ(k∈Z)，
所以2cos θ＝2sin φ＝，sin θ＝cos φ＝，
此时A.
所以直线l1的普通方程为x－4y＝0.
23．(2018·成都诊断)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.
(1)求θ的值；
(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．
解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，
即ρ＝4sin θ.
由ρ＝2，得sin θ＝，
∵θ∈，∴θ＝.
(2)易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，
∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.
又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，
联立解得ρ＝4.
∴点B的极坐标为，
∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.