不等式基本性质讲义.doc

课 题
不等式的基本性质
教学目标
1．经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
2．掌握不等式的基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。
重点、难点
不等式的基本性质的掌握与应用。
考点及考试要求
体会不等式与等式的异同。掌握不等式的基本性质
教学内容

一、知识点：
不等式的基本性质 ：
（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，那a+c>b+c（或a–c>b–c）
（2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，且c>0，那么ac>bc，。
（3） 不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
用式子表示：如果a>b，且c<0，那么ac<bc，。
（4） 对称性：如果a>b，那么b<a。
（5）同向传递性：a>b，b>c那么a>c。
注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。在运用性质（2）和性质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改变。
说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：
①若a－b＞0，则a大于b ；
②若a－b＜0，则a小于b ；
③若a－b≥0，则a不小于b ；
④若a－b≤0，则a不大于b ；
⑤若ab＞0或，则a、b同号；
⑥若ab＜0或，则a、b异号。

任意两个实数a、b的大小关系：
①a-b>Oa>b； ②a-b=Oa=b； ③a-b<Oa<b．
不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。
二、例题分析：
[例1]指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。
    （1）由2a＞5，得a＞  （2）由a-7＞，得a＞7
    （3）由- a＞0，得a＜0 （4）由3a＞2a-1,得a＞-1。 
[例2]设a＞b；用"＞"或"＜"号填空：
    （1）              （2）a-5      b-5     （3） a b
    （4）6a      6b   （5）-               （6）-a       -b
变式练习：
1、设a<b，用“<”或“>”填空．
（1）a－1____b－1； （2）a+1_____b+1； （3）2a____2b；
（4）－2a_____－2b； （5）－_____－； （6）____．
2．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”填空．
（1）若a－1>b－1，则a____b；
（2）若a+3>b+3，则a____b；
（3）若2a>2b，则a____b；
（4）若－2a>－2b，则a___b．
3．若a>b，m<0，n>0，用“>”或“<”填空．
（1）a+m____b+m； （2）a+n___b+n； （3）m－a___m－b；
（4）an____bn； （5）____； （6）_____；
4．下列说法不正确的是（ ）
A．若a>b，则ac>bc（c0）
B．若a>b，则b<a
C．若a>b，则－a>－b
D．若a>b，b>c，则a>c
[例3]不等式的简单变形
根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a或x>a的形式：
（1）x－3>1； （2）；

（3）3x<1+2x； （4）2x>4．

[例4]［学科综合］
1．已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（ ）

A．bc>ab B．ac>ab C．bc<ab D．c+b>a+b

2．已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为，则1－a是____数．
[例5]如图所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？

趣味数学
（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重．
（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．

三、基础过关训练：
1．如果m＜n＜0，那么下列结论中错误的是（ ）
A．m－9＜n－9 B．－m＞－n C． D．
2．若a－b＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）
A．a＞b B．ab＞0 C． D．－a＞－b
3．由不等式ax＞b可以推出x＜，那么a的取值范围是（ ）
A．a≤0 B．a＜0 C．a≥0 D．a＞0
4．如果t＞0，那么a＋t与a的大小关系是（ ）
A．a＋t＞a B．a＋t＜a C．a＋t≥a D．不能确定
5．如果，则a必须满足（ ）
A．a≠0 B．a＜0 C．a＞0 D．a为任意数
6．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．cb＞ab B．ac＞ab C．cb＜ab D．c＋b＞a＋b
c
b
0
a
6题

7．有下列说法：
（1）若a＜b，则－a＞－b； （2）若xy＜0，则x＜0，y＜0；
（3）若x＜0，y＜0，则xy＜0； （4）若a＜b，则2a＜a＋b；
（5）若a＜b，则； （6）若，则x＞y．
其中正确的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．2a与3a的大小关系（ ）
A．2a＜3a B．2a＞3a C．2a＝3a D．不能确定
9．若m＜n，比较下列各式的大小：
（1）m－3______n－3 （2）－5m______－5n （3）______
（4）3－m______2－n (5)0_____m－n （6）_____
10．用“＞”或“＜”填空：
（1）如果x－2＜3，那么x______5； （2）如果x＜－1，那么x______；
（3）如果x＞－2，那么x______－10；（4）如果－x＞1，那么x______－1．
11．x＜y得到ax＞ay的条件应是____________．
12．若x＋y＞x－y，y－x＞y，那么下列结论（1）x＋y＞0，（2）y－x＜0，（3）xy≤0，
（4）＜0中，正确的序号为________．
13．满足－2x＞－12的非负整数有________________________．
14．若ax＞b，ac2＜0，则x________．
15、如果x－7＜－5，则x ；如果－＞0，那么x ．
16．当x 时，代数式2x－3的值是正数．
三、能力提升
17．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）4x＞3x+5 （2）－2x<17

（3）0.3x＜－0.9 （4）x＜x－4

【课内练习】
1． （1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）；
③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2）
（2）如果a＞b，则

2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：
（1）若a＞b，则2a+1 2b+1;
（2）若＜10，则y -8；
（3）若a＜b，且c＞0，则ac+c bc+c；
（4）若a＞0，b＜0， c＜0，（a-b）c 0。
3. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。
（1）a＞b两边都加上-4； （2）-3a＜b两边都除以-3；

（3） a≥3b两边都乘以2； （4）a≤2b两边都加上c；

4. 根据不等式的性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）：

5.比较下列各题两式的大小：

6．【探索与创新】
（1）用适当的符号填空
①∣3∣＋∣4∣ ∣3＋4∣； ②∣3∣＋∣－4∣ 3＋（－4）∣；
③∣－3∣＋∣4∣ ∣－3＋4∣； ④∣－3∣＋∣－4∣ ∣ －3＋（－4）∣；
⑤∣0∣＋∣4∣ ∣0＋4∣；
（2） 观察后你能比较∣a∣＋∣b∣和∣a＋b∣的大小吗？

四、检测题
    1．当x取何值时，不等式3x＜5x+1成立（ ）
      A.-     B.-1      C.0      D.-3.5
    2．下列不等式的变形中，正确的是（ ）
      A.若2x＜-3，则x＜- , B.若- x＜0，则x＞0
      C.若- ，则x＞y。 D.若- ，则x＜-6
    3．若关于x的不等式ax＞b（a≠0），有x＜ ,那么a一定是（ ）
      A.正数      B.负数      C.非正数     D.任何数
    4．若a＞b且a≠0,b≠0，则（ ）
      A. B. C.a＞b＞0时 ，b＜a＜0时， ，
      D.ab同号时， ,a、b异号时，
5．已知a＞b，用“＞”或“＜”号填空．
（1）a－2 b－2； （2）3a 3b；（3）a b；
（4）－a －b； （5）－10a －10b; （6）ac2 b c2．
6．若x＞y，则ax＞ay，那么a一定为 （ ）．
（A）a≥0 （B）a≤0 （C）a＞0 （D）a＜0
7．若m＜n，则下列各式中正确的是 （ ）．
（A）m－3＞n－3 （B）3m＞3n
（C）－3m＞－3n （D）＞
8．下列各题中，结论正确的是 （ ）．
（A）若a＞0，b＜0，则＞0 （B）若a＞b，则a－b＞0
（C）若a＜0，b＜0，则ab＜0 （D）若a＞b，a＜0，则＜0
9．下列变形不正确的是 （ ）．
（A）若a＞b，则b＜a （B）若－a＞－b，则b＞a
（C）由－2x＞a，得x＞ （D）由x＞－y，得x＞－2y
10．下列不等式一定能成立的是 （ ）．
（A）a＋c＞a－c （B）a2＋c＞c （C）a＞－a （D）＜a
11、在下列空格中填上不等号，并注明理由：
（1）若5+x＞8,则x　　　3,根据是　　　。 （2）若6x＞3，则x　　　,根据是　　　。
（3）若 ＞1，则x　　　-3，根据是 　　　。 （4）若x＞y，则- 　　　 - ,根据是　　　。
12、如果a＜b，用"＜"或"＞"填空。
    （1）a-1　　　　b-1 (2)-2a　　　　-2b (3) 　　　  （4）1-a　　　　　1-b
13、若-，则c     0（填"＞"或"＜"号)
14、列出表示下列各数量关系的不等式： 
    （1）m的2倍与3的和大于7；
    （2）x的 与4的差是负数；
    （3）a的一半与b的3倍的和不大于1；
（4）y的立方是非负数。

15．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－17＜－5； （2）＞－3；

（3）＞11； （4）＞．

16．a一定大于－a吗？为什么？

17．已知将不等式mx＞m的两边都除以m，得x＜1，则m应满足什么条件？

18.设 a＞b，用“＞”或“＜”号填空：
(1)a+3 ______ b+3；    (2)5a ______ 5b；

(5)ma______ mb(m≠0)．

30分钟检测
一、 选择题
1．若－a>－2a，则a的取值范围是（ ）
A．a>0 B．a<0 C．a≤0 C．a≥0
2．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列关系中，正确的是（）
A．ab>bc B．ac>ab C．ab<bc D．c+b>a+b

3．中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ ）个正方体的重量．

A.2 B.3 C.4 D.5
4．下列四个判断：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，则a│c│>b│c│；③若a>b，则<1；④若a>0，则b－a<b．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．李博从一个文具店买了3只笔，每支m元，又从另一文具店买了2只笔，每只n元，后来他以平均每只元的价格把笔全部卖给了胜昔，结果他赔了钱，原因是（ ）
A．m>n B．m<n C．m=n D．与m和n的大小无关
6.如果a>b，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．a－3>b－3 B．3a>3b C． D．－a>－b
7．已知a＜b，下列式子不成立的是（　　）

A．
a+1＜b+1
B．
3a＜3b
C．
﹣a＞﹣b
D．
如果c＜0，那么＜
8．若a＞b＞0，则下列不等式不一定成立的是（　　）

A．
ac＞bc
B．
a+c＞b+c
C．

D．
ab＞b2
9．若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）

A．
a﹣3＜b﹣3
B．
﹣2a＞﹣2b
C．

D．
a＞b﹣1
10．下列各式中，成立的是（　　）

A．
2x＜3x
B．
2﹣x＜3﹣x
C．
﹣2x＞﹣3x
D．

11．已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（　　）

A．
﹣a＞﹣b
B．
2a＜2b
C．
2﹣a＜2﹣b
D．
a2＞ab
12．已知0＜m＜1，则m、m2、（　　）

A．
m2＞m＞
B．
m2＞＞m
C．
＞m＞m2
D．
＞m2＞m
二、填空题
13．若a<b，c≠0，则ac2_____bc2．
14．若－>－2，则x_____6．
15．由（a－5）x<a－5，得x>1，则a的取值范围是______．
16设a<b，用“<”或“>”填空．
（1）a+6_____b+6； （2）4a____4b； （3）－_____－．

17．已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，请判断下列不等式的正确性．
（1）bc＞ab　 　（2）ac＞ab　 　（3）c﹣b＜a﹣b　 　
（4）c+b＞a+b　 　（5）a﹣c＞b﹣c　 　（6）a+c＜b+c　 　．

18．一罐饮料净重500克，罐上标注脂肪含量≤0.5%，则这罐饮料中脂肪含量最多　 　克．
19．某日最低气温为零下6℃，记为﹣6℃，最高气温为零上2℃，则这日气温x（℃）的取值范围是　 　．
20．k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示 k的取值范围是　 　．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）
21．已知a＞b，则﹣a+c　 　﹣b+c（填＞、＜或=）．
22．若x＞y，则x+c　 　y+c，5﹣2x　 　5﹣2y．
23．若y＜x，则﹣2x+1　 　﹣2y+1．
三、解答题
24、说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质：
（1）由x＞－3，得x＞－6；___________________________;
（2）由3＋x≤5，得x≤2；______________________________;
（3）由－2x＜6，得x＞－3；____________________________;
（4）由3x≥2x－4，得x≥－4.___________________________;
25、根据不等式的性质解下列不等式，并说出每一步的依据：
（1）x－9＜1 （2）

26、求不等式1＋x＞x－1成立的x取值范围。

27、同桌的甲、乙两名同学，争论着一个问题：甲同学说：“5a＞4a”，乙同学说：“这不可能”，请你评说一下两名同学的观点究竟哪个正确？为什么？举例说明.

网]

四、拓展探究
28、若a＜b＜0，则下列式子：
①a＋1＜b＋2；②；③a＋b＜ab；④中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

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