椭圆的离心率填空题汇总.doc

椭圆的离心率
1．设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为 ．
2．设椭圆：（）的左、右焦点分别为，是上的点，，，则椭圆的离心率为_____________.
3．设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为 .
4．已知椭圆（）的两个焦点为,以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且，则等于___________.(不扣分)
5．椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若成等比数列，则此椭圆的离心率为________．(离心率)
6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且＝2，则C的离心率为________．
7．设椭圆的左右焦点为，作作轴的垂线与交于两点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率等于________.
8．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为
9．椭圆C： 左右焦，若椭圆C上恰有4个不同的点P，使得为等腰三角形，则C的离心率的取值范围是 _______
10．已知椭圆E的左右焦点分别F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为 .
11．直线与椭圆相交于、两点，过点作轴的垂线，垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是 ．
12．设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且，，则该椭圆的离心率为           ．
13．椭圆M：的左，右焦点分别为，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆M的离心率e的取值范围是________．
14．已知椭圆C:的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若，则C的离心率e=         ．
15．设椭圆C:的中心、右焦点、右顶点依次分别为O，F，G，且直线与x轴相交于点H，则最大时椭圆的离心率为________．
16．在椭圆中,左焦点为, 右顶点为, 短轴上方端点为，若,则该椭圆的离心率为___________．

17．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点．若＝3，则k＝________．

18．若斜率为的直线l与椭圆＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．
19．已知椭圆＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值为(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
20．如图，已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．

21．已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足PF1＝2PF2，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．
22．设F1、F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是________．
23．在平面直角坐标系中，有椭圆＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆．过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________．

24．椭圆的左，右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率为 .
25．椭圆Γ: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于　　　　.
26．已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,以原点O为圆心,OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A,B两点,若△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率等于　　　　.
27．椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为________．
28．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆＝1(a＞b＞0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
29．椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为________．

30．已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为_______
31．已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　.

32．已知椭圆的方程为，是它的一条倾斜角为的弦，且是弦的中点，则椭圆的离心率为_________.
33．已知椭圆的左右焦点为，若存在动点，满足，且的面积等于，则椭圆离心率的取值范围是 .
34．过椭圆的左顶点的斜率为的直线交椭圆于另一个点，且点在轴上的射影恰好为右焦点，若，则椭圆离心率的取值范围是_____________.
35．P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin(α+β)=，则此椭圆的离心率为 ．
36． 设F1，F2是椭圆C：的两个焦点，若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为_____________.
37．已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值为
38．设F1，F2是椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|:|AF2|＝3:4，则椭圆的离心率为 ．
39．过椭圆的左顶点A且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰为右焦点,若，则椭圆的离心率的值是 .
40．已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为___
41．在等边中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率为
42．如图，已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为 .

43．为椭圆上一点，为两焦点，，则椭圆的离心率 .
44．设椭圆的四个顶点A、B、C、D, 若菱形ABCD的内切圆恰好经过椭圆的焦点, 则椭圆的离心率为 __ ．
45．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为.设线段的中点为，若，则该椭圆离心率的取值范围为 .
46．以椭圆的右焦点为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于点M，N，
若过椭圆左焦点的直线MF1是圆的切线，则椭圆的离心率为
47．椭圆＋=1的离心率 e =, 则k的值是
48．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则其离心率为 ．
49．已知M、N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1、k2（），若的最小值为1，则椭圆的离心率为 。
50．已知点和直线分别是椭圆的右焦点和右准线．过点作斜率为的直线，该直线与交于点,与椭圆的一个交点是，且.则椭圆的离心率 .
51．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为__________________ ．
52．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1,F2，P是椭圆上一点。PF1F2为以F2P为底边的等腰三角形，当60°＜PF1F2120°，则该椭圆的离心率的取值范围是　　　　
53．在中，满足，.若一个椭圆恰好以为一个焦点，另一个焦点在线段上，且，均在此椭圆上，则该椭圆的离心率为 ．
54．如图，在平面直角坐标系xOy中， 点A为椭圆E：（）的左顶点， B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于 .
C
y
x
O
A
B
（第12题）

55．椭圆的离心率为，则实数的值为___________.
56．已知椭圆的长轴两端点为，若椭圆上存在点，使得，求椭圆的离心率的取值范围____________;
A、 B、 C、 D、
57．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
58．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是__________；

试卷第7页，总8页

参考答案
1．
【解析】
试题分析：根据椭圆的定义,，，，
,勾股定理得 ，化简得，即，所以离心率．
考点：①椭圆的定义和性质；②勾股定理．
2．.
【解析】
试题分析：在中，，，所以，结合椭圆定义得：，所以.
考点：由椭圆的标准方程求几何性质.
3．
【解析】试题分析：由已知，轴，所以将代入，可得，所以由得，，解得（舍去）.
考点：椭圆的几何性质.
4．（不扣分)
【解析】
试题分析：以为边作正三角形，设线段与椭圆的交点为，则点为边的中点，连接，则，由于△是边长为的正三角形，所以，，由椭圆的定义可知，即有.
考点：椭圆的定义及性质.
5．.
【解析】
试题分析：由题意可知，，，，又∵成等比数列，∴.
考点：椭圆离心率的计算.
6．
【解析】设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，则B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则＝(c，－b)，＝(xD－c，yD)，
∵＝2，∴
∴
∴＋＝1，即e2＝，∴e＝．

7．
【解析】
试题分析：因为平行于，所以为中点，又，所以设则因此
考点：椭圆的离心率
8．
【解析】
试题分析：设，则由两式相减变形得：即，从而
考点：点差法，椭圆离心率
9．（，）∪（，1）
【解析】
试题分析：分两种情况：第一种情况，当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；第二种情况，当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上，因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时a-c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e，当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠，同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，又因为椭圆C上恰有4个不同的点P，使得为等腰三角形，故第一种情况不成立，综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）．
考点：直线与椭圆的位置关系．
10．
【解析】
试题分析：设则由于所以因为所以椭圆E的离心率为
考点：椭圆的定义
11．
【解析】
试题分析：依题意可设.所以，（舍去）.所以离心率为.
考点：1.椭圆的性质.2.解方程的能力.
12．．
【解析】由知，．
由知，．
在中，，
∴，
即．
13．
【解析】∵的最大值为，
∴由题意知，
∴，
∴，
∴椭圆离心率e的取值范围是．
14．
【解析】由余弦定理，，解得，所以A到右焦点的距离也是8，由椭圆定义：，又，所以
15．
【解析】 根据已知O(0，0)，F(c，0)，G(a，0)，H(，0)，
所以＝，所以当最大时．
16．
【解析】
试题分析：由题意，得，∴．∵，∴，∴，∴．又∵，∴．
考点：椭圆的离心率．
17．k＝
【解析】定点F分线段AB成比例，从而分别可以得出A、B两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A、B点的坐标代入椭圆方程＝1，四个方程联立方程组，解出根，得出A、B两点的坐标，进而求出直线AB的方程．
由已知e＝，所以a＝2b，
所以a＝c，b＝.椭圆方程＝1变为x2＋3y2＝c2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又＝3，
所以(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，所以所以
＋3＝c2，①＋3＝c2，②
①－9×②，得(x1＋3x2)(x1－3x2)＋3(y1＋3y2)(y1－3y2)＝－8c2，所以×4c(x1－3x2)＝－8c2，
所以x1－3x2＝－c，所以x1＝c，x2＝c.从而y1＝－c，y2＝c，
所以A，B，故k＝.
18．
【解析】由题意易知两交点的横坐标为－c、c，纵坐标分别为－、，所以由＝得2b2＝ac＝2(a2－c2)，即2e2＋e－2＝0，解得e＝或e＝－(负根舍去)．
19．≤e＜
【解析】因为PT＝(b＞c)，而PF2的最小值为a－c，所以PT的最小值为.依题意有，≥(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0　①.
又b＞0，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，
所以2e2＜1②，联立①②，得≤e＜.
20．
【解析】如图，由BF⊥x轴，知xB＝－c，yB＝，设P(0，t)，

∵＝2，∴(－a，t)＝2，∴a＝2c，∴e＝＝.
21．
【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝，设PF2＝1，则PF1＝2，F2F1＝，所以离心率e＝＝.
22．≤e＜1
【解析】设P，线段F1P的中点Q的坐标为，则直线F1P的斜率kF1P＝，当直线QF2的斜率存在时，设直线QF2的斜率为kQF2＝(b2－2c2≠0)，由kF1P·kQF2＝－1得y2＝≥0，但注意到b2－2c2≠0，故2c2－b2＞0，即3c2－a2＞0，即e2＞，故＜e＜1.当直线QF2的斜率不存在时，y＝0，F2为线段PF1的中点．由－c＝2c得e＝，综上得≤e＜1.
23．
【解析】如题图，PA、PB与圆O相切，由于切线PA、PB互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，OP＝OA，这样就得到一个关于基本量a、c的齐次方程，从而求解出比值(e)的值．由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以OP＝OA，所以＝a，解得＝，即e＝
24．
【解析】
试题分析：直线过点，且倾斜角为，所以，从而，所以，在中，，所以该椭圆的离心率.
考点：椭圆的离心率.
25．-1
【解析】直线y=(x+c)过点F1(-c,0)且倾斜角为60°,
所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,
所以∠F1MF2=90°,
所以F1M⊥F2M,
在Rt△F1MF2中,
|MF1|=c,|MF2|=c,
所以e=====-1.
26．e=-1
【解析】因为△F2AB是等边三角形,所以A(-,c)在椭圆+=1上,所以+=1,因为c2=a2-b2,所以,4a4-8a2c2+c4=0,即e4-8e2+4=0,
所以,e2=4±2,e=-1或e=+1(舍).
【误区警示】本题易出现答案为-1或+1的错误,其错误原因是没有考虑椭圆离心率的范围.
27．－1
【解析】过F1作倾斜角为45°的直线y＝x＋c，由MF2垂直于x轴得M的横坐标c，所以纵坐标2c，代入椭圆方程得＝1，∴e2＋＝1，∴(1－e2)2＝4e2，∴e＝－1.
28．
【解析】由题意得，圆半径r＝，因为△ABC是锐角三角形，所以cos 0＞cos＝＞cos，即＜＜1，所以＜＜1，即＜＜1，解得e∈.
29．2－
【解析】不妨设|F1F2|＝1.∵直线MF2的倾斜角为120°，∴∠MF2F1＝60°，∴|MF2|＝2，|MF1|＝，2a＝|MF1|＋|MF2|＝2＋，2c＝|F1F2|＝1，∴e＝＝2－.
30．
【解析】
试题分析：直线与的交点为，点即为中点，设与的交点分别为，所以。将点代入椭圆方程，两式相减整理可得，即，由直线方程可知，所以，即。因为，所以，即， 。
考点：1点差法解中点弦问题；2椭圆的离心率。
31．
【解析】
试题分析：左焦点为.连结可得四边形是矩形，所以.所以又所以. .又因为，.所以.即.因为所以.所以.故填.
考点：1.直线与圆的位置关系.2.椭圆的性质.3.椭圆的定义.
32．
【解析】
试题分析：设，则，两式相减得，.
考点：椭圆.
33．
【解析】
试题分析：设，则，，所以，存在动点，使得的面积等于，，，即，即，或，又，所以.
考点：椭圆的标准方程及其几何性质.
34．
【解析】
试题分析：如下图所示，设，，其中，将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，不妨取，所以，由，可得即.

考点：1.直线的倾斜角与斜率；2.椭圆的性质.
35．
【解析】
试题分析：，所以或（舍去）.设，由正弦定理得：

考点：1、椭圆的定义及离心率；2、三角函数；3、正弦定理.
36．
【解析】
试题分析：因为PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，所以PF1=，PF2=，又PF1+PF2=2a，所以2a=，=.
考点：椭圆方程和性质.
37．
【解析】
试题分析：因为∠F1PF2＝90°，所以,因为，且，可解的。因为，整理的，即，所以
考点：椭圆的概念和离心率问题，基本不等式
38．．
【解析】
试题分析：设，因AB⊥AF2，则，由椭圆的定义得，所以，，则椭圆的离心率为．
考点：椭圆的定义及性质.
39．
【解析】
试题分析：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，所以直线的斜率，因为，所以，从而得到离心率的值为．
考点：本题主要考查了椭圆的几何性质以及离心率的定义．
【答案】．
【解析】
试题分析：要求离心率的取值范围，要求我们能找到一个关于离心率或的不等关系，我们从唯一的已知等式入手，在中有，因此有，是椭圆上的点到焦点的距离，于是想到焦半径公式，设，则，，从而有.根据题意，，因此不等关系就是，即，解得，又椭圆中，故.
考点：正弦定理，椭圆的离心率，焦半径公式.
41．.
【解析】
试题分析：设三角形的边长为.则椭圆的.故填.通过假设三角形的边长写出椭圆对应的长半轴，短半轴，半焦距即可求得离心率.
考点：1.三角形与椭圆的对成性.2.离心率公式.
42．
【解析】
试题分析：由于为等腰三角形，且，故有，则点的坐标为，设点的坐标为，，，
，则有，解得，即点的坐标为，将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，即，，.
考点：共线向量、椭圆的离心率
43．
【解析】
试题分析：，由余弦定理得，，所以，又，所以椭圆的离心率.
考点：椭圆的定义，余弦定理.
44．
【解析】
试题分析：由题意，不妨设点A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为：，即bx+ay-ab=0。
∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，∴原点到直线AB的距离为，
∴a2b2=c2（a2+b2），∴a2（a2-c2）=c2（2a2-c2），∴a4-3a2c2+c4=0，∴e4－3e2+1=0，
解得e2= ，∵0＜e＜1，∴e=。
考点：椭圆的几何性质，点到直线的距离。
点评：中档题，解题的关键是利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，得到原点到直线AB的距离等于半焦距，确定得到a，b，c的关系。
45．
【解析】
试题分析：因为
即
,
.
考点：向量的几何运算，解一元二次不等式，椭圆的标准方程及其性质.
点评：解本小题的关键是把题目的条件最终转化为，
从而得到关于a,c的不等式，问题到此得解.
46．
【解析】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查学生分析问题、解决问题的能力
由题意根据椭圆的定义和焦半径和圆的半径关系得：|MF2|=|OF2|=c，|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c，然后利用过椭圆左焦点的直线MF1是圆的切线，则利用垂直关系得到直角三角形MF1F2结合勾股定理得到，|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，即（2a-c）2+c2=4c2，整理得2a2-2ac-c2=0，即e2+2e-2=0，解得e=。故答案为。
解决该试题的关键是先根据题意和椭圆定义可知|MF2|=|OF2|=c，|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c 进而根据勾股定理建立等式求得e。
47．、 4或－；
【解析】解：因为椭圆＋=1的离心率 e =,由于焦点位置不定，因此要分类讨论得到k的值由两个，且为4或－
48．
【解析】解：因为椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，即2c,2b,2a,成等比数列，则有b2=ac,那么利用a2=b2+c2,解得离心率为
49．
【解析】解：设P（acosβ，bsinβ），M（acosα，bsinα），则N（-acosα，-bsinα），
可得k1=b(sinβ-sinα) a(cosβ-cosα) ，k2=b(sinβ+sinα) a(cosβ+cosα) ，
|k1|•|k2|=|b2(sin2β-sin2α) a2(cos2β-cos2α) |=b2 a2 ，
∴|k1|+|k2|≥2 |k1k2| =2b a ⇒2b a =1⇒e= 3 2 ．
50．
【解析】解：因为设出直线方程与l联立方程组得到点A，然后结合，与椭圆方程联立得到a,b的关系式，得到椭圆的离心率
51．
【解析】解：由题意知点P的坐标为（-c， ）或（-c，-），
∵∠F1PF2=60°，∴ = ，即2ac= b2= （a2-c2）．
∴ e2+2e- =0，∴e= 或e=- （舍去）．
52．（）
【解析】解：由题意可得 PF2=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得 PF1 =2a-PF2=2a-2c．当60°＜PF1F2120°，利用余弦定理得到e的范围（）
53．
【解析】解：因为根据已知直角三角形可知斜边长为，然后利用椭圆的定义得到长半轴的长和焦距的值，从而得到离心率为
54．
【解析】因为AO是与x轴重合的，且四边形OABC为平行四边形
所以BC∥OA，所以B、C两点的纵坐标相等，所以B、C的横坐标互为相反数.所以B、C两点是关于y轴对称的.由题知：OA=a,四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a,
所以可设,代入椭圆方程解得：.
设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形
所以∠COD=30°,对C点：,解得：a=3b
根据：
55．3或
【解析】当m>5时，;当时，.所以m的值为3或.
56．D
【解析】设由椭圆的对称性，不妨设点在轴上方，即, 由整理为
，即①
又在椭圆上，故 ②
由①②消去得而
又
即即
即，解得
57．
【解析】
设,
即.
58．
【解析】解：因为，则可以解得||,而结合椭圆中，得到离心率的范围
答案第17页，总18页