均值不等式知识点讲解及习题.doc

第三节：基本不等式
1、 基本不等式：
（1）如果a、b是正数，那么 （当且仅当a=b时取“=”）
（2）对基本不等式的理解：a＞0，b＞0，a,b的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________. 
叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数
2、 基本不等式的推广：

注意：用基本不等式求最值的要点是：一正 、二定 、三相等
三个正数的均值不等式：
n个正数的均值不等式：
3、四种均值的关系
两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是：

4. 最值定理
设x＞0,y＞0,由x+y≥
（1）若积xy=P(定值），则和x+y有最小值 ；
（2）若和x+y=S(定值），则积xy有最大值
即:积定和最小，和定积最大.
（不等式的证明）
例1、证明基本不等式

（跟踪训练）

例2、

（跟踪训练）

例3、若x＞0,y＞0,x+y=1. 求证:

（跟踪训练）若a、b、c是不全相等的正数，求证：

（利用基本不等式求最值）
例3、

（跟踪训练1）

（跟踪训练2）若x、y∈ , 则x+4y=1,求x.y的最大值

例4、若正数a,b满足求a+b的最小值

（跟踪训练1）若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值。

（跟踪训练2）设x、y均为正数，且求xy的最小值。

例5、若x,y,z∈ ，x－2y+3z=0, 则 的最小值为_________.

（跟踪训练）若直线2ax－by+2=0(a＞b＞0）始终平分圆 的周长，则 的最小值为_________.

例6、已知a、b都是正实数，且满足 求4a+b的最小值

（跟踪训练）设x,y满足约束条件 若目标函数z=ax+by（a>0,b>0）的最大值为12，求的最小值

（利用均值不等式判断不等式的成立）
例7、设a＞0，b＞0，则下列不等式中不成立的是 （ ）
A. B.
C. D.

（跟踪训练）下列不等式不一定成立的是 ( )